2015 年 2 月 19 日（木）
量子力学ノート
∼3 次元球座標での Schr¨
odinger 方程式∼
小林 良彦（Yoshihiko KOBAYASHI）
新潟大学原子核理論研究室
概要：
3 次元の平方井戸型ポテンシャル問題を解く。問題を解く際には、球座標で表した 3 次元 Schr¨
odinger 方程式を用いる。
エネルギーで場合分けすることで、束縛状態が存在するときの波動関数、非束縛状態の波動関数の表式をまとめる。さ
らに、束縛状態が存在する条件も吟味する。
目次
1
球座標系での Schr¨
odinger 方程式
2
2
平方井戸型ポテンシャル問題
2.1 E > 0 のときの波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 −V0 ≤ E ≤ 0 のときの波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 E < −V0 のときの波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
3
3
波動関数の接続
3.1 E > 0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 −V0 ≤ E ≤ 0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 E < −V0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
A 球 Bessel 関数
A.1 初等関数で表した球 Bessel 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 球 Bessel 関数の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
1
球座標系での Schr¨
odinger 方程式
1
時間に依存しない 3 次元 Schr¨
odinger 方程式は、球座標を用いると
Hψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ)
(1)
と書くことができる。ここで、H はハミルトニアン
H=
p⃗2
ℏ2 ⃗ 2
+ V (r) = −
∇ + V (r)
2m
2m
(2)
である。V (r) は中心力ポテンシャルを表わす。全波動関数を
ψ(r, θ, φ) = Rl (r)Ylm (θ, φ)
(3)
と設定し *1 、以下のナブラ、ラプラシアンの球座標表示
ナブラ・ラプラシアンの球座標表示
∂
⃗ = ⃗er ∂ + ⃗eθ 1 ∂ + ⃗eϕ 1
∇
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
⃗2 = 1 ∂
△=∇
r2 ∂r
[
⃗ 2 = −ℏ2
L
(
)
⃗2
⃗2
L
∂2
2 ∂
L
2 ∂
r
− 2 2 = 2+
− 2 2
∂r
ℏ r
∂r
r ∂r ℏ r
1 ∂
sin θ ∂θ
(
)
]
∂
1 ∂2
sin θ
+
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
(4)
(5)
(6)
を用いると、動径 Schr¨
odinger 方程式
[
]
l(l + 1) 2mV (r) 2mE
d2 Rl (r) 2 dRl (r)
−
+
+
− 2 Rl (r) = 0
dr2
r dr
r2
ℏ2
ℏ
(7)
が得られる。
平方井戸型ポテンシャル問題
2
右図のような３次元の平方井戸型ポテンシャル
{
V (r) =
−V0 (r ≤ a)
0
(r > a)
を考える。ここで、V0 > 0 である。
このとき、動径 Schr¨
odinger 方程式は
2m(V0 + E)
d2 Rl (r) 2 dRl (r) l(l + 1)
+
−
Rl (r) +
Rl (r) = 0
2
2
dr
r dr
r
ℏ2
(8)
と書ける。この (8) 式を用いて、以下のような状況での波動関数を考える。
*1
Ylm (θ, φ) は球面調和関数である。またこれ以降、E > 0 での散乱問題を中心に考えるため、動径波動関数の主量
子数 n は省略する。必要な場合は、随時、明記する。
2
• ３次元平方井戸型ポテンシャル問題
– E > 0 のとき（連続状態）
– −V0 ≤ E ≤ 0 のとき（束縛状態）
– E < −V0 のとき（非物理的な状態）
2.1
E > 0 のときの波動関数
2m(V0 + E)
,
ℏ2
k2 =
とすると、動径波動関数は
{
κ2 =
2mE
ℏ2
(9)
(in)
Rl (r) = Ajl (kr)
