第9回復習

第 9 回復習 1
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問 1. a, b ∈ Z に対して a ∼3 b を ∃n ∈ Z[b − a = 3n] と定めると ∼3 は同値関係になる．このとき以下の問
に答えよ．
(1) C1 を図示せよ．
•
−8
•
−5
•
−2
•
1
•
4
•
7
(2) f : Z/ ∼3 → Z を f (Ca ) = (a を 3 でわった余り ) とするとき f が well-defined であるかを考察せよ．
a ∼ b とするとある n ∈ Z が存在して b − a = 3n となるので a と b の 3 でわった余りは一致する．
よって f (Ca ) = f (Cb ) となり f が well-defined であることがわかる．
問 2. θ, θ′ ∈ R に対して θ ∼ θ′ をある整数 n ∈ Z が存在して θ − θ′ = 2nπ と定める．この ∼ は同値関係に
なる. このとき以下の問いに答えよ．
(1) Cπ を図示せよ．
•
•
•
−5π −3π −π
•
π
•
3π
•
5π
(2) 商集合 R/ ∼ から R への写像 g : R/ ∼→ R2 を g(Cθ ) = (cos θ, sin θ) と定めると well-defined である
ことを示せ．
θ ∼ θ′ とするとある n ∈ Z が存在して θ = θ′ + 2nπ となる．このとき
g(Cθ ) = (cos θ, sin θ) = (cos(θ′ + 2nπ), sin(θ′ + 2nπ)) = (cos θ′ , sin θ′ ) = g(Cθ′ )
となるので g は well-defined である．
問 3. (a, b), (c, d) ∈ R × R に対して (a, b) ∼ (c, d) を a + d = b + c と定めると ∼ は同値関係になる．この
とき以下の問に答えよ．
(1) C(1,1) を図示せよ．
b
a=b
a
(2) g : R × R/ ∼→ R を g(C(a,b) ) = a − b と定義すると g が well-defined であるかを考察せよ．
(a, b) ∼ (c, d) であるから a + d = b + c であるので a − b = c − d である．これは g(C(a,b) ) = g(C(c,d) )
を示している．
問 4. V を R 上のベクトル空間, W ⊂ V を V の部分空間とする．このとき a, b ∈ V に対して a ∼ b を
a − b ∈ W と定める．以下の問いに答えよ．
(1) V = R2 , W = R × {0} のとき C(1,1) を求めよ．
C(1,1) = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) ∼ (1, 1)}
= {(x, y) ∈ R2 | (x − 1, y − 1) ∈ R × {0}}
= {(x, y) ∈ R2 | y − 1 = 0}
= R × {1}.

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