微分法
微分とは
1
中学校で習ったことを思い出してみよう．
１次関数 y = ax + b において、その直線の傾きの求め方は，
傾き a =
y の増加量
x の増加量
すなわち，
直線上のある２点 P (x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ) がわかっている場合，
傾き a =
y2 − y1
x2 − x1
で求めることができた．
この傾きのことを「変化率」や「変化の割合」と呼んだりもする．
では，これが２次関数などの曲線だった場合どうだろう．
これはグラフを見ても分かるように，曲線の変化の仕方すなわち変化率や変化の割合は一定ではない．
曲線上の点それぞれにおいて変化率が違うということだ．
それならば，どのようにして曲線の個々の点における変化率を求めれば良いか．
そこで使うのが微分である．
微分係数と導関数
2
例えば今，右図の曲線 f (x) 上の点Ａにおける変化率を調べるとす
る．
これは言い換えれば，曲線 f (x) 上の点Ａにおける接線の傾きを調べ
ることと同じである．
右図のように曲線上に２点 Ａ (a, f (a))，Ｂ (a + h, f (a + h)) をとり，
変化率を求めると
f (a + h) − f (a)
(a + h) − a
=
f (a + h) − f (a)
h
だが，この直線ＡＢはＡの接線にはほど遠いものである．
直線ＡＢがＡの接線になるためには，点Ｂが点Ａに限りなく近づかな
ければならない．
その差が微小であればあるほど接線に近づくのだから，
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
が言える．
1
これを f (a) の x = a における微分係数といい，f ′ (a) で表す．
この微分係数（接線の傾き）を求めるための関数 f ′ (x) を
dy
d
f (x) の導関数といい，f ′ (x), y ′ , , f (x) などで表す．
dx
dx
f (x) の導関数 f ′ (x) = lim
f (x + h) − f (x)
h→0
h
x の増分 ∆x，y の増分 ∆y とすると, 上の式は
f ′ (x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
∆x→0
と表すことができる．
この関数 f (x) の導関数 f ’
（x）を求めることを，f（x）を微分するという．
また，f（x）が x = a で微分可能ならば，x = a で連続であるといえる．
例題 関数 y = 2x2 を導関数の定義に従って微分せよ．
y ′ = lim
h→0
2(x + h)2 − 2x2
h
= lim (2x2 + 4hx + 2h 2) − 2x2 h = lim
h→0
h→0
練習問題 次の関数を，導関数の定義に従って微分せよ．
(1) y =
√ ⇒
2 (2) y = 7x
(3) y =
1
x
(4) y = ax a は任意の定数
Point
(1) の問題は，その定義域 0 ≤ x の端 x = 0 では微分可能ではない．
このように，問題の定義域に気をつけよう．
2
4hx + 2h2
h
= 4x
導関数の計算
3
導関数の性質 1
{kf (x)}′ = kf ′ (x) k は定数 2
{f (x) + g(x)}′ = f ′ (x) + g ′ (x) {f (x) − g(x)}′ = f ′ (x) − g ′ (x) {kf (x) + lg(x)}′ = kf ′ (x) + lg ′ (x) k ，l は定数
3
証 明
◎第 1 式
′
kf (x) = kf ′ (x) の証明
′
kf (x) = lim k
f (x + h) − f (x)
h
h→0
◎第 2 式
= kf ′ (x)
′
f (x) + g(x) = f ′ (x) + g ′ (x) の証明
{f (x) + g(x)}′ = lim
{f (x + h) + g(x + h)} − {f (x) + g(x)}
h
h→0
= lim
h→0
{f (x) − g(x)}′ = lim
{f (x + h) − f (x)}
h
◎第 3 式
= lim
h→0
{g(x + h) − g(x)}
h
h→0
= f ′ (x) + g ′ (x)
{f (x + h) − g(x + h)} − {f (x) − g(x)}
h
h→0
+ lim
{f (x + h) − f (x)}
h
− lim
{g(x + h) − g(x)}
h
h→0
= f ′ (x) − g ′ (x)
′
kf (x) + lg(x) = kf ′ (x) + lg ′ (x) の証明
第 1 式と第 2 式から
{kf (x) + lg(x)}′ = {kf (x)}′ + {lg(x)}′ = kf ′ (x) + lg ′ (x)
4
積の導関数 {f (x)g(x)}′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) 3
証 明
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
{f (x)g(x)}′ = lim
h
h→0
ここで，分子を