(r ≤ a)
(out)
Rl
(r) = Bjl (κr) + Cnl (κr) (r > a)
(10)
と書ける。jl (z) と nl (z) はそれぞれ球 Bessel 関数と球 Neumann 関数である *2 。A、B 、C は未定
係数である。
2.2
−V0 ≤ E ≤ 0 のときの波動関数
k2 =
と置くと
{
2mE
ℏ2
(11)
(r) = Ajl (kr)
(r ≤ a)
(1)
= Bhl (iκr) (r > a)
(12)
2m(V0 + E)
,
ℏ2
(in)
Rl
κ2 = −
(out)
Rl
(r)
(1)
となる。hl (z) は第 1 種球 Hankel 関数である。A、B は未定係数である。
2.3
E < −V0 のときの波動関数
k2 = −
とすると
{
(in)
Rl
2m(V0 + E)
,
ℏ2
(1)
κ2 = −
2mE
ℏ2
(13)
(2)
(r) = A(hl (ikr) + hl (ikr)) (r ≤ a)
(out)
(1)
Rl
(r) = Bhl (iκr)
(r > a)
(14)
(2)
となることが分かる。hl (z) は第 2 種球 Hankel 関数である。A、B は未定係数である。
*2
計算の際に用いた球 Bessel 関数、球 Neumann 関数、そして後に出てくる第 1 種球 Hankel 関数、第 2 種球 Hankel
関数の定義式は、補遺に載せた。
3
3
波動関数の接続
前節では、ポテンシャルの内側と外側での動径動径波動関数を求めた。この節では、各エネル
ギー領域での波動関数の接続を考える。
3.1
E > 0 の場合
E > 0 の波動関数は (10) 式である。(10) 式を用いて、r = a での対数微分の連続性を課す。そ
れより、位相のずれ δl についての式
tan δl =
κjl′ (κa)jl (ka) − kjl (κa)jl′ (ka)
κn′l (κa)jl (ka) − knl (κa)jl′ (ka)
(15)
が得られる。このときの位相のずれの定義は
tan δl = −
C
B
(16)
である。ここで、l = 0 の場合を考える。l = 0 のときの球 Bessel 関数と球 Neumann 関数は
j0 (ρ) =
sin ρ
,
ρ
n0 (ρ) = −
cos ρ
ρ
(17)
と表わされる。これらを用いて接続条件を計算すると
k cot(ka) = κ cot(δ0 + κa)
(18)
という式が得られる。この式は
δ0 = arctan
(κ
k
)
tan(ka) − κa
(19)
と書き直すことができる。もちろん、(15) 式から直接導くこともできる。
3.2
−V0 ≤ E ≤ 0 の場合
この場合の動径波動関数は (12) 式である。また、そのときの波数は (11) である。例として、l = 0
のときの接続を考える。波動関数は
{
(in)
R0 (r) = Aj0 (kr) = A sinkrkr
(r ≤ a)
(20)
(out)
(1)
e−κr
R0 (r) = Bh0 (iκr) = −B κr (r > a)
と書ける。この波動関数より、接続条件は
sin ka
e−κa
= −B
ka
κa
(
)
(
)
cos ka sin ka
1
1
A
−
=B
+
e−κa
a
ka2
a κa2
A
(21)
(22)
となる。この二つの式の両辺の比（対数微分）をとると
ka cot ka = −κa
(23)
が得られる。ここで
√
ξ = ka =
2m(V0 + E)
a,
ℏ2
4
√
η = κa =
−
2mE
a
ℏ2
(24)
とすると
2mV0 a2
(25)
ℏ2
が得られる。この二式を同時に見たすエネルギーのとき束縛状態になる。図 1 は、(25) 式の一例で
ある。図 1 の場合、交点が二つ存在するため、二つの束縛状態が存在する。なお、この計算の際に
ξ cot ξ = −η,
ξ2 + η2 =
ℏ2
(ℏc)(ℏc)
(197.323)(197.323)
=
=
MeV · fm2
m
mc2
939.0
(26)
を用いている。
10
Line 1
Line 2
8
η
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
ξ
6
7
8
9
10
図 1: V0 =50.0 MeV、a = 5.0 fm とした場合の (25) 式。Line 1 は (25) 式の第一式、Line 2 は (25)
式の第二式を示している。
3.3
E < −V0 の場合
この場合の動径波動関数は (14) 式である。また、そのときの波数は (13) である。−V0 ≤ E ≤ 0
のときと同様、例として l = 0 のときの接続を考える。このときの波動関数は
