応用理工学類応用数学 I Quiz 9 解説

応用理工学類応用数学 I Quiz 9 解説
問１部分分数展開法と留数の定理を用いる方法
(1)
L−1
[
]
{
[
]
[
]}
1
1
1
1
e2x − e−2x
sinh 2x
−1
−1
=
L
−
L
=
=
s2 − 4
4
s−2
s+2
4
2
]
}
}
∫ a+i∞ { sx
I { sx
1
1
e
1
e
esx
esx
L
≡
ds =
ds
−
−
s2 − 4
8πi a−i∞
s−2 s+2
8πi C s − 2 s + 2
} sinh 2x
1 {
（ここで C は z = ±2 を両方囲む閉曲線）=
2πie2x − 2πie−2x =
8πi
2
−1
[
(2)
L
−1
[
]
[
]
[
]
[
]
s+2
1−i
1+i
s+2
−1
−1
−1
=L
=L
+L
s2 + 4
(s − 2i)(s + 2i)
2(s − 2i)
2(s + 2i)
1 − i 2ix 1 + i −2ix
=
e +
e
= cos(2x) + sin(2x)
2
2
]
∫ a+i∞
I
s+2
1
1
s+2
(s + 2)esx
sx
L
=
e
ds
=
ds
s2 + 4
2πi a−i∞ (s − 2i)(s + 2i)
2πi C (s − 2i)(s + 2i)
{
}
2πi
(2i + 2)e2ix (−2i + 2)e−2ix
=
{Res(2i) + Res(−2i)} =
+
= cos(2x) + sin(2x)
2πi
2i + 2i
−2i − 2i
−1
[
(3)
s+2
= (s + 2)
2
s (s2 + 1)
{
1
1
− 2
2
s
s +1
}
=
1
2
1 + 2i
1 − 2i
+ 2−
−
s s
2(s − i) 2(s + i)
対応表から、求めるラプラス逆変換は：1+2x−
1 − 2i ix 1 + 2i −ix
e −
e
= 1+2x−cos x−2 sin x
2
2
∫ a+i∞
1
(s + 2)esx
または： ds = Res(0) + Res(i) + Res(−i)
2πi a−i∞ s2 (s − i)(s + i)
(
)
(
)
(
)
(s + 2)esx ′
(s + 2)esx
(s + 2)esx
=
+
+
s2 + 1
s2 (s + i) s=i
s2 (s − i) s=−i
s=0
1 − 2i ix 1 + 2i −ix
= (1 + 2x) −
e −
e
= 1 + 2x − cos x − 2 sin x
2
2
問２線形微分方程式のラプラス変換による解法練習。
(1)
{
}
36
s2 F (s) − 2s + 1 − 5 {sF (s) − 2} + 6F (s) = 2
s
36
(s2 − 5s + 6)F (s) − 2s + 11 = 2
s
(
)
1
36
A
B
C
D
F (s) =
+ 2s − 11 =
+
+ 2+
2
(s − 2)(s − 3) s
s−3 s−2 s
s
[
(
)]
[
(
)]
1
36
1
36
A=
+ 2s − 11
= −1, B =
+ 2s − 11
= −2
s − 2 s2
s
−
3
s2
s=3
s=2
1
36
1
6
1
36
C, D の決め方： = 2·
· 2 = 2 ·
5
2
(s − 2)(s − 3) s
s 6 − 5s + s
s 1 − 6s + · · ·
(
)
5
5
6
6
= 2 1 + s + · · · = 2 + + · · · となるので
s
6
s
s
C = 6, D = 5 とわかる。結局
5
1
2
6
F (s) = −
−
+ 2+
s−3 s−2 s
s
→
f (x) = −e3x − 2e2x + 6x + 5
(2)
{
}
1
s2 F (s) − s + 1 − 3 {sF (s) − 1} + 2F (s) =
(s − 1)2
(
)
1
1
d
=
(s2 − 3s + 2)F (s) − s + 4 = −
ds s − 1
(s − 1)2
{
}
1
1
A
B
C
D
F (s) =
+s−4 =
+
+
+
2
3
2
(s − 1)(s − 2) (s − 1)
s − 2 (s − 1)
(s − 1)
s−1
{
[
}]
1
1
まず、 A =
+s−4
= −1
s − 1 (s − 1)2
s=2
s−4
3
B, C, D の決め方：まず =
+ ···
(s − 1)(s − 2)
s−1
1
1
1
−1
1
つぎに =
·
=
·
3
3
3
(s − 1) (s − 2)
(s − 1) (s − 1) − 1