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x) = f (x+)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x)
= {f (x + h) − f (x)}g(x + h) + f (x){g(x + h) − g(x)}
と変形させると，
{f (x)g(x)}′ = lim
f (x + h) − f (x)
h
h→0
g(x + h) + lim f (x)
g(x + h) − g(x)
h
h→0
= f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
例題 関数 y = (x2 − 2x)(3x2 + 1) を微分せよ．
y ′ = (x2 − 2x)′ (3x2 + 1) + (x2 − 2x)(3x2 + 1)′
= (2x − 2)(3x2 + 1) + (x2 − 2x)・6x
= 6x3 − 6x2 + 2x − 2 + 6x3 − 12x2 = 12x3 − 18x2 + 2x − 2
{
5
商の導関数 1
}′
g(x)
}′
{
f (x)
6
g(x)
=−
=
g ′ (x)
{g(x)}2
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
{g(x)}2
証 明
{
◎第 5 式
1
}′
=−
g(x)
{
1
g ′ (x)
{g(x)}2
}′
= lim
g(x)
1
の証明
{
1
−
1
}
1 g(x) − g(x + h)
= lim ・
h→0 h
g(x + h)g(x)
h g(x + h) g(x)
}
{
1
1
g ′ (x)
g(x + h) − g(x)
・
= −g ′ (x)・
=−
= lim −
h→0
h
g(x + h)g(x)
g(x)g(x)
{g(x)}2
{
◎第 6 式
}′
f (x)
g(x)
h→0
=
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
{g(x)}2
の証明
積の導関数の公式第 4 式と，上の公式第 5 式を用いると
4
{
f (x)
}′
{
=
例題 関数 y =
例題 関数 y =
(x2 + 2x + 2)2
y′ =
−1
}′
g(x)
を微分せよ．
(x2 + 2x + 2)′
x
x2
+ f (x)
= f ′ (x)・
g(x)
1
− g ′ (x) f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
+ f (x)・
=
g(x)
{g(x)}2
{g(x)}2
+ 2x + 2
y′ = −
{
1
f ′ (x)
1
x2
}′
f (x)・
g(x)
=
g(x)
1
=−
2x + 2
(x2 + 2x + 2)2
を微分せよ．
x′ (x2 − 1) − x(x2 − 1)′
(x2 − 1)2
=
x2 − 1 − 2x2
(x2 − 1)2
=−
x2 + 1
(x2 − 1)2
練習問題 次の関数を微分せよ．
(1) y = 2x2 − 3x + 1
(2) y = −3x3 + 4x − 5
(3) y = (x2 + 1)(x2 − 3x + 2)
(4) y = (x2 + x − 1)2
(5) y = (2x − 1)2 (3x2 + 2)
(6) y =
(7) y =
(8) y =
4
1
3x + 2
2x + 3
x2 + 1
(x − 1)2
x+1
合成関数とその導関数
2 つの関数 f (x) = 2x + 1，g(x) = x2 があるとき，y = f (u)，u = g(x) とおいてみる．
f (u) の u に g(x) を代入すると，
y = f (g(x)) = 2g(x) + 1 = 2x2 + 1
となり，これは x の関数である．
2 つの関数 f (x)，g(x) があって，g(x) の値域が f (x) の定義域に含まれているとき，
5
f (x) の x に g(x) を代入すると，新しい関数 f (g(x)) が得られる．
この関数を f (x) と g(x) の合成関数といい， 記号で f ◦ g)(x) と表す．
すなわち，f ◦ g)(x) = f (g(x)) であり，定義域は g(x) の定義域に一致する．
√
x であるとき，f (x) の定義域は実数全体の集合であるから g(x) の値域を含み，
合成関数 (f ◦ g)(x) が考えられる．この関数は定義域が x ≥ 0 で，次のようになる．
例題 f (x) = x2 + 1，g(x) =
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = {g(x)}2 + 1 =
√
2
x + 1 = x + 1 (x ≥ 0)
2 つの関数 f (x) = 2x + 1，g(x) = x2 に対し，
dy
合成関数 y = f (g(x)) の導関数
について，次の公式が成り立つ．
dx
合成関数の導関数 7
dy
dx
=
dy du
・
du dx
証 明
u = g(x) について，x の増分 ∆x に対する u の増分を ∆u，
y = f (x) について，u の増分 ∆u に対する y の増分を ∆y とすると，
