【解答】平均・分散の計算2 - So-net

【解答】平均・分散の計算２
計算特訓第３回：その２
注意
各問題でまず c を求めるが、求めたあとすぐに c に代入するよりは、一通り c のままで計算して、最後に代入する方が計
算が楽になる場合も多い。特に (9) 以降の c が複雑になる問題では注意すること。
問題１（確率密度関数になるような条件）
(1)
∫
∫
2
2
f (x)dx =
cxdx = 2c
0
1
2
より、積分値が 1 になるとき 2c = 1 より、c =
E[X] =
1
2
∫
2
x2 dx =
0
4
,
3
0
となる。このとき、
E[X 2 ] =
∫
1
2
2
x3 dx = 2,
V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
0
2
9
(2)
∫
∫
1
1
cx2 dx =
f (x)dx =
0
より、積分値が 1 になるとき
c
3
∫
1
= 1 より、c = 3 となる。このとき、
x3 dx =
E[X] = 3
0
c
3
0
3
,
4
∫
1
E[X 2 ] = 3
x4 dx =
0
3
3
, V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
5
80
(3)
∫
∫
1
1
x(1 − x)2 dx =
f (x)dx = c
0
0
より、積分値が 1 になるとき
∫
1
0
= 1 より、c = 12 となる。このとき、
2
x (1 − x) dx = ,
5
2
E[X] = 12
1
12 c
2
1
c (= cB(2, 3))
12
∫
1
x3 (1 − x)2 dx =
2
E[X ] = 12
0
1
1
, V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
5
25
(4)
∫
∫
π
π
f (x)dx = c
sin xdx = 2c
0
より、積分値が 1 になるとき 2c = 1 より、c =
E[X] =
1
2
∫
π
x sin xdx =
0
0
1
2
となる。このとき、
π
1
, E[X 2 ] =
2
2
∫
π
x2 sin xdx =
0
1
π2
π2
− 2, V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
−2
2
4
(5)
∫
∫
π
2
f (x)dx = c
0
π
2
cos xdx = c
0
より、積分値が 1 になるとき c = 1 となる。このとき、
∫
π
2
∫
π
x cos xdx = − 1,
2
E[X] =
0
π
2
2
x2 cos xdx =
E[X ] =
0
π2
− 2,
4
V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 = π − 3
(6)
∫
∫
c
c
f (x)dx =
0
より、積分値が 1 になるとき
∫
1
E[X] =
0
(
1
x x+
2
c2
2
)
= 1 より、c = 1, −2 であるが、問題文から c > 0 より c = 1 となる。このとき、
c
2
+
0
(
)
c
1
c2
+
x+
dx =
2
2
2
7
dx =
, E[X 2 ] =
12
∫
1
(
)
1
5
x x+
dx =
,
2
12
2
0
V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
11
144
(7)
∫
c
0
∫
3
f (x)dx =
7
c
(x + 1)2 dx =
0
}
1{
(c + 1)3 − 1
7
より、積分値が 1 になるとき
}
1{
(c + 1)3 − 1 = 1
7
(c + 1)3 − 1 = 7
(c + 1)3 = 8
c+1=2
c=1
となる。このとき、
3
E[X] =
7
∫
1
17
x(x + 1) dx =
,
28
2
0
∫
2
1
x2 (x + 1)2 dx =
E[X ] =
0
31
291
, V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
70
3920
(8)
∫
∫
c
0
c
x2 (1 − x)2 dx = 6c5 − 15c4 + 10c3
f (x)dx = 30
0
より、積分値が 1 になるとき
6c5 − 15c4 + 10c3 = 1 ⇐⇒ 6c5 − 15c4 + 10c3 − 1 = 0
となる。ここで、c = 1 を代入してみると解になることが分かるので、6c5 − 15c4 + 10c3 − 1 は (c − 1) で割りきれる*1 。し
たがって、
6c5 − 15c4 + 10c3 − 1 = 0 ⇐⇒ (c − 1)(6c4 − 9c3 + c2 + c + 1) = 0
となり、同様に 6c4 − 9c3 + c2 + c + 1 = 0 の部分に対して、「解を探して割り算」を繰り返すと
(c − 1)3 (6c2 + 3c + 1) = 0
*1
高校で習う「因数定理」という定理です。
2
となる。ここで、6c2 + 3c + 1 = 0 は判別式 D が D = 32 − 4 · 6 = −15 < 0 より、これは実数解をもたない。よって、条
件を満たす c は c = 1 のみである。このとき
∫
1
∫
1
, E[X 2 ] =
2
x3 (1 − x)2 dx =
E[X] = 30
0
1
x4 (1 − x)2 dx =
0
2
1
, V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
7
28
(9)
∫
∫
c
c
ex dx = ec − 1
f (x)dx =
0
0
より、積分値が 1 になるとき
ec − 1 = 1 ⇐⇒ ec = 2
⇐⇒ c = log 2
