練習問題その7(解答）

練習問題その７ (解答）
問題 1. (i) A の簡約した行列 B を計算すると、

1
2


B = 0
0

0
0
0 −1



1

0
1
0
を得る。よって、
rank(F ) = rank(A) = rank(B) = 2
null(F ) = dim(R4 ) − rank(F ) = 4 − 2 = 2
が分かる。
(ii) A の、B の主成分を含む列ベクトルと対応する列ベクトルのなす部分集合
   



3 
2


   
   
S = 0 , 1 ⊂ im(F )

   



 1
1 
は、基底である。B と対応する連立１次方程式
x1 + 2x2
− x4 = 0
x3 + x4 = 0
0
= 0
の解は、次のように表される。
 
 
 
1
−2
x
 
 
 1
 
 
 
 0
 1
x2 
  = c1   + c2  
 
 
 
−1
 0
x3 
 
 
 
1
0
x4
よって、
は、基底である。
   



−2
1 

   









 1  0





R =   ,   ⊂ ker(F )

 0 −1





   





0
1 
1
問題 2. (i) A の簡約した行列 B を計算すると、

1 0 3


0 1 1
B=

0 0 0

0 0 0
2 0



1 0


0 1

0 0
を得る。よって、
rank(F ) = rank(A) = rank(B) = 3
null(F ) = dim(R5 ) − rank(F ) = 5 − 3 = 2
が分かる。
(ii) A の、B の主成分を含む列ベクトルと対応する列ベクトルのなす部分集合
     




 1 −2 0





    

 1 −2 1
    
S= 
  ,   ,   ⊂ im(F )



−2  4 2



     





1 
1
−1
は、基底である。B と対応する連立１次方程式
x1
+ 3x3 + 2x4
x2 +
x3
+
= 0
= 0
x4
x5 = 0
0
= 0
の解は、次のように表される。
 
 
 
x
−3
−2
 1
 
 
 
 
 
x2 
−1
−1
 
 
 
 
 
 
x3  = c1  1 + c2  0
 
 
 
 
 
 
x4 
 0
 1
 
 
 
x5
0
0
2
よって、
は、基底である。
   



−2 
−3









   








−1 
−1


   
   
R =  1 ,  0 ⊂ ker(F )
  



   



  1


0



   





0 
0
問題 3. (iii) と「(i) かつ (ii)」は同値であるため、「(i) ならば (ii)」と「(ii) ならば (i)」を示
せばよい。
まず、「(i) ならば (ii)」を示す。F は単射なので、ker(F ) = {0}、null(F ) = 0 であることが
分かる。よって、定理８より、
rank(F ) = dim(Rn ) − null(F ) = n − 0 − n
を得る。よって、im(F ) ⊂ Rn は、部分空間で、dim(im(F )) = dim(Rn ) であることが分かる。
練習問題その３の問題４の (ii) より、im(F ) = Rn が成り立つ。ゆえに、F は、全射である。
次に、
「(ii) ならば (i)」を示す。F は全射なので、im(F ) = Rn , rank(F ) = n であることが分
かる。よって、定理８より、
null(F ) = dim(Rn ) − rank(F ) = n − n = 0
を得る。すなわち、ker(F ) = {0} である。補題４より、F は単射であることが成り立つ。
3

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