u = g(x) は連続であるから，∆x −→ 0 のとき ∆u −→ 0 となる．
したがって，
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
∆y ∆u
∆y
∆u
dy du
・
= ( lim
)( lim
)= ・
∆x→0 ∆u ∆x
∆u→0 ∆u ∆x→0 ∆x
du dx
= lim
例題 関数 y = (3x2 + 2)3 を微分せよ．
u = 3x2 + 2 とおくと y = u3 である．
ここで，
dy
dx
=
du
dx
dy
= 6x， = 3u2 であるから，
du
dy du
・ = 3u2・6x = 18x(3x2 + 2)2
du dx
y = f (u)，u = g(x) のとき dy
du
= f ′ (u)， = g ′ (x) であるから，第 7 式は
du
dx
{f (g(x))}′ = f ′ (g(x))g ′ (x)
6
と表すことができる．
これを用いて，上の例題の y = (3x2 + 2)3 の導関数を次のように計算してもよい．
y ′ = 3(3x2 + 2)3−1 (3x2 + 2)′ = 18x(3x2 + 2)2
逆関数の導関数
5
関数 f (x) の逆関数 f −1 (x) が存在するとする．
このとき y = f −1 (x) とすると，
x = f (y)
この両辺をそれぞれ x の関数とみて，両辺を x について微分すると
左辺については
d
dx
x=1
右辺については，合成関数の導関数の公式第 7 式により，
d
dx
f (y) =
d
dy
dy
dx
f (y)・ = ・dydx
dx dy
したがって，
1=
dy dx
・
dx dy
よって，次の公式が成り立つ．
合成関数の導関数 dy
8
dx
=
1
dx
dy
例題 関数 y =
y=
√
x を微分せよ．
√
1
x = x 2 だから，x = y 2
ここで，
ゆえに，
dx
dy
dy
dx
= 2y である．
=
1
dx
dy
=
1
= y −1
2y 2
1
7
よって，
dy
=
dx
1√ −1
1
x = √
2
2 x
1
n が自然数のとき，関数 y = x n について
x = yn
であるから， よって dy
dx
=
1
dx
dy
=
1
ny n−1
1
= y n−1
n
dy
1 1−n
1 1
= x n = x n −1
dx n
n
( 1 )′
1 1
すなわち x n = x n −1
n
m m
( m )′
次に n が自然数，m が整数のとき， x n = x n −1 が成り立つことを証明しよう．
n
証 明
(
m
xn
)′
{(
=
1
xn
)}′
( 1 )m−1 ( 1 )′
= m xn
xn
( 1 )m−1 1 1
m m 1 1
m m
= m xn
・ x n −1 = x n − n + n −1 = x n −1
n
n
n
r を有理数とするとき，関数 y = xr (x > 0) の導関数は，上記の結果から，次のようになる．
任意の有理数 r について (xr )′ = rxr−1
例題 次の関数を微分せよ．
(1) y =
√
4
x3
3
y = x 4 と表されるから
3 1
3
3 3
y ′ = x 4 −1 = − 4 = √
4
4
44x
8
1
(2) y = √
x
y = x− 2 と表されるから
1
1 1
1 3
1
1
y ′ = − x 2 −1 = − x− 2 = − 3 = − √
2
2
2x x
2x 2
(3) y =
√
3
2x2 + 1
1
y = (2x2 + 1) 3 と表されるから
1
4x
1
1
2
y ′ = (2x2 + 1) 3 −1 (2x2 + 1)′ = (2x2 + 1)− 3・4x = √
3
3
3
3 (2x2 + 1)2
練習問題 次の関数を微分せよ．
(1) y = (1 − 2x)3
(2) y = −
(
(3) y =
1
(3x − 2)5
)
x−1
x
1
(4) y = x 5
(5) y =
√
x
(6) y =
√
5 − x2
(7) y =
√
3
x2 + x + 1
(8) y =
√
√
x+1− x−1
9
6
三角関数の導関数
ここでは，sin x，cos x，tan x それぞれについての導関数を求めてみる．
○ y = sin x の導関数
正弦の差を積に変形する公式
A+B
sin A − sin B = cos
lim
h→0
sin x
x
2
sin
A−B
2
⇒
= 1 ⇒ を用いると，
関数 y = sin x の導関数が求められる．
(sin x)′ = lim
sin(x + h) − sin x
h→0
(
h
2 cos x +
= lim
)
h
2
sin
h
2
h
h→0
(
h
)
sin
h
2
= lim cos x +
・
h→0
2
h
2
= cos x・1 = cos x
よって，
(sin x)′ = cos x
Point
加法定理最後のページを参照．
本章最後のページを参照．
10
と，
○ y = cos x の導関数
(
π
cos x = sin x +
)
2
であるから，合成関数の導関数の公式により
{
′
(cos x) =
(
