微分積分学I 演習問題2 解答

微分積分学 I 演習問題 2 解答
1. （1） x = r cos θ, y = r sin θ とおくと, (x, y) → (0, 0) と r → 0 は同値である. 分
母の 2x2 を x2 で置き換えると分母は小さくなるから,
3
x + x2 y x3 + x2 y 3
2
2x2 + y 2 ≦ x2 + y 2 = |r(cos θ + cos θ sin θ)|
≦ |r cos3 θ| + |r cos2 θ sin θ|
≦ r + r = 2r → 0.
途中, 三角不等式 |a + b| ≤ |a| + |b| を用いた. よって, 極限値は 0.
xy 2
2 +y 4
x
y→0
（2）直線 x = 0 に沿って y → 0 とすると, lim x=0
= 0. さらに曲線 x = y 2
に沿って (x, y) が (0, 0) に近づくと,
lim2
x=y
y→0
xy 2
y4
1
=
= .
2
4
4
4
x +y
y +y
2
よって, 極限は存在しない.
2. （1） y 軸 x = 0 に沿って y → 0 とすると,
x2 + y 2
1
= ̸= f (0, 0).
2
2
x=0 x + 2y
2
y→0
lim
よって, (0, 0) で連続でない.
（2） x = r cos θ, y = r sin θ とおくと, r → 0 のとき
4
r cos4 θ + r3 sin3 θ = |r2 cos4 θ + r sin3 θ| ≦ r2 + r → 0.
|f (x, y) − 1| = 2
r
よって lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 1 = f (0, 0) となるから f は (0, 0) で連続.
3. 連続性. 直線 y = x に沿って (x, y) → (0, 0) となるとき,
f (x, y)
f (x, y) = lim
lim
x=y
x=y
x→0
x→0
2x2
1
= ̸= 0 = f (0, 0).
2
2
x +x
2
よって f は原点で連続でない.
全微分可能性. 関数は全微分可能なら連続であるという定理があるので, その対
偶を考えれば, f は原点で全微分不可能である.
偏微分可能性. 定義より, 全ての x ∈ R に対して f (x, 0) = 0. よって f (x, 0) は
x = 0 で微分可能で微分は 0 になる. つまり f は原点で x に関して偏微分可能であ
る. 同様に, f は原点で y に関して偏微分可能である.
4. 合成関数の微分法により,
dz
1
x
φ′ (t) φ(t)ψ ′ (t)
φ′ (t)ψ(t) − φ(t)ψ ′ (t)
=
.
= · φ′ (t) − 2 · ψ ′ (t) =
−
dt
y
y
ψ(t)
ψ(t)2
ψ(t)2
5. （1） zx = 1.
（2） z = −x + 2u だから, zx = −1.
この問題から分かること: 同じ関数 z, 変数 x であっても, z = f (x, y) と見ると
きの zx と, z = g(x, u) と見るときの zx は異なる. つまり zx は変数の組 (x, y) や
(x, u) で決まるのであって, z と x で決まるのではない.
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= zx cos θ + zy sin θ,
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= −zx r sin θ + zy r cos θ.
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
∂zx
∂zx ∂x ∂zx ∂y
（2）
=
+
= zxx cos θ + zxy sin θ,
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂zy
∂zy ∂x ∂zy ∂y
=
+
= zxy cos θ + zyy sin θ.
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
（3） (1), (2) の結果を用いて
∂ 2z
∂ ∂z
∂
∂zx
∂zy
=
=
(zx cos θ + zy sin θ) =
cos θ +
sin θ
2
∂r
∂r ∂r
∂r
∂r
∂r
= (zxx cos θ + zyy sin θ) cos θ + (zxy cos θ + zyy sin θ) sin θ
6. （1）
= zxx cos2 θ + 2zxy sin θ cos θ + zyy sin2 θ.
同様に,
∂ 2z
∂ ∂z
∂
∂
∂
=
=
(−zx r sin θ + zy r cos θ) = −r (zx sin θ) + r (zy cos θ)
2
∂θ
∂θ ∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
{
}
∂zx ∂x ∂zx ∂y
= −r
+
sin θ − rzx cos θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
{
}
∂zy ∂x ∂zy ∂y
+
cos θ − rzy sin θ
+r
∂x ∂θ
∂y ∂θ
= −r(zxx (−r sin θ) + zxy r cos θ) sin θ − rzx cos θ
+ r(zxy (−r sin θ) + zyy r cos θ) cos θ − rzy sin θ
= zxx r2 sin2 θ − 2zxy r2 sin θ cos θ + zyy r2 cos2 θ − zx r cos θ − zy r sin θ.
以上を用いて証明すべき等式の右辺を計算すると, 結論を得る.
注: この計算は科学でよく出てきます. 電磁波の理論, 流体の理論 (波の動き,
気象など).
7. 1 変数の合成関数の微分法によって,
zt = f ′ (x + t) − g ′ (x − t),
ztt = f ′′ (x + t) + g ′′ (x − t).
zx = f ′ (x + t) + g ′ (x − t),
zxx = f ′′ (x + t) + g ′′ (x − t).
また,
よって ztt = zxx . これを波動方程式という.

Download Report