14. 内積空間

2014 年 2S 科代数学 1 演習
14. 内積空間
内積・ノルムの定義と性質, 正規直交基
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'
定義 (内積). 実ベクトル空間 V の任意のベクトル a, b に対して, 実数 (a, b) が定まり,
次の 4 つの条件が満たされるとき, (a, b) を a と b の内積という:
(1) (a, b) = (b, a)
(2) (a + b, c) = (a, c) + (b, c)
(3) (ka, b) = k(a, b) (4) a ̸= 0 のとき, (a, a)>0
ここで, a, b, c ∈ V , k ∈ R. 内積が定義された空間を内積空間または計量ベクトル空間と
いう. また, (a, b) = 0 となるとき a と b は直交するといい, a⊥b で表す.
注意複素ベクトル空間についても同様に内積が定義される. 両者を区別して実内積, 複素
内積と呼び分けることがある.
標準内積. n 次元数ベクトル空間 Rn のベクトル a, b に対して,
n
∑
(a, b) =
a i bi
i=1
と定めるとこれは内積の 4 条件を満たす. この内積を Rn の標準内積といい, 標準内積に
より Rn を内積空間と見なすとき, n 次元ユークリッド空間と言う.
√
定義 (ノルム). 内積空間 V において, (a, a) をベクトル a のノルム (norm) または長
さといい, ∥a∥ で表す. また, ベクトル a ̸= 0 に対して, ベクトル ∥a∥−1 a を a を正規化し
たベクトルという.
定義 (正規直交基). R 上の内積空間 V の 0 でないベクトル a1 , a2 , . . . , am についてどの
2 つのベクトルも互いに直交するとき, a1 , a2 , . . . , am は直交系であるという. 特にすべて
のベクトルが正規化されているとき, a1 , a2 , . . . , am は正規直交系であるという. また, n
次元内積空間 V において正規直交系である V の基を正規直交基という.
例 n 次元ユークリッド空間 Rn において標準基 {e1 , e2 , . . . , en } は正規直交基である.
グラムシュミットの正規直交化法.
して,
n 次元ベクトル空間 V の基底 {a1 , a2 , . . . , an } に対
b1 = a1 , bj = aj −
j−1
∑
(aj , bi )
bi (2 ≤ j ≤ n)
(bi , bi )
と定め, さらに bj を正規化して cj = ∥bj ∥ bj (1 ≤ j ≤ n) とすると, {c1 , c2 , . . . , cn } は
V の正規直交基である.
i=1
−1
定理 (直交行列と正規直交基). n 次正方行列 A について次の 2 つは同値である:
(2) A の n 個の列ベクトルは Rn の正規直交基をつくる.
(1) A は直交行列である.
&
問 1. a =
( )
a1
a2 , b =
a3
( )
b1
b2
b3
とする. 次のように定める写像 (·, ·) が R3 の内積となるか調べよ.
(1) (a, b) = a1 b1 + 2a2 b2 + 3a3 b3
∫
問 2. Rn [x] において (p, q) =
(2) (a, b) = a1 b2 + a2 b3 + a3 b1
(3) (a, b) = a1 b1 + a3 b3
1
p(x)q(x) dx と定めると, これは内積となることを示せ. ま
−1
た, この内積と内積から成り立つノルムについて以下の値を求めよ.
(1) (x, 1 + x)
(2) ∥x∥
(3) (1 − x, 1 + x2 )
– 26 –
%
問 3. V を R 上の内積空間とし, a, b ∈ V とする. 次の不等式を示せ.
(1)
(3)
(5)
(a, b) ≤ ∥a∥∥b∥
∥a∥ − ∥b∥ ≤ ∥a − b∥
∥a + b∥2 + ∥a − b∥2 = 2∥a∥2 + 2∥b∥2
(2) ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥
(4) a⊥b ならば ∥a + b∥2 = ∥a∥2 + ∥b∥2
問 4. V を R 上の内積空間とし, a, b ∈ V を一次独立なベクトルとする. このとき, r ∈ R\{0}
として, b1 = ra, b2 = b − b1 と定める. b1 ⊥b2 となる r を求めよ. (このような b1 を b の a
への正射影という.)
問 5. グラム・シュミットの直交化法を用いて, 次の 3 次元ユークリッド空間の基底から正規
直交基底を作れ.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
4
2
1 , a2 =
4 , a3 = 4
−1
−1
3
( )
( )
( )
1
1
2
(3) a1 = 0 , a2 = 1 , a3 = 1
1
1
3
(1) a1 =
1
2
3
2 , a2 = 3 , a3 = −3
3
4
1
( )
( )
( )
1
1
2
(4) a1 = 1 , a2 = 3 , a3 = −1
0
1
1
(2) a1 =
問 6. 次の R4 の部分空間の標準内積における正規直交基底をグラム・シュミットの直交化法
を用いて作れ
 .   
     
     
1
1
1 1
(1) V =   ,  
0
1
0
0
1
0
0
1 1 0
(2) V =   ,   ,  
0
1
1
0
0
1
1
3
4
0 0  1 
(3) V =   ,   ,  
1
1
0
0
1
−1
問 7. 次の R4 の部分空間の標準内積における正規直交基底をグラム・シュミットの直交化法
を用いて作れ
 
. 


x x 



 1  1 

x2 
x2  x1 − 2x2 + 3x4 = 0
(2) V =  x1 = x2 + 2x3 − x4
(1) V =  
 x3  x3 x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0





x x
4
4
補充問題
∫
1
問 8. R2 [x] において, (p, q) =
p(x)q(x) dx とする. これにより R2 [x] の内積が定まること
0
を示し, グラム・シュミットの直交化法を用いて, 次の基底から正規直交基底を作れ.
(1) 基 {1, x, x2 }
(2) 基 {1 + x, x + x2 , 1}
(3) 基 {1, 1 − x, (1 − x)2 }
問 9. 次の行列が直交行列であることを示せ.
)
(
(
)
sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ
cos θ − sin θ
cos ϕ
(1)
(2) sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ
sin θ
cos θ
cos θ
− sin θ
0
問 10. n 次元実内積空間 V の正規直交基底 {u1 , u2 , . . . un } とする. V の任意のベクトル a,
b について次の等式が成り立つことを示せ.
n
n
n
∑
∑
∑
(1) a =
(a, ui )ui
(2) ∥a∥2 =
|(a, ui )|2
(3) (a, b) =
(a, ui )(ui , b)
i=1
i=1
– 27 –
i=1

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