sin x +
(
= cos x +
π
2
π
)}′
2
)
・1 = − sin x
(cos x)′ = − sin x
よって，
○ y = tan x の導関数
sin x
であるから，商の導関数の公式により，
cos x
(
)′
sin x
(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′
′
(tan x) =
=
cos x
cos2 x
tan x =
=
よって，
cos2 x + sin2 x
(tan x)′ =
cos2 x
=
1
cos2 x
1
cos2 x
以上の結果をまとめると，次のようになる．
9
三角関数の導関数 (sin x)′ = cos x 10
(cos x)′ = − sin x
11
(tan x)′ =
1
cos2 x
11
例題 次の関数を微分せよ．
(1) y = sin(3x − 2)
y ′ = cos(3x − 2)・3 = 3 cos(3x − 2)
合成関数の導関数の公式を用いている．これを詳しく書いてみると，
t = 3x − 2，y = sin t とおく．
y ′ = cos t・t′ = cos(3x − 2)・3 = 3 cos(3x − 2) となる．
(2) y = cos2 x
′
y ′ = (cos x)2 = 2 cos x・(cos x)′
= 2 cos x・(− sin x) = −2 sin 2x
練習問題 次の関数を微分せよ．
(1) y = cos 3x
(2) y = tan(2x − 3)
(3) y = sin2 x
(4) y = tan2 x
(5) y = sin3 2x
(6) y =
1
1 + cos x
12
(
練習問題 1
)′
tan x
=−
練習問題 x = tan y ，−
7
π
2
1
sin2 x
であることを示せ．
<x<
π
2
とする．
dy
dx
を x の関数として表せ．
対数関数の導関数
a > 0，a ̸= 1 とするとき，対数関数 y = loga x の導関数について考える．
log a(x + ∆x) − loga x
(loga x)′ = lim
∆x
∆x→0
= lim
∆x→0
ここで，
∆x
x
1
∆x
loga
(
1+
)
∆x
x
= h とおくと，∆x → 0 のとき h −→ 0 であるから，
(loga x)′ = lim
h→0
1
xh
(loga x)′ =
ゆえに
loga (1 + h) = lim
h→0
1
1
x
1
loga (1 + h) h
1
lim log (1 + h) h
x h→0 a
1
いま，(1 + h) h の値を，h = ±0.1，± 0.01，± 0.001 などについて計算すると，
下の表のようになる．
1
表のとおり，h −→ 0 のとき (1 + h) h は一定の値に近づくことが想像でき，
1
実際に h −→ 0 のとき (1 + h) h の極限値は存在する．
1
その値は lim loga (1 + h) h = 2.71828 18284 59045……
h→0
13
表 1: h → +0 のとき
1
h
(1 + h) h
h
表 2: h → −0 のとき
1
(1 + h) h
0.1
0.01
2.59374……
2.70481……
−0.1
−0.01
2.86797……
2.73199……
0.001
0.0001
2.71692……
2.71814……
−0.001
−0.0001
2.71964……
2.271841……
0.00001
2.71826……
−0.00001
2.71829……
となる．
この値は無理数で，それを文字 e で表す．
1
すなわち，
lim loga (1 + h) h = e
h→0
では，ここで loga x の微分に戻ろう．
上記の正の定数 e を用いると，y = loga x について
1
1
1 loge e
1
1
(loga x)′ = lim loga (1 + h) h = loga e = ・
=
x h→0
x
x loge a
x loge a
特に，底 a が e に等しいときは，次のようになる．
(loge x)′ =
1
1
loge e = x
x
Point
底の変換公式 loga b =
logc b
logc a
(c > 0, c ̸= 1)
e を底とする対数を 自然対数 という．微分法や積分法では，
通常，自然対数を単に対数と呼び，loge x の底 e を省いて log x と書く．
対数関数の導関数についてまとめると，次のようになる．
14
対数関数の導関数 (1) 12
13
(log x)′ =
(loga x)′ =
1
x
1
x log a
例題 次の関数を微分せよ．
(1) y = log 2x
y′ =
1
1
・(2x)′ =
2x
x
(2) y = log2 (3x + 2)
y′ =
3
・(3x + 2)′ =
(3x + 2) log 2
(3x + 2) log 2
1
関数 y = log |x| の導関数について考える．
x > 0 のとき y = log x から
y′ =
1
x
x < 0 のとき y = log(−x) から
y′ =
−1 1
1・(−x)′ =
=
−x
−x
x
1
したがって，次のことが成り立つ．
