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平成 25 年度後期微分積分学 II（情文自然）期末試験解答
TA: 盧暁南 ([email protected])
[1] (15 点+10 点)
(i)
dz ∂z dx ∂z dy
=
+
= −zx sin θ + zy cos θ.
dθ ∂x dθ ∂y dθ
同様に、
dzx
= = −zxx sin θ + zxy cos θ, dθ
dzy
= = −zxy sin θ + zyy cos θ. dθ
さらに、
d2 z
d
= (−zx sin θ + zy cos θ)
2
dθ
dθ
dzx
dzy
=−
sin θ − zx cos θ +
cos θ − zy sin θ
dθ
dθ
=(zxx sin θ − zxy cos θ) sin θ − zx cos θ + (−zxy sin θ + zyy cos θ) cos θ − zy sin θ
=zxx sin2 θ − 2zxy sin θ cos θ + zyy cos2 θ − zx cos θ − zy sin θ.
(ii)
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
∂z
=
+
=
cos α +
sin α,
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂x
∂y
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
∂z
=
+
= − sin α +
cos α,
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
∂x
∂y
よって、
(
(
∂z
∂u
)2
(
+
∂z
∂v
)2
)2
( )2
∂z
∂z ∂z
∂z
2
=
cos α + 2
cos α sin α +
sin2 α
∂x
∂x ∂y
∂y
( )2
( )2
∂z
∂z ∂z
∂z
2
+
sin α − 2
sin α cos α +
cos2 α
∂x
∂x ∂y
∂y
( )2 ( )2
∂z
∂z
=
+
∂x
∂y
が成立する。
[2] (15 点+10 点)
(i) grad f (x, y) = (4x3 + 12xy 2 , 4y 3 + 12x2 y − 4y) = (0, 0) をすると、(x, y) = (0, 0), (0, ±1) が得
られる。さらに、f (x, y) の二次偏導関数が
fxx = 12x2 + 12y 2 ,
fxy = 24xy,
1
fyy = 12x2 + 12y 2 − 4
であるから、
2
J(x, y) =fxx fyy − fxy
= (12x2 + 12y 2 )(12x2 + 12y 2 − 4) − (24xy)2
=(12x2 − 12y 2 )2 − 4(12x2 + 12y 2 ).
J(0, ±1) = 96 > 0, fxx (0, ±1) = 12 > 0 であるから、(0, ±1) で極小値をとる.
(ii) G(x) = f (x, 0) = x4 とおくと、G′ (0) = G′′ (0) = G(3) (0) = 0, G(4) (0) = 24 > 0 であるから、
G(x) は (0, 0) で極小値をとる。一方、H(y) = f (0, y) = y 4 − 2y 2 とおくと、H ′ (0) = 0,H ′′ (0) =
−4 < 0 であるから、H(y) は (0, 0) で極大値をとる。この矛盾によって、原点で極大でも極小
でもないを示せる。
[3] (25 点) x, y, z をそれぞれ直方体の幅、高さ、奥行きの長さとすると、体積は V = xyz 、表面積は
f (x, y, z) = 2(xy + yz + xz) で表す。g(x, y, z) = xyz − V とおく、ラグランジュ乗数を λ とすると、
grad f (x, y, z) = (2y + 2z, 2z + 2x, 2x + 2y) = λ grad g(x, y, z) = λ(yz, xz, xy)
を満たす (x, y, z) には必ず x = y = z が成り立つ。立方体である。
[4] (13 点+12 点)
(i) 次の変数変換を考える。
u = x + y,
従って、x =
u+v
,
2
y=
u−v
.
2
v =x−y
このとき、
J(u, v) = xu yv − xv yu = − 41 −
1
4
= − 21 .
よって、
∫∫
x log(x + y)dxdy
1
2
D
∫∫
u+v
log u dudv
2
[1,2]×[−1,1]
∫
∫ 1
1 2
=
log u du
(u + v) dv
4 1
−1
∫
1 2
=
2u log u du
4 1
[
]2
1 2
1 2
= u log u − u
4
2
1
3
= log 2 −
8
=
(ii) x = ar cos θ, y = br sin θ と変数変換する。このとき、積分領域は {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
になる。また、
J(r, θ) = xr yθ − xθ yr = abr cos2 θ + abr sin2 θ = abr
2
より、dxdy = abr drdθ.
∫∫
(x2 + y 2 )dxdy
D
∫ 2π
∫ 1
=
dθ
(a2 r2 cos2 θ + b2 r2 sin2 θ) |abr| dr
0
∫ 0
|ab| 2π 2
=
(a cos2 θ + b2 sin2 θ)dθ
4 0
[ (
)
(
)]2π
|ab| 2 θ sin 2θ
θ sin 2θ
2
=
a
+
+b
−
4
2
4
2
4
0
π
2
2
= |ab| (a + b )
4
[5] (15 点+10 点)
(i)
∫
2
∞
I =
−x2
e
−∞
∫∫
=
∫
dx ×
−(x2 +y 2 )
e
∫
R2
2π
∫
∞
∞
e−y dy
2
−∞
dxdy
e−r r dr
0
0
]M
[
1 −r2
=2π lim − e
M →∞
2
0
=
dθ
2
=π
(ii)
( ) ∫ ∞
1
1
Γ
=
x− 2 e−x dx
2
∫0 ∞
2
=
t−1 e−t dt2
∫0 ∞
2
=2
e−t dt
0
=I
√
= π
3

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