第 10 回代表的な連続分布

第 10 回代表的な連続分布
村澤康友
2015 年 5 月 25 日
目次
1
一様分布
1
2
指数分布
3
3
正規分布
4
4
ガンマ分布
6
5
ベータ分布
7
1 一様分布
定義 1. [a, b] 上の一様分布の pdf は
{
f (x) :=
1/(b − a) for x ∈ [a, b]
0
elsewhere
注 1. U[a, b] と書く．
注 2. cdf は


for x < a
0
F (x) = (x − a)/(b − a) for x ∈ [a, b]


1
for x > b
例 1. ルーレット．
例 2. U[0, 1] の cdf と pdf は図 1 の通り．
定理 1. U ∼ U[a, b] なら
a+b
2
(a − b)2
var(U ) =
12
E(U ) =
1
0.8
0.0
0.4
dunif(x)
0.8
0.4
0.0
punif(x)
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
x
x
図 1 U[0, 1] の cdf と pdf
証明. 平均は
∫
∫
a
E(U ) :=
−∞
b
u · 0 du +
[ 2 ]b
u
1
=
b−a 2 a
u·
a
1
du +
b−a
∫
∞
u · 0 du
b
b2 − a2
2(b − a)
a+b
=
2
=
2 次の積率は
( )
E U 2 :=
∫
∫
a
−∞
b
u2 · 0 du +
[ 3 ]b
u
1
=
b−a 3 a
u2 ·
a
1
du +
b−a
∫
∞
u2 · 0 du
b
b3 − a3
3(b − a)
a2 + ab + b2
=
3
=
分散は
( )
var(U ) = E U 2 − E(U )2
(
)2
a2 + ab + b2
a+b
=
−
3
2
2
2
4a + 4ab + 4b
3a2 + 6ab + 3b2
=
−
12
12
(a − b)2
=
12
2
1
2
0.8
0.0
0.4
dexp(x)
0.8
0.4
0.0
pexp(x)
−4
−2
0
2
4
−4
x
−2
0
2
4
x
図 2 Exp(1) の cdf と pdf
2 指数分布
単位時間当たりの成功回数の分布を Poi(λ) とする．y 時間での成功回数を X とすると X ∼ Poi(λy)．初
成功までの待ち時間を Y とすると
Pr[Y ≤ y] = 1 − Pr[Y > y]
= 1 − Pr[X = 0]
= 1 − fX (0)
= 1 − e−λy
定義 2. 指数分布の cdf は
{
0
F (x) :=
1 − e−λx
for x ≤ 0
for x > 0
注 3. Exp(λ) と書く．
注 4. pdf は
{
0
f (x) =
λe−λx
for x ≤ 0
for x > 0
例 3. Exp(1) の cdf と pdf は図 2 の通り．
定理 2. X ∼ Exp(λ) なら
1
λ
1
var(X) = 2
λ
E(X) =
証明. mgf を用いるのが簡単．詳細は略．
3
0.4
0.0
0.2
dnorm(x)
0.8
0.4
0.0
pnorm(x)
−4
−2
0
2
4
−4
x
3 正規分布
定義 3. 正規（ガウス）分布の pdf は
(
(
)2 )
1 x−µ
1
f (x) := √
exp −
2
σ
2πσ
)
注 5. N µ, σ 2 と書く．
例 4. 測定誤差，標本平均（中心極限定理）．
定義 4. N(0, 1) を標準正規分布という．
注 6. N(0, 1) の cdf を Φ(.)，pdf を ϕ(.) で表す．
例 5. N(0, 1) の cdf と pdf は図 3 の通り．
(
)
定理 3. N µ, σ 2 の mgf は
0
x
図 3 N(0, 1) の cdf と pdf
(
−2
)
(
σ 2 t2
M (t) = exp µt +
2
4
2
4
(
)
証明. X ∼ N µ, σ 2 とすると
(
)
M (t) := E etX
(
(
)2 )
∫ ∞
1
1 x−µ
tx
=
e √
exp −
dx
2
σ
2πσ
−∞
(
)
∫ ∞
1
x2 − 2µx + µ2
√
=
exp tx −
dx
2σ 2
2πσ
−∞
( 2
)
∫ ∞
x − 2µx − 2σ 2 tx + µ2
1
√
exp −
dx
=
2σ 2
2πσ
−∞
( [
)
(
)]2
∫ ∞
x − µ + σ2 t
− 2µσ 2 t − σ 4 t2
1
√
=
exp −
dx
2σ 2
2πσ
−∞
)
( [
(
)]2
∫ ∞
x − µ + σ2 t
1
σ 2 t2
√
+ µt +
dx
=
exp −
2σ 2
2
2πσ
−∞