対数関数の導関数 (2) 14
15
(log |x|)′ =
(loga |x|)′ =
1
x
1
x log a
15
例題 次の関数を微分せよ．
y=
(x + 2)2 (x + 3)3
x2 + 1
この関数を微分するとき，商の導関数の公式を用いる事ができるが，
両辺の絶対値の対数を考えて微分することもできる．
これを対数微分法という．
両辺の絶対値の対数を取ると，
log |y| = 2 log |x + 2| + 3 log |x + 3| − log |x2 + 1|
両辺を x について微分すると，
y′
y
=
2
x+2
+
3
x+3
−
2x
x2
+1
ゆえに
(
2
′
y =y
=
=
8
x+2
+
3
x+3
−
2x
)
x2 + 1
(x + 2)2 (x + 3)3 3x3 + 2x2 − 7x + 12
・
x2 + 1
(x + 2)(x + 3)(x2 + 1)
(x + 2)(x + 3)2 (3x3 + 2x2 − 7x + 12
(x2 + 1)2
指数関数の導関数
a > 0，a ̸= 1 とするとき，指数関数 y = xa の導関数は，上記の対数微分法を用いて，
次のようにして求められる．
y = ax の両辺の対数をとると
log y = x log a
この両辺を x で微分すると y′
y
= log a
よって y ′ = y log a
すなわち (ax )′ = ax log a
16
(ex )′ = ex
特に，a = e のとき，log e = 1 であるから，
以上のことをまとめると，次のようになる．
指数関数の導関数 16
(ex )′ = ex 17
(ax )′ = ax log a
例題 次の関数を微分せよ．
(1) y = e2x
y ′ = e2x・(2x)′ = 2e2x
(2) y = xex
′
y ′ = (x)・
ex + x・(ex )′ = 1・ex + x・ex = (1 + x)ex
(3) y = a−3x
y ′ = a−3x log a・(−3x)′ = −3a−3x log a
練習問題 次の関数を微分せよ．
(1) y = log(5x − 2)
(2) y = (log x)2
(3) y = log1 0(x2 + 1)
(4) y = log |3x + 2|
17
(5) y = log3 |x2 − 9|
(6) y = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)4
(7) y = e−3x
(8) y = a−2x+1
(9) y = xax
(10) y = e−x
2
接線と法線
9
曲線 y = f (x) 上の点 P (x1 , y1 ) を通り，
P における接線 P T とその垂直に交わる
直線 P N を，その曲線の点 P における法線
という．
接線 P T の傾きは f ′ (x1 ) で表され，
法線 P N の傾きは f ′ (x1 ) ̸= 0 のとき，
1
− ′
で表される．よって，曲線 y = f (x) 上の点 P (x1 , y1 )
f (x1 )
における接線，法線の方程式は，それぞれ次のようになる．
接線，法線の方程式 18
接線 y − y1 = f ′ (x1 )(x − x1 ) 19
法線 y − y1 =
1
f ′ (x1 )
(x − x1 ) ただし，f ′ (x1 ) ̸= 0
上で f ′ (x1 ) = 0 のとき，接線は x 軸に平行で，法線は x 軸に垂直な直線 x = x1 となる．
18
例題 曲線 y =
2
x
y′ = −
上の点 (1, 2) における接線と法線の方程式を求めてみよう．
2
x2
であるから，x = 1 のとき y ′ = −2
よって，接線の方程式は
y − 2 = −2(x − 1) すなわち y = −2x + 4
また，法線の方程式は
y−2=−
1
1
3
(x − 1) すなわち y = x +
−2
2
2
例題 原点を通り，曲線 y = log x に接する直線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
f (x) = log x とすると
f ′ (x) =
1
x
求める接線の座標を (a, log a) とすると，接線の方程式は
1
y − log a = (x − a)
a
これが原点 (0, 0) を通るから
− log a =
1
a
× (−a)
ゆえに log a = 1
よって a = e
したがって，接線の方程式は y =
x
e
接点の座標は (e, 1)
練習問題 次の曲線上の点 P における接線と法線の方程式を求めよ．
19
(1) y = −x3 + x， P (2, −6)
(2) y = log x， P (1, 0)
練習問題 原点を通り，曲線 y =
練習問題 原点から曲線 y = x +
√
x − 1 に接する直線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
1
x
に引いた法線の方程式を求めよ．
練習問題 曲線 y = e−x に点 (a, 0) から接線が引けるとする．定数 a の値はどのような範囲にあるか．
2
20
Point
lim
x→0
sin x
x
