大阪医科大学 2015年度（前期）入学試験 解答速報 数学
2015年2月10日 実施
〔１〕 an =
n
∑
k2n−k (n = 1, 2, · · · ) とおく。
k=1
(1) 和 an を求めよ。
(2) 数列 {an } を次のように 4 個ずつの群に分ける：
| a1 , a2 , a3 , a4 | a5 , a6 , a7 , a8 | · · · · · ·
このとき，各群の 2 つ目の項以外の 3 数は，5 で割ったときの余りが等しいことを示せ。
解答
(1) 2an
an
= 1 · 2n + 2 · 2n−1 + 3 · 2n−2 + · · ·
=
1 · 2n−1 + 2 · 2n−2 + · · ·
+ (n − 1) · 22 + n · 21
+ (n − 2) · 22 + (n − 1) · 21 + n · 20
これら 2 式を辺々引くと
an = (2n + 2n−1 + 2n−2 + · · · + 22 + 21 ) − n =
2(2n − 1)
− n = 2n+1 − n − 2
2−1
(2) 24 ≡ 1 (mod 5) であることに注意する．以下，k を自然数として
a4k−3
≡ 24k−2 − (4k − 3) − 2
≡ 4 − (4k − 3) − 2
≡ −4k
(mod 5)
a4k−2
a4k−1
≡2
− (4k − 2) − 2
4k
≡ 2 − (4k − 1) − 2
≡ 3 − (4k − 2) − 2
≡ 1 − (4k − 1) − 2
≡ 3 − 4k
≡ −4k
(mod 5)
(mod 5)
a4k
≡ 24k+1 − 4k − 2
≡ 2 − 4k − 2
≡ −4k
(mod 5)
4k−1
となるから，各群の 2 つ目の項以外の 3 数を，5 で割ったときの余りは等しい．
（証明終）
〔２〕 平面上の三角形 ABC は二等辺三角形でないと仮定する。3 つの内角 ̸ A，̸ B，̸ C の対辺の長さをそれ
ぞれ a，b，c とする。三角形 ABC の外接円を F ，外心を O とする。点 A における F の接線と直線 BC の
交点を S とする。同様に点 B における F の接線と直線 CA の交点を T，点 C における F の接線と直線
AB の交点を U とする。
(1) △SAB と △SCA は相似であることを示し，2 つの三角形の面積の比を a，b，c を用いて表せ。
−→
−→
−→
c2 OC − b2 OB
(2) OS =
を示せ。
c2 − b2
−→
−→
−→ −
→
(3) xOS + y OT + z OU = 0 を満たす 0 でない実数 x，y ，z の 1 組を a，b，c を用いて表せ。
(4) (3) で求めた x，y ，z は x + y + z = 0 を満たすことを示して，S，T，U は一直線上にあることを
示せ。
解答
S
b2
c2
B
a
C
c
b
A
T
U
(1) b > c の場合を示す．△SAB と △SCA において，̸ S は共通．接弦定理より ̸ SAB = ̸ SCA．2 組の
角が互いに等しいので，△SAB と △SCA は相似である．
b < c の場合，接弦定理より ̸ SBA = ̸ SAC となる．他については同様である．
（証明終）
相似な図形の面積比は，相似比の 2 乗なので，△SAB : △SCA = AB : CA = c2 : b2 ．
(2) △SAB の底辺を BS，△SCA の底辺を CS と見ると，この 2 つの三角形の高さは共通なので，BS : CS
は三角形の面積比 c2 : b2 に等しい．すなわち，S は BC を c2 : b2 に外分するということになるので，
−→
−→
−→
c2 OC − b2 OB
である． （証明終）
OS =
c2 − b2
(3) (2) と同様にすると，
−→
−→
−→
c2 OC − a2 OA
,
OT =
c2 − a2
−→
−→
−→
a2 OA − b2 OB
OU =
a2 − b2
である．
−→
−→
−→
xOS + y OT + z OU
(
( −→
( −→
−→
−→ )
−→ )
−→ )
c2 OC − b2 OB
c2 OC − a2 OA
a2 OA − b2 OB
=x
+y
+z
c2 − b2
c2 − a2
a2 − b2
(
)
−→
−1
1
2
=a
y+ 2
z OA
c2 − a2
a − b2
(
)
−→
−1
−1
2
+b
x+ 2
z OB
c2 − b2
a − b2
(
)
−→
1
1
2
+c
x+ 2
y OC
c2 − b2
c − a2
−
→
であるので，(x, y, z) = (c2 − b2 , a2 − c2 , b2 − a2 ) ならば，これが 0 となる．
注釈
