力学 II 試験問題(平成25年度) 問 1 つぎの問いに答えよ. (1) 滑らかな水平面上の上においてある質点 m に糸を結びつ け,その糸を板にあけた穴 O に通しておく.質点を,はじめ O のまわりに半径 r0 , 角速度 ω0 で円運動させ,つぎに糸を下 r0 ω 0 rω m r r0 O に引張って O と質点の距離を変えるものとする.O と質点の 距離が r となったとき,質点の O のまわりの角速度 ω を求 めよ. (2) 地球表面上で質点の運動は次式で与えられる.赤道上で質点が東向きに一定の速度 V で移動 するとき,質点に旗ら宇コリオリ力の大きさと方向を求めよ. ω z y dy d2 x m 2 = X + 2 mω sin λ ⋅ dt dt O x 2 m dx dz d y = Y − 2 mω ( sin λ + cos λ ) 2 dt dt dt m dy d2 z = Z − mg + 2 mω cos λ ⋅ 2 dt dt λ (3) 半径 a, 質量 M の薄い円板について,その中心を通り円板と垂直に z 軸をとる.この円板の z 軸のまわりの慣性モーメントを求めよ. ω (4) 滑らかな軸を持つ半径 a, 慣性モーメント I の滑車に質量の無視でき る糸をかけ,糸の先端に質量 m のおもりをかけて放すとき,おもりの落下 a の加速度はいくらになるか. mg (裏面に続く) 問 2 質量 m の物理振り子について,固定軸 O のまわりの慣性モーメントを I, O から重心まで の距離を h とする.下記の問いに答えよ.ただし,物理振り子の振れ角 θ は微小量とは限らない. (1) 物理振り子の固定軸まわりの回転の運動方 y Q 程式を求めよ. (2) 物理振り子の回転の運動方程式を,つぎの 手順で重心まわりの運動から求めてみよう. (i) 固定軸 O を原点としたときの物理振り子 の 重 心 の 座 標 を ( xG , yG ) と す る と き , x O θ P O θ h G (xG, yG) h G (xG, yG) xG = h sinθ , yG = − h cosθ であることか ら, &x&G , &y&G を θ&&, θ&, θ を用いて表せ. mg mg (ii) 固定軸から物理振り子に働く水平方向と鉛直方向の力をそれぞれ P, Q とする.重心の x 方 向, y 方向の運動方程式から, P, Q をそれぞれ m, h,θ , g を用いて表せ. (iii) 物理振り子の重心まわりの回転の運動方程式を求め,これから(1)の結果が導けることを示せ. ただし,点 O のまわりの慣性モーメント I が,重心まわりの慣性モーメント I G によって I = I G + m h 2 で表されることを用いよ. 問 3 (1) 座標系(O, x′, y′, z′)が慣性系(O, x, y, z)のまわりを原点 O を共有して角速度 ω で回 転している.あるベクトル A=A(t) が A( t) = Axi + Ay j + Az k = Ax′ i′ + Ay′ j′ + Az′ k′ と表されるとき, (O, x, y, z)系からみた A の変化率 dAy dA dA dAx ≡ i+ j+ z k dt dt dt dt は, (O, x′, y′, z′)系からみた変化率を dAy′ dA d ′A dAx′ i′ + j′ + z′ k′ ≡ dt dt dt dt と表すとき,次の関係が成り立つことを示せ. dA d ′A = +ω×A dt dt (2) 固定点まわりに回転する剛体の運動について,剛体の角運動量を慣性主軸方向で表示した L = Aω1 i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′ を(1)の結果に代入し,慣性主軸方向の成分で表すことで,オイラーの 運動方程式を導け. 問1 (1) 角運動量が保存されるから ω= l = r ( mv) = r ( mrω ) = mr 2ω = mr02ω0 r02 ω0 r2 あるいは面積速度が一定であることから r 2ω / 2 = r02ω0 / 2 (2) 赤道上であることから λ = 0 , 東向きに移動しているから dx / dt = dz / dt = 0, 代入すると 2mω V で鉛直上向きのコリオリの力が働く. (3) M a2 2 (4) α= dy / dt = V .これを m a2 g I + m a2 問2 (1) 固定軸 O のまわりの回転の運動方程式 I θ&& = − mgh sin θ (2) (i) 原点 O からの重心の座標を h, θ で表し,時間微分を取る. xG = h sin θ , yG = − h cos θ x&G = hθ& cosθ , y&G = hθ& sin θ &x&G = hθ&& cosθ − hθ& 2 sin θ , &y&G = hθ&&sin θ + hθ& 2 cosθ (ii) 物理振り子の重心の x, y 方向の運動方程式は m &x&G = P , m &y&G = Q − mg . (i)の結果を代入すると P = m &x&G = m( hθ&& cos θ − hθ& 2 sin θ ) Q = m&y&G + mg = m( hθ&&cosθ − hθ& 2 sinθ ) + mg (iii) 重心まわりの剛体の回転の運動方程式 IG θ&& = − P h cos θ −Q h sin θ = − m( h2θ&& cos2 θ − h2θ& 2 cos θ sin θ ) = − m( h2θ&& sin2 θ + h2θ& 2 cos θ sin θ ) − mgh sin θ = − mh2θ&& − mgh sin θ ( IG + m h2 ) θ&& = − mgh sinθ これは(1)の結果と一致する. 問3 (1) ベクトル A を (x′, y′, z′) 系の単位ベクトル i′, j′, k′ を使って表す. A = Ax′i′ + A y′ j ′ + Az ′k′ 時間で微分する. dA ′ dA dA dAx′ di′ dj′ dk′ i′ + y j′ + z′ k′ + Ax′ = + Ay′ + Az′ dt dt dt dt dt dt dt 回転する座標の変換では,単位ベクトルの微分は di′ / dt = ω × i′ となるから dAy′ dA dA dAx′ = i′ + j ′ + z′ k′ + ω × ( Ax′i′ + Ay′ j′ + Az′k′) dt dt dt dt d ′A( t ) = +ω×A dt (2) 主軸の単位ベクトル i′, j′, k′ による角運動量の表示 L = Aω1 i′ + Bω2 j ′ + Cω3 k′ を(1)の結 果に代入すると dL d( Aω1 ) d( Bω2 ) d(Cω3 ) i′ + j′ + k′ + ω × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3k′) = dt dt dt dt d( Aω1 ) d( Bω2 ) d(Cω3 ) i′ + j′ + k′ + (ω1i′ + ω2 j′ + ω2k′) × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′) = dt dt dt i′ × j′ = k′ , j′ × k′ = i′ , k′ × i′ = j′ を用いて計算し,例えば i′ 成分についてみると dω dL = A 1 + ω2 (Cω3 ) − ω3 ( Bω2 ) dt dt 1 dω = A 1 − ( B − C) ω2ω3 dt 外力のモーメントを主軸方向の成分によって表示し( N = N1 i′ + N 2 j′ + N 3 k′ ) ,dL / dt = N が成 り立つことから dω1 − ( B − C ) ω2ω3 = N 1 dt dω B 2 − (C − A) ω3 ω1 = N 2 dt dω3 C − ( A − B) ω1ω2 = N 3 dt A (オイラーの運動方程式)
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