となる。このとき、
∫
c
xex dx = 2 log 2 − 1 E[X 2 ] = 2(log 2)2 − 4 log 2 + 2, V [X] = 1 − 2(log 2)2
E[X] =
0
(10)
∫
∫
2
2
log xdx = c(2 log 2 − 1)
f (x)dx = c
1
1
より、積分値が 1 となるとき、c(2 log 2 − 1) = 1 ⇐⇒ c =
∫
E[X] = c
1
2
∫
2 log 2 − 34
x log xdx =
,
2 log 2 − 1
1
2 log 2−1
となる。このとき
2
x2 log xdx =
E[X] = c
1
log 2 − 79
, V [X] =
2 log 2 − 1
8
3
− 11
9 log 2 +
(2 log 2 − 1)2
4
2
3 (log 2)
(11)
∫
∫
e
e
f (x)dx = c
x log xdx =
1
より、積分値が 1 となるとき、c =
∫
e
1
となる。このとき
4(2e3 + 1)
x log xdx =
, E[X 2 ] = c
9(e2 + 1)
∫
e
2
E[X] = c
1
V [X] =
4
e2 +1
c 2
(e + 1)
4
x3 log xdx =
1
3e4 + 1
4(e2 + 1)
−13e6 + 243e4 − 256e3 + 81e2 + 17
324(e2 + 1)2
(12)
∫
∫
0
0
ex dx = ec
f (x)dx =
−∞
−∞
より、積分値が 1 となるとき、ec = 1 より c = 0 となる。このとき
∫
∫
0
E[X] =
−∞
xex dx = −1, E[X 2 ] =
0
x2 ex dx = 2, V [X] = 1
−∞
(13)
∫
f (x)dx = c
−∞
より、積分値が 1 となるとき c =
1
E[X] = √
2π
√1
2π
( 2)
√
x
exp −
dx = 2πc
2
−∞
∫
∞
∞
となる。このとき
( 2)
( 2)
∫ ∞
x
1
x
x exp −
dx = 0, E[X 2 ] = √
x2 exp −
dx = 1,
2
2
2π −∞
−∞
∫
∞
3
V [X] = 1
31
144
(14)
(
)
√
(x − 2)2
f (x)dx = c
exp −
dx = 2πc
2
−∞
−∞
∫
より、積分値が 1 となるとき c =
1
E[X] = √
2π
∫
∞
√1
2π
∞
となる。このとき
(
)
(
)
∫ ∞
(x − 2)2
1
(x − 2)2
2
2
x exp −
dx = 2, E[X ] = √
x exp −
dx = 5, V [X] = 1
2
2
2π −∞
−∞
∫
∞
(15)
∫
より、積分値が 1 となるとき c =
E[X] = √
2πσ 2
√ 1
2πσ 2
∞
となる。このとき
(
)
(
)
∫ ∞
x2
1
x2
x exp − 2 dx = 0, E[X 2 ] = √
x2 exp − 2 dx = σ 2 ,
2σ
2σ
2πσ 2 −∞
−∞
∫
1
(
)
√
x2
f (x)dx = c
exp − 2 dx = 2πσ 2 c
2σ
−∞
−∞
∫
∞
∞
V [X] = σ 2
(16)
∫
∫
∞
f (x)dx = c
−∞
より、積分値が 1 となるとき c =
E[X] = √
1
2πσ 2
∫
√ 1
2πσ 2
(
)
√
(x − µ)2
exp −
dx = 2πσ 2 c
2
2σ
−∞
∞
となる。このとき
(
)
(
)
∫ ∞
(x − µ)2
1
(x − µ)2
2
2
√
x exp −
dx
=
µ,
E[X
]
=
x
exp
−
dx = µ2 + σ 2 ,
2
2
2
2σ
2σ
2πσ
−∞
−∞
∞
V [X] = σ 2
(17)
∫
∫
∞
∞
f (x)dx = c
exp (−3x)dx =
0
0
c
3
より、積分値が 1 となるとき c = 3 となる。このとき
∫
E[X] = 3
0
∞
1
x exp (−3x)dx = , E[X 2 ] = 3
3
∫
∞
x2 exp (−3x)dx =
0
2
,
9
V [X] =
1
9
(18)
∫
∫
∞
∞
f (x)dx =
c
exp (−5x)dx =
0
1 −5c
e
5
より、積分値が 1 となるとき 15 e−5c = 1 ⇐⇒ e−5c = 5 ⇐⇒ c = − 51 log 5 となる。このとき
∫
∞
E[X] =
c
log 5 + 1
x exp (−5x)dx = −
, E[X 2 ] =
5
∫
∞
x2 exp (−5x)dx =
c
(log x)2 + 2 log 5 + 5
,
25
V [X] =
(19)
∫
∫
∞
∞
f (x)dx = c
1
より、積分値が 1 となるとき、c ·
exp (−λx)dx = c ·
1
e−λ
λ
e−λ
λ
= 1 ⇐⇒ c = λeλ となる。このとき
∫ ∞
∫ ∞
1
2
2
1
2
E[X] = c
x exp (−λx)dx = 1 + , E[X ] = c
x2 exp (−λx)dx = 1 + + 2 , V [X] = 2
λ
λ
λ
λ
1
1
4
4
25
(20)
∫
∫
∞
∞
f (x)dx = c
10
より、積分値が 1 となるとき、c ·
exp (−λx)dx = c ·
10
e−10λ
λ
e−10λ
λ
= 1 ⇐⇒ c = λe10λ となる。このとき、
∫ ∞
∫ ∞
1
20
2
E[X] = c
x exp (−λx)dx = 10 + , E[X 2 ] = c
x2 exp (−λx)dx = 100 +
+ 2,
λ
λ
λ
10
10
5
V [X] =
1
λ2

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