要約:3次元系の量子力学

3次元系における量子力学
目次
１．位置演算子、運動量演算子と正準交換関係
２．ハミルトニアン、シュレディンガー方程式と波動関数
３．系の対称性と角運動量演算子
４．角運動量演算子の正準交換関係
５．角運動量演算子の極座標表現
６．角運動量演算子の固有値と固有関数(固有状態）
7. ケットベクトル｜ℓｍ＞の導入による表式の簡略化
8．角運動量演算子の行列表現
9．角運動量の量子的揺らぎ
10．中心力の場合の動径方向のシュレーディンガー方程式
Made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Inst. of Tech.)
filename=3dim-Quantum-Summary140529.ppt
1
1．位置演算子、運動量演算子と正準交換関係
1次元と同様に、空間の同質性を前提にして、3次元系においても次のような正
準交換関係を理論的に要請する（量子化手続き）
 ∂
→ [ xˆ , pˆ x ] =
xˆ =x, pˆ x =
i ,
i ∂x
 ∂
yˆ =
y, pˆ y = →  yˆ , pˆ y  =
i ,
i ∂y
 ∂
ˆz =z , pˆ z =
→ [ zˆ, pˆ z ] =
i
i ∂z
=
xˆ , y 


 y, z 
=


=
z , pˆ x 


=
xˆ , z   xˆ=
, pˆ y  [ xˆ=
, pˆ z ] 0,


y, pˆ  =
y, pˆ  0,
=
x
z

 
=
ˆ  [ pˆ=
ˆ
ˆ  0,
 pˆ=
z , pˆ y  0,  pˆ=
x , py 
x , pz ]
y , pz 


2
２．ハミルトニアン、シュレーディンガー方程式と波動関数
2

ハミルトニアン
∇ 2 + U ( x, y , z ; t )
Hˆ =−
2m
2
2
2
∂
∂
∂
∆ ≡ ∇2 ≡ 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
シュレーディンガー方程式（時間依存の場合）
∂
ˆ
H Ψ ( x, y , z ; t ) =
i Ψ ( x , y , z ; t )
∂t
時間依存しない場合のシュレーディンガー方程式（定常状態）
when U = U ( x, y, z )
Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
Ψ ( x, y , z ; t ) =
ψ ( x, y, z ) e −iEt / 
規格化
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
∫ ∫ ∫
Ψ ( x, y, z , t ) dxdydz =
1
2
3
３．系の対称性と角運動量演算子
回転対称性など、考える量子系のポテンシャルの対称性がよい場合、次のよ
うに定義される角運動量演算子を導入することが有意義である。
 ∂
∂ 
ˆ ˆ z − zp
ˆy
ˆ=
ˆ x ≡ yp
−
y
z

,
∂y 
i  ∂z
 ∂
∂ 
ˆˆ=
ˆ ˆ x − xp
ˆ y ≡ zp
−
z
x
z

,
∂z 
i  ∂x
 ∂
∂ 
ˆˆ y − yp
ˆ=
ˆx
ˆ z ≡ xp
−
x
y


∂
∂
i
y
x




古典物理学：「回転する勢い」として角運動量
  
≡r×=
p ( ypz − zp y , zpx − xpz , , xp y − ypx , )


p ≡ mv
角運動量の2乗演算子
ˆ ≡ (ˆ x , ˆ y , ˆ z ), ˆ 2 ≡ ˆ x 2 + ˆ y 2 + ˆ z 2 ,
ˆ ± ≡ ˆ x ± i ˆ y 昇降演算子
→ ˆ =
x

→ ˆ 2 =
1
2
ˆ
(
)
(
)
ˆ + ˆ , ˆ = 1 ˆ − ˆ
+
−
y
+
−
2i
ˆ + ˆ 2 − ˆ = ˆ ˆ + ˆ 2 + ˆ
+ −
(
z
z
)
− +
1 ˆ ˆ ˆ ˆ
=  +  − +  −  + + ˆ z 2
2
z
z
4
４．角運動量演算子の正準交換関係
ˆ , ˆ , ˆ  i =
ˆ , ˆ , ˆ  i ˆ ,
ˆ x , ˆ y  i =


=
z
x
y


 y z
 z x



 ˆ 2 , ˆ  = =
ˆ 2 , ˆ  =
ˆ 2 , ˆ  0,


x
y
z

 
 

→ ˆ z , ˆ ±  =
±  ˆ ± , ˆ + , ˆ −  =
2 ˆ z
角運動量演算子のｘ、ｙ、ｚ成分はお互いに同時固有状態を持たないこと
角運動量演算子の二乗とｘ、ｙ、ｚ成分のどれかひとつは
お互いに同時固有状態を持つこと
通常は角運動量演算子の二乗とｚ成分の同時固有状態を考える
(量子化軸としてｚ軸を選ぶこと）
5
５．角運動量演算子の極座標表現
直交直線座標と極座標の関係
x r sin θ cos φ
=

=
 y r sin θ sin φ ,
 z = r cos θ .

z
=
r
x 2 + y 2 + z 2 , 0 ≤ r < ∞,

φ y / x, 0 ≤ φ ≤ 2π
=
 tan

x 2 + y 2 / z, 0 ≤ θ ≤ π .
 tan θ=
角運動量演算子の極座標表現
θ
r
y
φ
x
 ∂
1 ∂ 
=
+i
 ±  e ± iφ  ±
 (複合同順)
tan θ ∂φ 
 ∂θ
ｚ =  ∂
i ∂φ
2
2


