2015 慶應義塾大学経済学部数学解答例

2015 慶應義塾大学経済学部数学解答例
[1]
(1)
（１）（２）
1
(2)
（３）（４）
2
(3)
2
2
（５）
6
(4)
（６）（７）（８）（９）（10）
4
−
5
9
2
[2]
(1)
（11）（12）（13）（14）（15）（16）
1
(2)
1
1
1
6
（17）（18）（19）（20）（21）（22）
1
(3)
0
2
1
1
1
6
（23）（24）（25）（26）
1
1
2
7
[3]
(1)
(2)
（27）（28）（29）
−
2
（30）（31）（32）（33）（34）（35）（36）（37）（38）
0
(3)
1
0
−
1
2
1
0
1
（39）（40）（41）（42）（43）（44）（45）（46）
3
3
2
6
1
1
1
8
1
[4]
(1)
pn =
( )n
(
)n ( )n
8
1
8
，qn = 1 − pn = 1 −
1−
=
9
9
9
::::::
:::::::::
(2)
( )n
( )n
8
8
1−
= 0.9 よって
5 0.1 9
9
常用対数をとると，
n (3 log10 2 − 2 log10 3) 5 −1
1
n=
= 19.5 · · · > 19
0.9542 − 0.9030
よって最小の n は 20
::
(3)
1
· 100.44
1000
< 100.4771 より 2 < 100.44 < 3 q50 = 1 − 10−0.0512·50 = 1 −
100.3010 < 100.44
1−
3
2
< q50 < 1 −
1000
1000
997
998
< q50 <
1000
1000
よって k = 997
:::
[5]
(1)
半直線 L1 : y = x(x ≧ 0) と，点 (1，2) の距離は √
|1 − 2|
=
√
2
であり，半直線
2
12 + (−1)2
√
|1 + 2|
3 2
L2 : y = −x(x < 0) と，点 (1，2) の距離は √
=
である．また，原点 (0，0) と点 (1，2) の距
2
12 + 12
√
√
離は 12 + 22 = 5 である．点 (1，2) が第 1 象限の y ≧ x の部分にあることに注意すると，r の値と円
(x − 1)2 + (y − 2)2 = r2 と L1 ，L2 の共有点の個数の対応は次の通りである．
r の値
√
2
0<r<
√ 2
2
r=
2
√
√
2
3 2
<r<
2
√ 2
3 2
r=
2
√
√
3 2
<r< 5
2
√
r= 5
√
r> 5
L1 との共有点の個数
L2 との共有点の個数
0
0
1
0
2
0
2
1
2
2
2
1
1
1
√
√
√
2
3 2
よって，
<r<
または r > 5 である．
2
2
::::::::::::::::::::::::::::
(2)
C2√2 (a，b) ⊂ D が成り立つには，点 (a，b) が不等式 y ≦ |x| で表される領域に含まれることが必要で
ある．半直線 L1 に垂直で，原点 (0，0) を通る直線の方程式は y = −x である．
( √ )2
2
2
C2√2 (a，b) ⊂ D となる条件は，折れ線 y = |x| と円 (x − a) + (y − b) = 2 2 の中心 (a，b) の最短
√
距離が 2 2 以上になること．
（ア）
a ≧ 0 かつ −a ≦ b ≦ a のとき
最短距離は点 (a，b) と直線 L1 との距離なので
√
|a − b|
√
≧2 2
2
12 + (−1)
a−b≧4
となる．
（イ）
a ≧ 0 かつ b ≦ −a のとき
最短距離は点 (a，b) と原点 (0，0) との距離なので
√
√
a2 + b2 ≧ 2 2
a2 + b2 ≧ 8
となる．
（ア），（イ）と対称性を考慮すると，次のような図になる．（ただし，境界はすべて含む）
[6]
(1) F (x) は x = β で極小となることより，ℓ の傾きは 0 である．よって，ℓ：y = F (β) となる．ℓ と y = F (x)
の共有点のうち B と異なるものが (γ ，F (γ)) であること，ℓ と y = F (x) は B で接すること，F (x) の 3 次の
係数は 1 であることに注意すると
F (x) − F (β) = (x − β)2 (x − γ)
:::::::::::::
となる．
(2) (1) より
F (x) = (x − β)2 (x − γ) + F (β)
与えられた公式より
F ′ (x) = (x − β)′ (x − β)(x − γ) + (x − β)(x − β)′ (x − γ) + (x − β)2 (x − γ)′
= (x − β)(3x − β − 2γ)
\ β なので
となる．F ′ (α) = 0 かつ α =
3α − β − 2γ = 0
γ=
3α − β
2
:::::::
となる．
(3) 3 次の項の係数が正である 3 次関数 F (x) が x = α で極大，x = β で極小となるので
α<β
となる．F ′ (α) = F ′ (β) = 0 より f (α) = f (β) = 0 なので
∫
S=
α
F ′ (x)dx
γ
α
= [F (x)]γ
= F (α) − F (γ)
{
} {
}
= (α − β)2 (α − γ) + F (β) − (γ − β)2 (γ − γ) + F (β)
)
(
3α − β
= (α − β)2 α −
2
=
(β − α)3
2
::::::::
となる．α，
β は F ′ (x) = 0 の解なので，解と係数の関係より
α+β =−2a
3
1
αβ = b
3
であるから，a − b ≧
3 にも注意して
2
(β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ
= 4 a2 − 4 b
9
3
(
)
≧ 4 a2 − 4 a − 3
9
3
2
(
)2
4
3
=
a−
+1
9
2
≧1
よって
3
S ≧ 1 · 12
2
となる．等号成立条件は a − b =
3 かつ a = 3
2
2
a = 3 ，b = 0 のとき．
2
つまり
このとき
F ′ (x) = 3x2 + 3x
より，増減表は次のようになるから，確かに極大値と極小値をもつ．
···
−1
···
0
···
F (x)
+
0
−
0
+
F (x)
↗
x
′
よって，S の最小値は
1 となる．
2
::
↘
↗

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