もちろん，(x, y, z) の組は一意でない．(x, y, z) = (b2 − c2 , c2 − a2 , a2 − b2 ) なども可．
(4) x + y + z = (c2 − b2 ) + (a2 − c2 ) + (b2 − a2 ) = 0．
よって，
（b =
\ c より x =
\ 0 なので）
−→
−→
−→ −
→
−→ −→
−→ −→
→
−
xOS + y OT + (−x − y)OU = 0 ⇔ x(OS − OU) + y(OT − OU) = 0
−→
−→ −
→
−→
y −→
⇔ xUS + y UT = 0 ⇔ US = − UT
x
より，S，T，U は一直線上にある．
（証明終）
(
〔３〕 円周 x2 + y 2 = 1 の x > 0, y > 0 の部分にある弧を C とする。 C 上の点 (cos θ, sin θ) 0 < θ <
における C の接線を Lθ とおく。また，実数 a に対して曲線 y = (x − a)2 −
π )
2
1
を Pa と表す。
4
π
である θ に対して， Lθ が Pa に接するような a が定まることを示し， a を θ で表せ。
2
π
(2) (1) の a を表す θ の関数のグラフの概形を 0 < θ <
で描け。
2
(
π )
(3) Pa と接する Lθ 0 < θ <
が存在するような a の範囲を求めよ。
2
(1) 0 < θ <
解答
π
なので 0 < sin θ < 1, 0 < cos θ < 1 であることに注意しておく．公式により Lθ
2
の方程式は (cos θ)x + (sin θ)y = 1 である．これと Pa の方程式から y を消去して整理すると
(
)
1
2
2
(sin θ)x + (cos θ − 2a sin θ)x + a −
sin θ − 1 = 0．これは x の 2 次方程式であるから，この
4
(1) 0 < θ <
判別式を D とすると D = 0 を満たす a が存在することを示せばよい．
{(
)
}
1
D = (cos θ − 2a sin θ)2 − 4 sin θ
a2 −
sin θ − 1 = 0 から
4
a=
4 sin θ + 1
4 sin θ + 1
=
となり a は確かに存在する． （証明終）
4 sin θ cos θ
2 sin 2θ
4 sin θ + 1
(2 sin θ − 1)(2 sin2 θ + 2 sin θ + 1)
とおくと f ′ (θ) =
となる．
2 sin 2θ
sin2 2θ
常に 2 sin2 θ + 2 sin θ + 1 > 0 が成り立つことに注意すると f (θ) の増減およびグラフは次の通りと
(2) f (θ) =
なる．
θ
(0)
f′
f
−
∞
↘
π
6
0
√
3
( π )
2
a
+
↗
∞
√
3
O
(3) (2) の結果から，a >
=
√
3．
π
6
π
2
θ
〔４〕 a, b を正の定数として，平面上の楕円
(x − 1)2
y2
+ 2 = 1 を E とする。
2
a
b
(1) E が直線 y = x と接するとき b を a で表せ。また接点の x 座標 x0 を求めよ。
(2) E が (1) の条件を満たすとき， x <
= x0 を満たす E の部分と 2 直線 y = x, y = 0 とで囲まれる図形
を，x 軸の周りに回転させてできる立体の体積 V を a を用いて表せ。
解答
(1)
(x − 1)2
y2
+
= 1 と y = x を連立して整理すると
a2
b2
(a2 + b2 )x2 − 2b2 x + b2 − a2 b2 = 0．この判別式を D とすると，
D/4 = b4 − (a2 + b2 )(b2 − a2 b2 ) = 0．a > 0, b > 0 に注意してこれを整
√
理すると b2 = 1 − a2 ．よって b = 1 − a2 ．またこのときの 2 次方程式
b2
の重解は x = 2
= 1 − a2 なので x0 = 1 − a2 ．
a + b2
(2) 右図のようになる．V は円すいから楕円の回転体を引いて求める．
∫ x0
1
V =
πx0 2 · x0 −
πy 2 dx
3
1−a
}
∫ 1−a2 {
1 − a2
1
2
πx0 3 − π
1 − a2 −
(x
−
1)
dx
=
3
a2
1−a
∫ 1−a2
{ 2
}
1
π(1 − a2 )
2 3
=
π(1 − a ) −
a − (x − 1)2 dx
2
3
a
1−a
1
=
π(1 − a)3 (1 + a)．
3
y
x0
O
1−a
x0
x
〔５〕 はじめに袋の中に赤玉と青玉が 2 個ずつ入っている。次の試行を n 回行う。
袋の中をよくかき混ぜてから玉を 1 個取り出す。その色が赤なら手元において，青なら袋に戻す。
