3次元系における量子力学 目次 1.位置演算子、運動量演算子と正準交換関係 2.ハミルトニアン、シュレディンガー方程式と波動関数 3.系の対称性と角運動量演算子 4.角運動量演算子の正準交換関係 5.角運動量演算子の極座標表現 6.角運動量演算子の固有値と固有関数(固有状態) 7. ケットベクトル|ℓm>の導入による表式の簡略化 8.角運動量演算子の行列表現 9.角運動量の量子的揺らぎ 10.中心力の場合の動径方向のシュレーディンガー方程式 Made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Inst. of Tech.) filename=3dim-Quantum-Summary140529.ppt 1 1.位置演算子、運動量演算子と正準交換関係 1次元と同様に、空間の同質性を前提にして、3次元系においても次のような正 準交換関係を理論的に要請する(量子化手続き) ∂ → [ xˆ , pˆ x ] = xˆ =x, pˆ x = i , i ∂x ∂ yˆ = y, pˆ y = → yˆ , pˆ y = i , i ∂y ∂ ˆz =z , pˆ z = → [ zˆ, pˆ z ] = i i ∂z = xˆ , y y, z = = z , pˆ x = xˆ , z xˆ= , pˆ y [ xˆ= , pˆ z ] 0, y, pˆ = y, pˆ 0, = x z = ˆ [ pˆ= ˆ ˆ 0, pˆ= z , pˆ y 0, pˆ= x , py x , pz ] y , pz 2 2.ハミルトニアン、シュレーディンガー方程式と波動関数 2 ハミルトニアン ∇ 2 + U ( x, y , z ; t ) Hˆ =− 2m 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∆ ≡ ∇2 ≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z シュレーディンガー方程式(時間依存の場合) ∂ ˆ H Ψ ( x, y , z ; t ) = i Ψ ( x , y , z ; t ) ∂t 時間依存しない場合のシュレーディンガー方程式(定常状態) when U = U ( x, y, z ) Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) Ψ ( x, y , z ; t ) = ψ ( x, y, z ) e −iEt / 規格化 +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ∫ Ψ ( x, y, z , t ) dxdydz = 1 2 3 3.系の対称性と角運動量演算子 回転対称性など、考える量子系のポテンシャルの対称性がよい場合、次のよ うに定義される角運動量演算子を導入することが有意義である。 ∂ ∂ ˆ ˆ z − zp ˆy ˆ= ˆ x ≡ yp − y z , ∂y i ∂z ∂ ∂ ˆˆ= ˆ ˆ x − xp ˆ y ≡ zp − z x z , ∂z i ∂x ∂ ∂ ˆˆ y − yp ˆ= ˆx ˆ z ≡ xp − x y ∂ ∂ i y x 古典物理学:「回転する勢い」として角運動量 ≡r×= p ( ypz − zp y , zpx − xpz , , xp y − ypx , ) p ≡ mv 角運動量の2乗演算子 ˆ ≡ (ˆ x , ˆ y , ˆ z ), ˆ 2 ≡ ˆ x 2 + ˆ y 2 + ˆ z 2 , ˆ ± ≡ ˆ x ± i ˆ y 昇降演算子 → ˆ = x → ˆ 2 = 1 2 ˆ ( ) ( ) ˆ + ˆ , ˆ = 1 ˆ − ˆ + − y + − 2i ˆ + ˆ 2 − ˆ = ˆ ˆ + ˆ 2 + ˆ + − ( z z ) − + 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = + − + − + + ˆ z 2 2 z z 4 4.角運動量演算子の正準交換関係 ˆ , ˆ , ˆ i = ˆ , ˆ , ˆ i ˆ , ˆ x , ˆ y i = = z x y y z z x ˆ 2 , ˆ = = ˆ 2 , ˆ = ˆ 2 , ˆ 0, x y z → ˆ z , ˆ ± = ± ˆ ± , ˆ + , ˆ − = 2 ˆ z 角運動量演算子のx、y、z成分はお互いに同時固有状態を持たないこと 角運動量演算子の二乗とx、y、z成分のどれかひとつは お互いに同時固有状態を持つこと 通常は角運動量演算子の二乗とz成分の同時固有状態を考える (量子化軸としてz軸を選ぶこと) 5 5.角運動量演算子の極座標表現 直交直線座標と極座標の関係 x r sin θ cos φ = = y r sin θ sin φ , z = r cos θ . z = r x 2 + y 2 + z 2 , 0 ≤ r < ∞, φ y / x, 0 ≤ φ ≤ 2π = tan x 2 + y 2 / z, 0 ≤ θ ≤ π . tan θ= 角運動量演算子の極座標表現 θ r y φ x ∂ 1 ∂ = +i ± e ± iφ ± (複合同順) tan θ ∂φ ∂θ z = ∂ i ∂φ 2 2 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 = − sin θ + 2 2 sin θ θ θ sin θ φ ∂ ∂ ∂ 波動関数の角度変化率(方向依存性)としての(軌道)角運動量 6 6.