指定された分布に従 う乱数 1 モデリングとシミュレーション 2 一様乱数から指定された分布に 従う乱数へ シミュレーションにおいて、乱数の分 布が指定される場合がある 指数分布に従う乱数 正規分布に従う乱数 変換法 棄却法 3 確率分布 実数に対する分布 実数は連続であることに注意 確率密度𝑓𝑓 𝑥𝑥 の解釈 区間[𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)に入る確率 f ( x ) ∆x 規格化 ∫ xmax xmin f ( x ) dx = 1 4 F ( x + ∆x ) F ( x) F ( x) x x + ∆x 5 [0,1)の一様乱数𝑟𝑟を生成 𝑥𝑥 へ変換 x = F −1 ( r ) [𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)に入る確率 F −1 ( x ) , F −1 ( x + ∆x ) ) の長さ F −1 ( x + ∆x ) − F −1= ( x ) f ( x ) ∆x + O ( ∆x 2 ) 6 例:指数分布 e , 0 ≤ x < 1, A = f ( x ) Ae = e −1 −x F (= x) ∫ x 0 f ( y )= dy A (1 − e − x ) F −1 ( r ) = − ln (1 − r / A ) f ( x) F ( x) 7 変換法の困難さ 変換法が使えるためには 確率分布の表式を得られる 不定積分の表式が得られる 確率分布の逆関数の表式を得られる これらは、かなり特殊な場合 8 正規分布:特殊な例 = f ( x) x2 exp − 2 , − ∞ < x < ∞ 2 2πσ 2σ 1 不定積分は誤差関数と呼ばれ、表式は 知られていない 標準的な確率分布 9 二次元正規分布を考える x2 + y 2 exp − f ( x, y ) dxdy = dxdy 2 2 2πσ 2σ 1 極座標へ変換 x = r cos θ y = r sin θ r2 = f ( r ) rdrdθ r exp − 2 drdθ 2 2πσ 2σ 1 10 𝜃𝜃方向には一様であること r2 = f ( r ) r dr r exp − 2 dr 2 σ 2σ r 1 r '2 r2 f ( r ') r 'dr ' = 1 − exp − 2 ∫0 σ 2 r 'exp − 2σ 2 dr ' = 2σ 1 ρ=∫ r 0 r= −2σ 2 ln (1 − ρ ) 11 二つの乱数 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 , 0 ≤ 𝑢𝑢, 𝑣𝑣, < 1 r= −2σ 2 ln (1 − u ) , θ = 2π v x = r cos θ 二つの乱数から一つしか作ることがで きないことに注意 12 棄却法 (rejection method) 変換法で生成できない分布に対応 効率は悪いが、応用範囲が広い 13 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥)の変域を𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏)とし、𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝑚𝑚とする 2. 乱数生成 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ [0,1) 3. 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 4. 𝑦𝑦 < 𝑓𝑓(𝑧𝑧)/𝑚𝑚ならば𝑧𝑧を採用 5. それ以外ならば棄却 6. 次の乱数を生成
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