力学 II 試験問題（平成25年度） (裏面に続く)

力学 II
試験問題（平成２５年度）
問 1 つぎの問いに答えよ．
(1) 滑らかな水平面上の上においてある質点 m に糸を結びつ
け，その糸を板にあけた穴 O に通しておく．質点を，はじめ O
のまわりに半径 r0 , 角速度 ω0 で円運動させ，つぎに糸を下
r0 ω 0
rω
m
r
r0
O
に引張って O と質点の距離を変えるものとする．O と質点の
距離が r となったとき，質点の O のまわりの角速度 ω を求
めよ．
(2) 地球表面上で質点の運動は次式で与えられる．赤道上で質点が東向きに一定の速度 V で移動
するとき，質点に旗ら宇コリオリ力の大きさと方向を求めよ．
ω
z
y
dy
d2 x
m 2 = X + 2 mω sin λ ⋅
dt
dt
O
x
2
m
dx
dz
d y
= Y − 2 mω (
sin λ +
cos λ )
2
dt
dt
dt
m
dy
d2 z
= Z − mg + 2 mω cos λ ⋅
2
dt
dt
λ
(3) 半径 a, 質量 M の薄い円板について，その中心を通り円板と垂直に z 軸をとる．この円板の z
軸のまわりの慣性モーメントを求めよ．
ω
(4) 滑らかな軸を持つ半径 a, 慣性モーメント I の滑車に質量の無視でき
る糸をかけ，糸の先端に質量 m のおもりをかけて放すとき，おもりの落下
a
の加速度はいくらになるか．
mg
(裏面に続く)
問 2 質量 m の物理振り子について，固定軸 O のまわりの慣性モーメントを I, O から重心まで
の距離を h とする．下記の問いに答えよ．ただし，物理振り子の振れ角 θ は微小量とは限らない．
(1) 物理振り子の固定軸まわりの回転の運動方
y
Q
程式を求めよ．
(2) 物理振り子の回転の運動方程式を，つぎの
手順で重心まわりの運動から求めてみよう．
(i) 固定軸 O を原点としたときの物理振り子
の重心の座標を ( xG , yG ) とするとき，
x
O
θ
P
O
θ
h
G
(xG, yG)
h
G
(xG, yG)
xG = h sinθ , yG = − h cosθ であることか
ら， &x&G , &y&G を θ&&, θ&, θ を用いて表せ．
mg
mg
(ii) 固定軸から物理振り子に働く水平方向と鉛直方向の力をそれぞれ P, Q とする．重心の x 方
向, y 方向の運動方程式から， P, Q をそれぞれ m, h,θ , g を用いて表せ．
(iii) 物理振り子の重心まわりの回転の運動方程式を求め，これから(1)の結果が導けることを示せ．
ただし，点 O のまわりの慣性モーメント I が，重心まわりの慣性モーメント I G によって
I = I G + m h 2 で表されることを用いよ．
問 3 (1) 座標系（O, x′, y′, z′）が慣性系（O, x, y, z）のまわりを原点 O を共有して角速度 ω で回
転している．あるベクトル A=A(t) が
A( t) = Axi + Ay j + Az k = Ax′ i′ + Ay′ j′ + Az′ k′
と表されるとき，
（O, x, y, z）系からみた A の変化率
dAy
dA
dA dAx
≡
i+
j+ z k
dt
dt
dt
dt
は，
（O, x′, y′, z′）系からみた変化率を
dAy′
dA
d ′A dAx′
i′ +
j′ + z′ k′
≡
dt
dt
dt
dt
と表すとき，次の関係が成り立つことを示せ．
dA d ′A
=
+ω×A
dt
dt
(2) 固定点まわりに回転する剛体の運動について，剛体の角運動量を慣性主軸方向で表示した
L = Aω1 i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′ を(1)の結果に代入し，慣性主軸方向の成分で表すことで，オイラーの
運動方程式を導け．
問1
(1) 角運動量が保存されるから
ω=
l = r ( mv) = r ( mrω ) = mr 2ω = mr02ω0
r02
ω0
r2
あるいは面積速度が一定であることから r 2ω / 2 = r02ω0 / 2