=1
limx→0
sin x
x
lim
x→0
の極限 sin x
x
=1
証明
x → 0 のときを考えるのであるから，0 < |x| <
【1】 0 < x <
π
2
π
2
としてよい．
のとき
点 O を中心とする半径 1 の円において，中心角 x の扇形 OAB を考える．点 B から OA に下ろした垂線を
BH ，点 A における円 O の接線が OB の延長と交わる点を T とすると，面積について
△OAB < 扇形 OAB < △OAT
BH = sin x，AH = tan x であるから
1
1
1
・1・sin x < ・12・x < ・1・tan x
2
2
2
よって sin x < x < tan x
各辺を sin x で割ると，sin x > であるから
1<
x
sin x
<
1
cos x
したがって 1 >
lim cos x = 1 であるから lim
x→+0
x→+0
sin x
x
=1
21
sin x
x
> cos x
【2】 −
π
2
< x < 0 のとき
x = −θ とおくと
lim
x→−0
sin x
x
= lim
θ→+0
sin θ
sin(−θ)
= lim
=1
θ→+0
−θ
θ
【1】，
【2】から lim
x→0
sin x
x
=1
22
微分法 (解答)
練習問題 (p.2)
(1) y =
√
2x
′
y = lim
√
√
2(x + h) − 2x
h
√
√
分母と分子に 2(x + h) + 2x をかけて
h→0
2h
2(x + h) − 2x
√
√ = lim √
√
h→0 h( 2(x + h) +
2x h→0 h( 2(x + h) + 2x
y ′ = lim
h で約分し，h → 0 だから
2
2
1
√ = √ =√
y ′ = √
2x
2(x + 0) + 2x 2 2x
(2) y = 7x
y ′ = lim
7(x + h) − 7x
h
h→0
y ′ = lim
h→0
(3) y =
7h
h
= lim 7 = 7
h→0
1
x
1
y ′ = lim x + h
h→0
h
−
1
x
分母分子に (x + h) をかけると
y ′ = lim
h→0
1−
x+h
1−1−
h
x = lim
x
h→0 h(x + h)
h(x + h)
分母分子に x をかけて
y ′ = lim
h→0
−h
hx(x + h)
= lim −
h→0
1
x(x + h)
=−
1
x2
(4) y = ax a は任意の定数
y ′ = lim
h→0
a(x + h) − ax
h
= lim
h→0
ah
h
= lim a = a
h→0
23
練習問題 (p.5)
(1) y = 2x2 − 3x + 1
y ′ = 4x − 3
(2) y = −3x3 + 4x − 5
y ′ = −9x2 + 4
(3) y = (x2 + 1)(x2 − 3x + 2)
y ′ = {(x2 + 1)}′ (x2 − 3x + 2) + (x2 + 1){(x2 − 3x + 2)}′
= 2x(x2 − 3x + 2) + (x2 + 1)(2x − 3) = 43 − 12x2 + 6x − 3
(4) y = (x2 + x − 1)2
y ′ = {(x2 + x − 1)}′ (x2 + x − 1) + (x2 + x − 1){(x2 + x − 1)}′
= 2(x2 + x − 1){(x2 + x − 1)}′ = 2(2x + 1)((x2 + x − 1)
(5) y = (2x − 1)2 (3x2 + 2)
y ′ = (2x − 1)′ (2x − 1)(3x2 + 2) + (2x − 1)(2x − 1)′ (3x2 + 2) + (2x − 1)(2x − 1)(3x2 + 2)′
= 48x3 − 36x2 + 22x − 8
(6) y =
1
3x + 2
y ′ = −
(7) y =
(3x + 2)′
(3x +
2)2
=−
3
(3x + 2)2
2x + 3
x2 + 1
y ′ =
=
(2x + 3)′ (x2 + 1) − (2x + 3)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
2x2 + 2 − 4x2 − 6x)
(x2 + 1)2
=−
=
2(x2 + 1) − 2x(2x + 3)
(x2 + 1)2
2(x2 + 3x − 1)
(x2 + 1)2
24
(8) y =
(x − 1)2
x+1
まず，分子の (x − 1)2 を微分すると，
{(x − 1)2 }′ = 2(x − 1)′ (x − 1) = 2(x − 1)
これを用いて
{(x − 1)2 }′ (x + 1) − (x − 1)2 (x + 1)′
y ′ =
=
=
(x + 1)2
2x2 − 2 − x2 + 2x − 1
(x + 1)2
=
=
2(x − 1)(x + 1) − (x − 1)2
(x + 1)2
x2 + 2x − 3
(x + 1)2
(x + 3)(x − 1)
(x + 1)2
練習問題 (p.9)
(1) y = (1 − 2x)3
y ′ = 3(1 − 2x)3−1 (1 − 2x)′ = −6x(1 − 2x)2
(2) y = −
1