(s − 1) 1 − (s − 1)
}
1
−1 {
1
1
=
1 + (s − 1) + (s − 1)2 + · · · = −
−
−
···
3
3
2
(s − 1)
(s − 1)
(s − 1)
s−1
となるので B = −1, C = −1, D = 3 − 1 = 2 とわかる。結局
1
1
1
2
F (s) = −
−
−
+
s − 2 (s − 1)3 (s − 1)2 s − 1
→
(
)
x2
f (x) = −e −
+ x − 2 ex
2
2x
(3) 問題の線形性より、右辺の x sin x を xeix で置き換えて、最後に虚部を取ればよい。
(
)
d
1
1
2
s F (s) − 3sF (s) + 2F (s) = −
=
ds s − i
(s − i)2
{
}
1
1
1
1
1
1
=
−
=
−
F (s) =
(s − 2)(s − 1)(s − i)2
s − 2 s − 1 (s − i)2
(s − 2)(s − i)2 (s − 1)(s − i)2
さて、右辺各項を部分分数分解すると
1
1
1
1
1
−1
1
=
+
+
(s − 2)(s − i)2
(2 − i)2 (s − 2) (i − 2) (s − i)2 (i − 2)2 (s − i)
1
1
1
1
1
−1
1
=
+
+
(s − 1)(s − i)2
(1 − i)2 (s − 1) (i − 1) (s − i)2 (i − 1)2 (s − i)
つまりまとめて
3 + 4i 1
i 1
1 + 3i
1
6 − 17i 1
F (s) =
−
+
−
2
25 s − 2 2 s − 1
10 (s − i)
50 s − i
3 + 4i 2x i x 1 + 3i ix 6 − 17i ix
f (x) =
e − e +
xe −
e
25
2
10
50
ここで虚部を取るべきなのだから、結局
1
3
1
17
3
4
cos x −
sin x
f (x) = e2x − ex + x cos x + x sin x +
25
2
10
10
50
25
問３ラプラス変換におけるたたみこみ関数の概念
(1) s = x − t と変数変換すれば ds = −dt に注意して
∫ x
∫ 0
∫
(f ∗g)(x) ≡
f (x−t)g(t)dt =
f (s)g(x−s)(−ds) =
0
x
x
g(x−s)f (s)ds = (g∗f )(x)
0
(2) まず階段関数 θ(x) を用いて積分範囲を (−∞, ∞) にしておくと楽。
∫ ∞
h(x) =
{θ(x − t)f (x − t)}{θ(t)g(t)}dt
−∞
であり、このとき x < 0 では自動的に h(x) = 0 であることに注意すれば、
]
∫ ∞
∫ ∞ [∫ ∞
−sx
−s(x−t)
−st
H(s) =
h(x)e dx =
{θ(x − t)f (x − t)e
}{θ(t)g(t)e }dt dx
−∞
−∞
−∞
ここで絶対収束を条件に積分順序を交換して
]
∫ ∞ [∫ ∞
−s(x−t)
{θ(x − t)f (x − t)e
}dx {θ(t)g(t)e−st }dt
H(s) =
−∞
−∞
ここで変数変換 r = x − t を行えば
]
∫ ∞ [∫ ∞
{θ(r)f (r)e−s(r) }dr {θ(t)g(t)e−st }dt
H(s) =
−∞
−∞
[∫ ∞
] [∫ ∞
]
−s(r)
−st
=
{θ(r)f (r)e
}dr
{θ(t)g(t)e }dt = F (s)G(s)
−∞
−∞
問４両辺のラプラス変換を取ることにより、次の積分方程式を解いて x > 0 における ϕ(x)
を求めよ。なお、ラプラス逆変換は「部分分数分解」と留数計算の両方の方法で行ってみ
なさい。
∫
x
ϕ(y)e−|x−y| dy = sin x
for x > 0
0
たたみこみの形に注目して、両辺をラプラス変換すれば、
[
]
L [ϕ(x)] L e−x = L [sin x]
1
1
つまり L(s) ·
=
s+1
(s − i)(s + i)
1−i
1
1+i
1
s+1
=
·
+
·
L(s) =
(s − i)(s + i)
2
s−i
2
s+i
1 − i ix 1 + i −ix
ラプラス逆変換してϕ(x) =
e +
e
= cos x + sin x
2
2
留数の方法でも
I
1
1
−
i
1 + i −ix
ϕ(x) =
L(s)esx ds = Res [s = i] + Res [s = −i] =
eix +
e
2πi
2
2

Download Report