( −kr kr )
{ (in)
(1)
(2)
R0 (r) = A(h0 (ikr) + h0 (ikr)) = A −e kr+e
(r ≤ a)
(27)
(out)
(1)
e−κr
R0 (r) = Bh0 (iκr) = −B κr
(r > a)
である。この波動関数より、r = a での接続条件
( −ka
)
−e
+ eka
e−κa
A
= −B
ka
κa
{(
)
(
)
}
(
)
1
1
1
1
1
1
−ka
ka
A
+
e
+
−
e
=B
+
e−κa
a ka2
a ka2
a ka2
(28)
(29)
が得られる。この二つの式の両辺の比をとると
ka + 1 + (ka − 1)e2ka
+ 1 = −κa
e2ka − 1
となる。ここで
√
ξ = ka =
2m(V0 + E)
−
a,
ℏ2
(30)
√
η = κa =
−
2mE
a
ℏ2
(31)
とすると
ξ + 1 + (ξ − 1)e2ξ
+ 1 = −η,
e2ξ − 1
ξ2 + η2 = −
5
2m(2E + V0 )a2
ℏ2
(32)
2
0
η
-2
-4
-6
-8
-10
0
1
2
3
図 2: η = −
4
(
5
ξ
6
7
ξ+1+(ξ−1)e2ξ
e2ξ −1
8
9
10
)
+1
という二つの式を得る。しかし、(32) 式の第一式は、図 2 のような関数であるので、(32) 式を両
方満たすエネルギーは存在しないことがわかる。
したがって、外側で発散しないと仮定すると接続できない。一方で、接続できるとすると遠方
で発散してしまうと言える。
6
球 Bessel 関数
A
球 Bessel 微分方程式
A.1
[
]
d2 w 2 dw
n(n + 1)
+
+ 1−
w=0
dz 2
z dz
z2
(A-1)
初等関数で表した球 Bessel 関数
球 Bessel の微分方程式 (A-1) の解は以下の四つの関数のうちの任意の二つからなる *3 。
球 Bessel 関数
[n/2]
(
1 ∑ (−1)r (n + 2r)!
nπ )
jn (z) =
sin
z
−
z
(2r)!(n − 2r)!(2z)2r
2
r=0
[(n−1)/2]
(
∑
(−1)r (n + 2r + 1)!
nπ )
+
cos z −
(A-2)
(2r + 1)!(n − 2r − 1)!(2z)2r+1
2
r=0
球 Neumann 関数
[n/2]
(
1 ∑ (−1)r (n + 2r)!
nπ )
nn (z) = −
cos
z
−
z
(2r)!(n − 2r)!(2z)2r
2
r=0
∑
[(n−1)/2]
−
r=0
(
(−1)r (n
nπ )
+ 2r + 1)!
sin z −
(2r + 1)!(n − 2r − 1)!(2z)2r+1
2
(A-3)
第 1 種球 Hankel 関数
h(1)
n (z)
( )r
n
∑
(n + r)!
i
z
r!(n − r)! 2z
n+1 e
= jn (z) + inn (z) = (−i)
iz
(A-4)
r=0
第 2 種球 Hankel 関数
h(2)
n (z)
n+1 e
= jn (z) − inn (z) = i
( )r
n
∑
(n + r)!
−i
z
r!(n − r)! 2z
−iz
(A-5)
r=0
A.2
球 Bessel 関数の例
(1)
(2)
jn (z)、nn (z)、hn (z)、hn (z) の具体形をいくつか示す。
球 Bessel 関数
sin z − z cos z
sin z
, j1 (z) =
z
z2
2
(3 − z ) sin z − 3z cos z
j2 (z) =
z3
j0 (z) =
(A-6)
球 Neumann 関数
cos z
cos z + z sin z
, n1 (z) = −
z
z2
2
(3 − z ) cos z + 3z sin z
n2 (z) = −
z3
n0 (z) = −
*3
和の [a] は Gauss の記号（a を越えない最大の整数）。
7
(A-7)
第 1 種球 Hankel 関数
eiz
(z + i)eiz
(1)
, h1 (z) = −
z
z2
2
iz
[3z + i(3 − z )]e
(1)
h2 (z) = −
z3
(1)
h0 (z) = −i
(A-8)
第 2 種球 Hankel 関数
e−iz
(z − i)e−iz
(2)
, h1 (z) = −
z
z2
[3z − i(3 − z 2 )]e−iz
(2)
h2 (z) = −
z3
(2)
h0 (z) = i
(A-9)
以上
8
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