(3x − 2)5
y ′ = −{(3x − 2)5 }′ = −5(3x − 2)5−1 (3x − 2)′ = −15x(3x − 2)4
(
(3) y =
)
x−1
x
(
′
1−
y =
1
)′
x
=
1
x2
1
(4) y = x 5
1 1
1 4
1
y ′ = x 5 −1 = x− 5 = √
5
5
5
5 x4
(5) y =
√
x
1 1
1
1
y ′ = x 2 = x− 2 = √
2
2 2
25
(6) y =
√
5 − x2
1
1
1
1
1
y ′ = {(5 − x2 ) 2 }′ = (5 − x2 )− 2 (5 − x2 )′ = (−2x)(5 − x2 )− 2
2
2
x
= − √
5 − x2
(7) y =
√
3
x2 + x + 1
1
2x + 1
2
1
y ′ = {(x2 + x + 1) 3 }′ = (x2 + x + 1)− 3 (x2 + x + 1)′ = √
3
3
3 (x2 + x + 1)2
(8) y =
√
x+1−
√
x−1
第 1 項
1
√
√
x + 1 を微分すると ( x + 1)′ = √
2 x+1
第 2 項
1
√
√
x − 1 を微分すると ( x − 1)′ = √
2 x−1
よって
1
√
x+1
1
√
x−1
y ′ = √
+ √
=
+
=
2 x + 1 2 x − 1 2(x + 1) 2(x − 1)
√
√
(x + 1) x − 1 + (x − 1) x + 1
2(x2 − 1)
練習問題 (p.12 - 13)
(1) y = cos 3x
y ′ = (− sin 3x)・(3x)′ = −3 sin 3x
(2) y = tan(2x − 3)
y ′ =
(2x − 3)′
cos2 (2x
− 3)
=
2
cos2 (2x
− 3)
(3) y = sin2 x
y ′ = 2 sin x・(sin x)′ = 2 sin x cos x
加法定理 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β において，
α = β = x とすると，
sin(x + x) = sin 2x = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x だから，
y ′ = sin 2x
26
(4) y = tan2 x
sin2 x
y =
cos2
{
x
cos2
x
}′
1
′
y =
1 − cos2 x
=
cos2
−1
x
=
1
=
cos2 x
− 1 であるから，
2 sin x cos x
cos4
=
sin 2x
cos4 x
(5) y = sin3 2x
′
′
′
y ′ = (2x)′ (sin 2x)・
sin 2x・sin 2x + (2x)′ (sin 2x)・
sin 2x・sin 2x + (2x)′ (sin 2x)・
sin 2x・sin 2x
= 3・2 cos 2x sin 2x sin 2x = 3 sin 4x sin 2x
(6) y =
1
1 + cos x
y ′ = −
(1 + cos x)′
(1 + cos x)2
(
練習問題 =
)′
1
=−
tan x
sin x
(1 + cos x)2
1
sin2 x
であることを示せ．
p.4 の「商の導関数」の第 5 式を用いると，
(
1
)′
1
2
x
= − cos
=−
sin2 x
tan x
cos2 x
練習問題 x = tan y ，−
この問題では，
dx
dy
=
1
cos2 θ
π
2
1
sin2 x
<x<
π
2
とする．
dy
dx
を x の関数として表せ．
= 1 + tan2 θ の等式を用いる．
1
cos2 y
ここで，上記の等式を用いると，
dx
dy
= 1 + tan2 y
tan y = x だから，
dx
dy
= 1 + x2
27
p.7 の「合成関数の導関数」の第 8 式を用いると，
dy
dx
=
1
1
=
dx
dy
1 + x2
練習問題 (p.17 - 18)
(1) y = log(5x − 2)
y ′ =
1
5x − 2
(2) y = (log x)2
y ′ = 2(log x)(log x)′ =
2 log x
x
(3) y = log1 0(x2 + 1)
y ′ =
1
2x
・(x2 + 1)′ = 2
(x2 + 1) log 10
(x + 1) log 10
(4) y = log |3x + 2|
y ′ =
1
3x + 2
(5) y = log3 |x2 − 9|
y ′ =
1
(x2
2x
・(x2 − 9)′ = 2
− 9) log 3
(x − 9) log 3
(6) y = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)4
この問題は，対数微分法を用いる．
両辺の絶対値の対数をとると，
log |y| = 2 log |x + 1| + 3 log |x + 2| + 4 log |x + 3|
両辺を x について微分すると，
28
y′
y
=
2
x+1
+
3
x+2
+
4
x+3
ゆえに，
(
2
′
y = y
x+1
+
3
x+2
+
4
)
x+3
(
