力学 II 試験問題(平成25年度) (裏面に続く)

力学 II
試験問題(平成25年度)
問 1 つぎの問いに答えよ.
(1) 滑らかな水平面上の上においてある質点 m に糸を結びつ
け,その糸を板にあけた穴 O に通しておく.質点を,はじめ O
のまわりに半径 r0 , 角速度 ω0 で円運動させ,つぎに糸を下
r0 ω 0
rω
m
r
r0
O
に引張って O と質点の距離を変えるものとする.O と質点の
距離が r となったとき,質点の O のまわりの角速度 ω を求
めよ.
(2) 地球表面上で質点の運動は次式で与えられる.赤道上で質点が東向きに一定の速度 V で移動
するとき,質点に旗ら宇コリオリ力の大きさと方向を求めよ.
ω
z
y
dy
d2 x
m 2 = X + 2 mω sin λ ⋅
dt
dt
O
x
2
m
dx
dz
d y
= Y − 2 mω (
sin λ +
cos λ )
2
dt
dt
dt
m
dy
d2 z
= Z − mg + 2 mω cos λ ⋅
2
dt
dt
λ
(3) 半径 a, 質量 M の薄い円板について,その中心を通り円板と垂直に z 軸をとる.この円板の z
軸のまわりの慣性モーメントを求めよ.
ω
(4) 滑らかな軸を持つ半径 a, 慣性モーメント I の滑車に質量の無視でき
る糸をかけ,糸の先端に質量 m のおもりをかけて放すとき,おもりの落下
a
の加速度はいくらになるか.
mg
(裏面に続く)
問 2 質量 m の物理振り子について,固定軸 O のまわりの慣性モーメントを I, O から重心まで
の距離を h とする.下記の問いに答えよ.ただし,物理振り子の振れ角 θ は微小量とは限らない.
(1) 物理振り子の固定軸まわりの回転の運動方
y
Q
程式を求めよ.
(2) 物理振り子の回転の運動方程式を,つぎの
手順で重心まわりの運動から求めてみよう.
(i) 固定軸 O を原点としたときの物理振り子
の 重 心 の 座 標 を ( xG , yG ) と す る と き ,
x
O
θ
P
O
θ
h
G
(xG, yG)
h
G
(xG, yG)
xG = h sinθ , yG = − h cosθ であることか
ら, &x&G , &y&G を θ&&, θ&, θ を用いて表せ.
mg
mg
(ii) 固定軸から物理振り子に働く水平方向と鉛直方向の力をそれぞれ P, Q とする.重心の x 方
向, y 方向の運動方程式から, P, Q をそれぞれ m, h,θ , g を用いて表せ.
(iii) 物理振り子の重心まわりの回転の運動方程式を求め,これから(1)の結果が導けることを示せ.
ただし,点 O のまわりの慣性モーメント I が,重心まわりの慣性モーメント I G によって
I = I G + m h 2 で表されることを用いよ.
問 3 (1) 座標系(O, x′, y′, z′)が慣性系(O, x, y, z)のまわりを原点 O を共有して角速度 ω で回
転している.あるベクトル A=A(t) が
A( t) = Axi + Ay j + Az k = Ax′ i′ + Ay′ j′ + Az′ k′
と表されるとき,
(O, x, y, z)系からみた A の変化率
dAy
dA
dA dAx
≡
i+
j+ z k
dt
dt
dt
dt
は,
(O, x′, y′, z′)系からみた変化率を
dAy′
dA
d ′A dAx′
i′ +
j′ + z′ k′
≡
dt
dt
dt
dt
と表すとき,次の関係が成り立つことを示せ.
dA d ′A
=
+ω×A
dt
dt
(2) 固定点まわりに回転する剛体の運動について,剛体の角運動量を慣性主軸方向で表示した
L = Aω1 i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′ を(1)の結果に代入し,慣性主軸方向の成分で表すことで,オイラーの
運動方程式を導け.
問1
(1) 角運動量が保存されるから
ω=
l = r ( mv) = r ( mrω ) = mr 2ω = mr02ω0
r02
ω0
r2
あるいは面積速度が一定であることから r 2ω / 2 = r02ω0 / 2
(2) 赤道上であることから λ = 0 , 東向きに移動しているから dx / dt = dz / dt = 0,
代入すると
2mω V で鉛直上向きのコリオリの力が働く.
(3)
M a2
2
(4)
α=
dy / dt = V .これを
m a2
g
I + m a2
問2
(1) 固定軸 O のまわりの回転の運動方程式
I θ&& = − mgh sin θ
(2) (i) 原点 O からの重心の座標を h, θ で表し,時間微分を取る.
xG = h sin θ , yG = − h cos θ
x&G = hθ& cosθ , y&G = hθ& sin θ
&x&G = hθ&& cosθ − hθ& 2 sin θ , &y&G = hθ&&sin θ + hθ& 2 cosθ
(ii) 物理振り子の重心の x, y 方向の運動方程式は
m &x&G = P , m &y&G = Q − mg .
(i)の結果を代入すると
P = m &x&G = m( hθ&& cos θ − hθ& 2 sin θ )
Q = m&y&G + mg = m( hθ&&cosθ − hθ& 2 sinθ ) + mg
(iii) 重心まわりの剛体の回転の運動方程式
IG θ&& = − P h cos θ −Q h sin θ
= − m( h2θ&& cos2 θ − h2θ& 2 cos θ sin θ ) = − m( h2θ&& sin2 θ + h2θ& 2 cos θ sin θ ) − mgh sin θ
= − mh2θ&& − mgh sin θ
( IG + m h2 ) θ&& = − mgh sinθ
これは(1)の結果と一致する.
問3
(1) ベクトル A を (x′, y′, z′) 系の単位ベクトル i′, j′, k′ を使って表す.
A = Ax′i′ + A y′ j ′ + Az ′k′
時間で微分する.
dA ′
dA
dA dAx′
di′
dj′
dk′
i′ + y j′ + z′ k′ + Ax′
=
+ Ay′
+ Az′
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
回転する座標の変換では,単位ベクトルの微分は di′ / dt = ω × i′ となるから
dAy′
dA
dA dAx′
=
i′ +
j ′ + z′ k′ + ω × ( Ax′i′ + Ay′ j′ + Az′k′)
dt
dt
dt
dt
d ′A( t )
=
+ω×A
dt
(2) 主軸の単位ベクトル i′, j′, k′ による角運動量の表示 L = Aω1 i′ + Bω2 j ′ + Cω3 k′ を(1)の結
果に代入すると
dL d( Aω1 )
d( Bω2 )
d(Cω3 )
i′ +
j′ +
k′ + ω × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3k′)
=
dt
dt
dt
dt
d( Aω1 )
d( Bω2 )
d(Cω3 )
i′ +
j′ +
k′ + (ω1i′ + ω2 j′ + ω2k′) × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′)
=
dt
dt
dt
i′ × j′ = k′ , j′ × k′ = i′ , k′ × i′ = j′ を用いて計算し,例えば i′ 成分についてみると
dω
 dL 
 = A 1 + ω2 (Cω3 ) − ω3 ( Bω2 )

dt
 dt 1
dω
= A 1 − ( B − C) ω2ω3
dt
外力のモーメントを主軸方向の成分によって表示し( N = N1 i′ + N 2 j′ + N 3 k′ )
,dL / dt = N が成
り立つことから
dω1
− ( B − C ) ω2ω3 = N 1
dt
dω
B 2 − (C − A) ω3 ω1 = N 2
dt
dω3
C
− ( A − B) ω1ω2 = N 3
dt
A
(オイラーの運動方程式)