(2) 赤道上であることから λ = 0 , 東向きに移動しているから dx / dt = dz / dt = 0,
代入すると
2mω V で鉛直上向きのコリオリの力が働く．
(3)
M a2
2
(4)
α=
dy / dt = V ．これを
m a2
g
I + m a2
問2
(1) 固定軸 O のまわりの回転の運動方程式
I θ&& = − mgh sin θ
(2) (i) 原点 O からの重心の座標を h, θ で表し，時間微分を取る．
xG = h sin θ , yG = − h cos θ
x&G = hθ& cosθ , y&G = hθ& sin θ
&x&G = hθ&& cosθ − hθ& 2 sin θ , &y&G = hθ&&sin θ + hθ& 2 cosθ
(ii) 物理振り子の重心の x, y 方向の運動方程式は
m &x&G = P , m &y&G = Q − mg .
(i)の結果を代入すると
P = m &x&G = m( hθ&& cos θ − hθ& 2 sin θ )
Q = m&y&G + mg = m( hθ&&cosθ − hθ& 2 sinθ ) + mg
(iii) 重心まわりの剛体の回転の運動方程式
IG θ&& = − P h cos θ −Q h sin θ
= − m( h2θ&& cos2 θ − h2θ& 2 cos θ sin θ ) = − m( h2θ&& sin2 θ + h2θ& 2 cos θ sin θ ) − mgh sin θ
= − mh2θ&& − mgh sin θ
( IG + m h2 ) θ&& = − mgh sinθ
これは(1)の結果と一致する．
問3
(1) ベクトル A を (x′, y′, z′) 系の単位ベクトル i′, j′, k′ を使って表す．
A = Ax′i′ + A y′ j ′ + Az ′k′
時間で微分する．
dA ′
dA
dA dAx′
di′
dj′
dk′
i′ + y j′ + z′ k′ + Ax′
=
+ Ay′
+ Az′
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
回転する座標の変換では，単位ベクトルの微分は di′ / dt = ω × i′ となるから
dAy′
dA
dA dAx′
=
i′ +
j ′ + z′ k′ + ω × ( Ax′i′ + Ay′ j′ + Az′k′)
dt
dt
dt
dt
d ′A( t )
=
+ω×A
dt
(2) 主軸の単位ベクトル i′, j′, k′ による角運動量の表示 L = Aω1 i′ + Bω2 j ′ + Cω3 k′ を(1)の結
果に代入すると
dL d( Aω1 )
d( Bω2 )
d(Cω3 )
i′ +
j′ +
k′ + ω × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3k′)
=
dt
dt
dt
dt
d( Aω1 )
d( Bω2 )
d(Cω3 )
i′ +
j′ +
k′ + (ω1i′ + ω2 j′ + ω2k′) × ( Aω1i′ + Bω2 j′ + Cω3 k′)
=
dt
dt
dt
i′ × j′ = k′ , j′ × k′ = i′ , k′ × i′ = j′ を用いて計算し，例えば i′ 成分についてみると
dω
 dL 
 = A 1 + ω2 (Cω3 ) − ω3 ( Bω2 )

dt
 dt 1
dω
= A 1 − ( B − C) ω2ω3
dt
外力のモーメントを主軸方向の成分によって表示し（ N = N1 i′ + N 2 j′ + N 3 k′ ）
，dL / dt = N が成
り立つことから
dω1
− ( B − C ) ω2ω3 = N 1
dt
dω
B 2 − (C − A) ω3 ω1 = N 2
dt
dω3
C
− ( A − B) ω1ω2 = N 3
dt
A
(オイラーの運動方程式)

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