ナノ物性 B （秋学期）レポート課題

平成 27 年 1 月 9 日（金）
ナノ物性 B （秋学期）レポート課題
提出期限：最終講義（平成 27 年 1 月 30 日）の開始時
※ 考え方の筋道が分かるように解答すること。
【問１】ナノ（デバイス）構造がリード領域を介して二つの熱浴と接続した系の絶対零度に
おけるコンダクタンス G が、次の Landauer 公式で与えられることを示せ。
G=
2e2
T (µ)
h
ここで、e は素電荷、h はプランク定数、T (µ) はデバイス領域の透過確率、µ は導体に接し
ている熱浴の化学ポテンシャルである。
Landauer 公式から明らかなように、透過係数が T (µ) = 1 であってもコンダクタンス G
には上限がある。言い換えれば、反射（散乱）の無い弾道的な導体においても有限の抵抗
R = 12.9 kΩ が存在する。その理由を説明せよ。古典系では、反射（散乱）が無ければコン
ダクタンスは無限大（抵抗はゼロ）になることをふまえて説明すること。
【問２】（Lipmann-Schwinger 方程式に含まれる）1 次元自由粒子に対する遅延グリーン関
数 Gr (x, x′ )（実空間表示）が、以下のように与えられることを示せ。
Gr (x, x′ ) = ⟨x|
′⟩
1
x = − m i eik|x−x′ |
ˆ
ℏ2 k
ε − H0 + iδ
ˆ 0 は自由粒子のハミルトニアン、δ は正の微小量、ℏ はプランク定数 h を 2π で割っ
ここで、H
た定数である。また、波数と質量を用いて入射粒子のエネルギー εk は εk = ℏ2 k 2 /(2m) で
与えられるとする。
１次元 Lipmann-Schwinger 方程式をつぎの散乱ポテンシャル
V (x) = (v0 a) δ (x)
のもとで厳密に解いて、入射粒子の波数 k に対する透過確率 T (k) および反射確率 R(k) を
求めよ。T (k) + R(k) = 1 となることを示せ。ここで、v0 はエネルギーの次元をもつ定数、
a は長さの次元をもつ正の定数であり、|v0 ma/(ℏk)| < 1 を仮定せよ。
さらに、Born 近似のもとで反射確率 R(k) を求め、厳密解と Born 近似のもとでの反射確
率を波数 k の関数として同一グラフにプロットすることで、Born 近似の破綻する領域を物
理的理由も含めて明らかにせよ。

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