y ′ = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)4
2
x+1
+
3
x+2
+
4
)
x+3
y ′ = 2(x + 1)(x + 2)3 (x + 3)4 + 3(x + 1)2 (x + 2)2 (x + 4)4 + 4(x + 1)2 (x + 2)3 (x + 4)3
y ′ = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 {2(x + 1) + 3(x + 1)(x + 3) + 4(x + 1)(x + 2)}
y ′ = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 {(2x + 2) + (3x2 + 12x + 9) + (4x2 + 12x + 8)}
y ′ = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 (72 + 26x + 19)
y ′ = (7x + 19)(x + 1)2 (x + 2)2 (x + 3)3
(7) y = e−3x
y ′ = e−3x (−3x)′ = −3e−3x
(8) y = a−2x+1
y ′ = a−2x+1 log a・(−2x + 1)′ = −2a−2x+1 log a
(9) y = xax
′
y ′ = x・
ax + x・(ax )′ = ax + xax log a = ax (1 + log a)
(10) y = e−x
2
y ′ = e−x (−x2 )′ = −2xe−x
2
2
練習問題 (p.20)
練習問題 次の曲線上の点 P における接線と法線の方程式を求めよ．
29
(1) y = −x3 + x， P (2, −6)
f (x) = −x3 + x とおくと，
f ′ (x) = −3x2 + 1
f ′ (2) = −11 だから，
y − (−6) = −11(x − 2)
y = −11x + 16
(2) y = log x， P (1, 0)
f (x) = log x とおくと，
f ′ (x) =
1
x
f ′ (1) = 1 だから，
y − 0 = 1・(x − 1)
y = x − 1
練習問題 原点を通り，曲線 y =
接点を (a,
√
x − 1 に接する直線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
√
√
a − 1)，f (x) = x − 1 とおく．
1
f ′ (x) = √
だから，
2 x−1
接線の方程式は，
y −
1
√
a−1= √
(x − a)
2 a−1
これが原点 (0, 0) を通るから，
0 −
1
√
a−1= √
(0 − a)
2 a−1
−a
√
− a − 1 = √
2 a−1
a = 2
30
1
したがって，接線の方程式は y = x − 1
2
接点の座標は (2, 1)
練習問題 原点から曲線 y = x +
f (x) = x +
f ′ (x) = 1 −
1
x
1
x
に引いた法線の方程式を求めよ．
1
とし，法線が曲線上の (a, a + ) を通るものとする．
a
1
x2
だから，
法線の方程式は，
1
y − (a + ) = −
a
1
1−
1
(x − a)
a2
これが原点 (0, 0) を通るから，
1
0 − (a + ) = −
a
1
−(a + ) =
a
a4 =
1
1−
1
(0 − a)
a2
a
1−
1
a2
1
2
1
a = √
4
2
よって
(
y = −
x
1− (
+
1
1
√
4
2
)2
1
√
4
2
1− (
)
1
(
−
)2
1
√
4
2
)
1
1
√
+(
)
4
2
1
√
4
2
ここで，これは原点を通る直線なので，
31
(
切片を表す
)
1
√
4
2
1− (
(
−
1
)2
1
√
4
2
)
1
1
√
+(
) の部分は必然的に 0 であるから，計算をする必要はない．
4
2
1
√
4
2
したがって，法線の方程式は
x
y = −
1−
1
√1
2
x
√
1− 2
√
y = (1 + 2)x
y = −
練習問題 曲線 y = e−x に点 (a, 0) から接線が引けるとする．定数 a の値はどのような範囲にあるか．
2
f (x) = e−x とすると，
2
f ′ (x) = −2xe−x
2
接点を (p, e−p ) とすると，接線の方程式は
2
y − e−p = −2ae−a (x − p)
2
2
この接線は (a, 0) からひかれるので，
0 − e−p = −2pe−p (a − p)
2
2
0 = 2p2 e−p − −2ape−p + e−p
2
2
2
0 = e−p (2p2 − 2ap + 1)
2
e−p は実数であるから，
2
2p2 − 2ap + 1 = 0
接点が存在するということは，2p2 − 2ap + 1 = 0 が実数解を持つということだから
判別式を D として，
D
4
= a2 − 2 > 0
したがって a の値の範囲は
32
√ √
a < − 2, 2 < a
33
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