角運動量演算子の固有値と固有関数(固有状態) ℓ�2 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ2 ℓ(ℓ + 1)ℏ2 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙), ℓ�𝑧𝑧 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ 𝑚𝑚𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙), ℓ�± 𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = ℏ ℓ(ℓ + 1) − 𝑚𝑚(𝑚𝑚 ± 1)𝑌𝑌ℓ𝑚𝑚±1 (𝜃𝜃, 𝜙𝜙), 軌道量子数 ℓ = 0, 1, 2, ⋯ 角運動量の量子化 磁気量子数 𝑚𝑚 = −ℓ, − ℓ + 1, ⋯ , ℓ − 1, ℓ (ℓの各値につき) 方向量子化 球面調和Yℓm(θ,Φ)の直交規格性 π ∫θ∫ 2π 0( ) 0(φ ) Y*'m ' (θ , φ )Ym (θ , φ ) sin θ dθ dφ = δ 'δ mm ' Y00 (θ , φ ) = Y10 (θ , φ ) = 1 4π , 3 1 2 π = Y1,±1 (θ , φ ) 12 = Y20 (θ , φ ) 5 1 4 π = Y2,±1 (θ , φ ) 14 = Y2,±2 (θ , φ ) 1 4 cos θ , 3 2π sin θ ⋅ e ± iφ , (3cos θ − 1), 2 3⋅5 2π 3⋅5 2π sin 2θ ⋅ e ± iφ , sin 2 θ ⋅ e ± i2φ 角度そのものは現れずに、cos,sinなど 周期関数として含まれていることに注意。 7 8.ケットベクトル|ℓm>の導入による表式の簡略化 角運動量演算子の代数的性質は方位角,θ、φに依存せず,量子数のみに依存する Ym (θ , φ ) ≡ θ ,φ |m : 球面調和関数 ⇔ m π 2π 0 0 ∫ ∫ π π ∫ ∫ Y 2 0 0 Y*'m ' (θ , φ )Ym (θ , φ ) sin θ dθ dφ ⇔ ' m ' | m * 'm' (θ , φ ) zYm (θ , φ ) sin θ dθ dφ ⇔ ' m ' | z | m ˆ 2 = m 2 ( + 1) m , ˆ z m = m m , = ( + 1) − m(m ± 1) m ± 1 , ˆ ± m ' m ' | m= δ ' ⋅ δ mm ' 角運動量の量子化 = 0,1, 2, 方向量子化 m =−, − + 1, , − 1, (の各値につき) 8 9.角運動量演算子の行列表現 ' m ' | ˆ z | m = m δ 'δ mm ' , ' m ' | ˆ 2 |= m 2 ( + 1)δ 'δ mm ' , ' m ' | ˆ ± | = m ( + 1) − m(m ± 1)δ 'δ m ',m ±1 = 1の場合:m, m=' 0, ±1 1 0 0 1 0 2 2 z = = 0 0 0 , 2 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 + = = 2 0 0 1 , − 2 1 0 0 0 0 0 0, 1 0 0 0 0 1 0 9 10.角運動量の量子的揺らぎ ( ∆ ) 2 x ≡ m | ˆ 2x | m − m | ˆ x | m 2 = 2 ( 2 + − m 2 ) / 2 ( ∆ ) 2 y ≡ m | ˆ 2y | m − m | ˆ y | m 2 = 2 ( 2 + − m 2 ) / 2 ( ∆ ) z 2 ≡ m | ˆ 2z | m − m | ˆ z | m 2 =0 for when =0: ( ∆ x ) = 0 ( ∆ y ) = 2 2 2 2 1 2 for when =1/2: ( ∆ x ) = ∆ = ( y) 2 for when =1, m =0, ±1: ( ∆ x ) =( ∆ y ) =(2 − m 2 ) 2 2 2 10 11.中心力の場合の動径方向のシュレディンガー方程式 変数変換 2 Hˆ =− ∇ 2 + U (r ), U ( x, y, z )→U (r ) 2m Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ラプラシアン(ラプラスの演算子) ∂ ∂ ∂2 1 ∂ 2 ∂ 1 1 = ∇ r + sin θ + r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 1 ∂ 2 ∂ ˆ 2 = 2 r − 2 2 r ∂r ∂r r 2 ∂ 1 ∂ ˆ / = n − si θ ∂θ sin θ ∂θ 2 2 1 ∂2 + 2 2 sin θ ∂φ ψ ( x, y, z ) = R(r )Ym (θ , φ ) ˆ 2 Ym (θ , φ= ) ( + 1) 2 Ym (θ , φ ) 11 動径方向のシュレディンガー方程式 2 d 2 R(r ) 2 dR(r ) ( + 1) 2 − + + U (r ) + R(r ) = E R(r ) 2 2 r dr 2m dr 2mr 「遠心力」ポテンシャル 別の表現 R(r ) = χ (r ) , χ (r ) ≡ r ⋅ R(r ) r d 2 χ (r ) d 2 R(r ) 2 dR(r ) → = + 2 2 dr dr r dr 2 d 2 χ (r ) ( + 1) 2 − + U (r ) + χ (r ) = E χ (r ) 2 2 2m dr 2mr もとのシュレディンガー方程式に比べて 1階微分がないので、数学的解法が容易になる! 12
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