1
∂
∂
1
∂


2
 =
− 
 sin θ
+ 2
2 
sin
θ
θ
θ
sin
θ
φ
∂
∂
∂




波動関数の角度変化率（方向依存性）としての(軌道）角運動量
6
６．角運動量演算子の固有値と固有関数(固有状態）
ℓ�2 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ2 ℓ(ℓ + 1)ℏ2 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙),
ℓ�𝑧𝑧 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ 𝑚𝑚𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙),
ℓ�± 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ ℓ(ℓ + 1) − 𝑚𝑚(𝑚𝑚 ± 1)𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚±1 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙),
軌道量子数　ℓ = 0, 1, 2, ⋯
角運動量の量子化
磁気量子数 𝑚𝑚 = −ℓ, − ℓ + 1, ⋯ , ℓ − 1, ℓ (ℓの各値につき)
方向量子化
球面調和Yℓm（θ,Φ)の直交規格性
π
∫θ∫
2π
0( ) 0(φ )
Y*'m ' (θ , φ )Ym (θ , φ ) sin θ dθ dφ = δ  'δ mm '
Y00 (θ , φ ) =
Y10 (θ , φ ) =
1
4π
,
3
1
2
π
=
Y1,±1 (θ , φ )  12
=
Y20 (θ , φ )
5
1
4
π
=
Y2,±1 (θ , φ )  14
=
Y2,±2 (θ , φ )
1
4
cos θ ,
3
2π
sin θ ⋅ e ± iφ ,
(3cos θ − 1),
2
3⋅5
2π
3⋅5
2π
sin 2θ ⋅ e ± iφ ,
sin 2 θ ⋅ e ± i2φ
角度そのものは現れずに、cos,sinなど
周期関数として含まれていることに注意。
7
８.ケットベクトル｜ℓｍ＞の導入による表式の簡略化
角運動量演算子の代数的性質は方位角，θ、φに依存せず,量子数のみに依存する
Ym (θ , φ ) ≡ θ ,φ |m : 球面調和関数 ⇔ m
π
2π
0
0
∫ ∫
π
π
∫ ∫ Y
2
0
0
Y*'m ' (θ , φ )Ym (θ , φ ) sin θ dθ dφ ⇔  ' m ' | m
*
 'm'
(θ , φ ) zYm (θ , φ ) sin θ dθ dφ ⇔  ' m ' |  z | m

ˆ 2 =
 m  2 ( + 1)  m ,
ˆ z  m =  m  m ,
=  ( + 1) − m(m ± 1)  m ± 1 ,
ˆ ±  m
 ' m ' | m= δ  ' ⋅ δ mm '
角運動量の量子化
 = 0,1, 2,
方向量子化
m =−, −  + 1, ,  − 1,  (の各値につき)
8
９．角運動量演算子の行列表現
 ' m ' | ˆ z |  m =  m δ  'δ mm ' ,

 ' m ' | ˆ 2 |=
m  2 ( + 1)δ  'δ mm ' ,
 ' m ' | ˆ ± |  =
m  ( + 1) − m(m ± 1)δ  'δ m ',m ±1
= 1の場合：m, m=' 0, ±1
1 0 0 
1 0

 2
2

 z =


=
0
0
0
,
2


0 1
 0 0 −1
0 0



0 1 0
0



 + =
=
2  0 0 1  ,  −
2  1
0 0 0
0



0

0,
1
0 0

0 0
1 0 
9
１０．角運動量の量子的揺らぎ
( ∆ )
2
x
≡  m | ˆ 2x |  m −  m | ˆ x |  m
2
=  2 ( 2 +  − m 2 ) / 2
( ∆ )
2
y
≡  m | ˆ 2y |  m −  m | ˆ y |  m
2
=  2 ( 2 +  − m 2 ) / 2
( ∆ )
z
2
≡  m | ˆ 2z |  m −  m | ˆ z |  m
2
=0
for when  =0: ( ∆ x ) =
0
( ∆ y ) =
2
2
2
2
1 2
for when  =1/2: ( ∆ x ) =
∆

=
( y) 2
for when  =1, m =0, ±1: ( ∆ x ) =( ∆ y ) =(2 − m 2 ) 2
2
2
10
１1．中心力の場合の動径方向のシュレディンガー方程式
変数変換
2

Hˆ =−
∇ 2 + U (r ), U ( x, y, z )→U (r )
2m
Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
x = r sin θ cos φ ,
y = r sin θ sin φ ,
z = r cos θ
ラプラシアン（ラプラスの演算子）
∂ 
∂ 
∂2
1 ∂  2 ∂ 
1
1
=
∇
r
+
 sin θ
+
r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
∂θ  r 2 sin 2 θ ∂φ 2
1 ∂  2 ∂  ˆ 2
= 2 r
− 2 2
r ∂r  ∂r  r 
2
∂
1 ∂ 
ˆ /  =
n
−
si
θ

∂θ
sin θ ∂θ 
2
2
1 ∂2

+ 2
2
 sin θ ∂φ
ψ ( x, y, z ) = R(r )Ym (θ , φ )

ˆ 2 Ym (θ , φ=
) ( + 1) 2 Ym (θ , φ )
11
動径方向のシュレディンガー方程式
 2  d 2 R(r ) 2 dR(r )  
( + 1) 2 
−
+
+ U (r ) +
R(r ) =
E R(r )



2
2
r dr  
2m  dr
2mr 
「遠心力」ポテンシャル
別の表現
R(r )
=
χ (r )
, χ (r ) ≡ r ⋅ R(r )
r
d 2 χ (r ) d 2 R(r ) 2 dR(r )
→
=
+
2
2
dr
dr
r dr
 2 d 2 χ (r ) 
( + 1) 2 
−
+ U (r ) +
χ (r ) =
E χ (r )

2
2
2m dr
2mr


もとのシュレディンガー方程式に比べて
１階微分がないので、数学的解法が容易になる！
12

Download Report