n>
= 1 として n 回の試行の後に手元に残る赤玉の個数が 2，1，0 個である確率をそれぞれ pn , qn , rn
とする。
(1) p2 , q2 , r2 を求めよ。
(2) p3 , q3 , r3 を求めよ。
(3) n >
= 2 として， pn , qn , rn のそれぞれを pn−1 , qn−1 , rn−1 を用いて表せ。
(4) rn を n を用いて表せ。
(5) pn , qn を n を用いて表せ。
解答
まず，最初の状態を n = 0 として p0 = 0, q0 = 0, r0 = 1 と思ってもよい．次に n >
= 1 のとき，
• n 回目の試行の後に手元に残る赤玉の個数が 2 個となるのは，
▷ (n − 1) 回目の試行までで手元に赤玉がすでに 2 個あり，かつ n 回目の試行で青玉 2 個の袋の
中から青玉を取り出すとき
▷ (n − 1) 回目の試行までで手元に赤玉が 1 個であり，かつ n 回目の試行で赤玉 1 個，青玉 2 個
の袋の中から赤玉を取り出すとき
の場合がある．
• n 回目の試行の後に手元に残る赤玉の個数が 1 個となるのは，
▷ (n − 1) 回目の試行までで手元に赤玉が 1 個であり，かつ n 回目の試行で赤玉 1 個，青玉 2 個
の袋の中から青玉を取り出すとき
▷ (n − 1) 回目の試行までで手元に赤玉が 0 個であり，かつ n 回目の試行で赤玉 2 個，青玉 2 個
の袋の中から赤玉を取り出すとき
の場合がある．
• n 回目の試行の後に手元に残る赤玉の個数が 0 個となるのは，(n − 1) 回目の試行までで手元に赤玉
が 0 個であり，かつ n 回目の試行で赤玉 2 個，青玉 2 個の袋の中から青玉を取り出す場合である．
袋の中の玉の変化の様子は下図のようになる．
n − 1 回目終了後
n 回目終了後
1
×
2
赤 赤
青 青
rn−1
×
×
赤
赤 赤
青 青
rn
1
2
2
3
青 青
qn−1
×
赤
青 青
qn
1
3
×1
青 青
pn−1
青 青
pn
したがって，漸化式
pn = pn−1 +
1
3
qn−1 ,
qn =
2
3
qn−1 +
1
2
rn−1 ,
rn =
1
2
rn−1
が成り立つ (これは (3) の答である)．
(1) 得られた漸化式より p1 = 0, q1 =
p2 =
1
6
, q2 =
7
12
1
, r2 =
4
1
1
, r1 =
であり，この漸化式を再び利用して
2
2
である．
(2) ここも上で得られた漸化式より p3 = p2 +
13
37
1
1
1
2
1
q2 =
q2 + r2 =
r2 =
, q3 =
, r3 =
．
3
3
2
2
36
72
8
(3) 漸化式は最初に書いた通り．
( )n
1
1
(4) 数列 {rn } は，初項 r0 = 1 ，公比
の等比数列であるから rn =
．
2
2
( )n
( )n
2
1
2
1
2
(5) (4) の結果を代入して qn =
qn−1 +
rn−1 =
qn−1 +
となる．ここで，両辺を
3
2
3
2
3
で割ると
(
(
qn
qn−1
)n = ( )n−1
2
2
3
3
(
となる．ここで， sn =
(
sn = sn−1 +
3
4
)n
3
2
)n
1
2
+ ( )n
2
3
(
⇐⇒
3
2
)n
(
qn =
3
2
)n−1
)n
qn とおくと， {sn } が満たす漸化式は
(n >
= 1 のとき，
= 1), s0 = 0 であることから， n >
sn = s0 +
)k
{
( )n }
n (
∑
3
3
=3 1−
4
4
k=1
(
qn−1 +
3
4
)n
となる．右辺に n = 0 を代入すると 0 となり s0 と一致するので，
(
sn =
3
2
)n
{
( )n }
3
qn = 3 1 −
(n >
= 0)
4
である．これより，
{(
qn = 3
2
)n
3
が得られる．また，
(
−
(
pn = 1 − qn − rn = 1 − 3
1
)n }
2
2
(
)n
3
+2
1
)n
2
である．
講評
5 問とも標準的な問題．内容的には昨年より若干易化した．ただし，正確な論述力，計算力を必要とす
る問題ばかりで，どの問題も完答するのは難しい．ボーダーラインは 6 割強か．
〔１〕（標準）整数問題．場合分けは合同式を利用してスッキリやりたい．
〔２〕（標準）平面ベクトル．基本的な平面幾何の知識が必要．
〔３〕（標準）数Ⅲ微分．正確な計算力が必要．
〔４〕（標準）数Ⅲ積分．下手に計算すると (2) は大変なことになる．
〔５〕（標準）確率．漸化式との融合問題．
医歯学部進学予備校
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