[
(
) ]2 
(
)
∫ ∞
x − µ + σ2 t
1
1
σ 2 t2


√
=
exp −
dx exp µt +
2
σ
2
2πσ
−∞
(
)
N µ + σ 2 t, σ 2 の pdf の積分は 1．
(
)
系 1. X ∼ N µ, σ 2 なら
E(X) = µ
var(X) = σ 2
証明. mgf を微分すると
(
)
)
σ 2 t2
= µ + σ t exp µt +
2
(
)
(
)
2 2
(
)
σ t
σ 2 t2
′′
2
2 2
MX (t) = σ exp µt +
+ µ + σ t exp µt +
2
2
′
MX
(t)
(
2
したがって
′
E(X) = MX
(0)
=µ
( 2)
′′
E X = MX
(0)
= σ 2 + µ2
( )
var(X) = E X 2 − E(X)2
= σ2
(
)
定理 4. X ∼ N µ, σ 2 なら
(
)
aX + b ∼ N aµ + b, a2 σ 2
5
証明. aX + b の mgf は
(
)
MaX+b (t) := E et(aX+b)
(
)
= E eatX ebt
= MX (at)ebt
(
)
σ 2 (at)2
= exp µ(at) +
ebt
2
(
)
a 2 σ 2 t2
= exp (aµ + b)t +
2
(
)
これは N aµ + b, a2 σ 2 の mgf．
(
)
系 2. X ∼ N µ, σ 2 なら
X −µ
∼ N(0, 1)
σ
証明. 前の定理で a := 1/σ ，b := −µ/σ とする．
注 7. したがって X の累積確率は標準正規分布表から求まる．
FX (x) := Pr[X ≤ x]
[
]
X −µ
x−µ
= Pr
≤
σ
σ
(
)
x−µ
=Φ
σ
例 6. X ∼ N(1, 9) について Pr[X ≤ 2] を求める．(X − 1)/3 ∼ N(0, 1) より
[
]
X −1
2−1
Pr[X ≤ 2] = Pr
≤
3
3
( )
1
=Φ
3
= 1 − .3707
= .6293
4 ガンマ分布
定義 5. ガンマ関数は，任意の α > 0 について
∫
∞
Γ(α) :=
xα−1 e−x dx
0
定理 5. 任意の α > 0 について
Γ(α + 1) = αΓ(α)
6
証明. 部分積分より
∫
∞
Γ(α) :=
xα−1 e−x dx
0
[ α
]∞ ∫ ∞ α
x −x
x −x
=
e
+
e dx
α
α
0
0
∫ ∞
1 [ α −x ]∞ 1
=
xα e−x dx
x e
+
0
α
α 0
1
= Γ(α + 1)
α
注 8. α が自然数なら Γ(α) = (α − 1)!．
定義 6. ガンマ分布の pdf は
{
f (x) :=
0
for x ≤ 0
α−1 −λx
λ(λx)
e
/Γ(α) for x > 0
注 9. Gam(α, λ) と書く．
注 10. Gam(1, λ) は Exp(λ)．
例 7. n 回成功までの待ち時間．
5 ベータ分布
定義 7. ベータ関数は，任意の α, β > 0 について
∫
1
xα−1 (1 − x)β−1 dx
B(α, β) :=
0
定義 8. ベータ分布の pdf は
{
f (x) :=
xα−1 (1 − x)β−1 /B(α, β)
0
注 11. Beta(α, β) と書く．
注 12. Beta(1, 1) は U[0, 1]．
7
for x ∈ [0, 1]
elsewhere

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