第11章 振動 11-1 単振動 振動 1.平衡状態となる位置の周りで起こる. 2.周期的現象である. 振動数(frequency)f:1秒間のくり返し数(単位ヘルツ Hz) 周期(period)T:1回繰り返すのにかかる時間 (11.1) (11.2) 1 最も単純な振動運動は三角関数で記述できる. ⇒ 単振動,調和振動 このような振動する物体を調和振動子 平衡位置からの変位 (11.3) 振幅 位相 (11.4) (11.5) (11.6) 角振動数(1秒間に何rad回転するか) 2 (11.5)より (11.7) 速さの絶対値が最大となるのは, (11.8) 11-2 単振動と円運動 半径R,角速度ωの円運動は(2.51)より, 単振動はこの円運動のx成分,あるいはy成分の運動となっている. 3 初期位相 t 0 での位置,速度 11-3 単振動のための力 単振動を引き起こす力 4 (11.9) (11.10) (11.10)というバネ定数をもつフック法則に従う力に よって,単振動が引き起こされる. (11.11) (11.12) d 2x Ax 2 dt A 0 単振動を表す運動方程式 5 11-4 単振動のエネルギー バネの弾性的ポテンシャルエネルギーは, (11.13) 単振動では力学的エネルギーが保存する. (11.14) 1 1 2 2 m A sin t 0 k A cost 0 2 2 1 1 2 m A sin 2 t 0 kA2 cos 2 t 0 2 2 1 2 m A sin 2 t 0 cos 2 t 0 k m 2 2 E 6 (11.15) また,(11.14)は (11.16) 11-5 振り子 質量mの質点を長さLの質量の無視できる 糸に取り付けた振り子 糸に垂直な重力の成分は, 7 円弧の長さsとすると, (11.17) θが小さく, sin (11.18) が成り立つとき, θ (度) 20 10 5 1 θ (rad) 0.3491 0.1745 0.08727 0.01745 sinθ 0.3420 0.1736 0.08716 0.01745 (11.19) (11.20) 例えば,長さL=1mの振り子は, (11.21) 8 11-6 減衰振動 単振動している物体に空気抵抗が 作用する場合 (11.22) :減衰定数 (11.23) この関数を解としてみると, 9 b k x x x 0 m m 2 2 2 2 0 2 b k 0 m m b k , 2m m 2 2 ■減衰が小さいとき 2 2 i 2 2 i ' x1 A1e t i 't x2 A2e t i 't ' 2 2 一般解は, x e t A1ei 't A2ei 't x e t A1 A2 cos ' t i A1 A2 sin ' t xt が実数であるという条件を加えると, 10 R,Sを実数として A1 A2 R, A1 A2 iS x e t A1 A2 cos ' t i A1 A2 sin ' t e t R cos ' t S sin ' t Pe t cos ' t 0 R iS 2 R iS A2 2 A1 x e t Pcos ' t cos 0 sin ' t sin 0 P cos 0 R, P sin 0 S xt Pe b t 2m cos ' t 0 2 k b b ' 2 m m 2 m 2 tan 0 (11.24) 2 (11.25) k m 11 S R 振幅は振動しながら減衰していく. xmax t Ae bt 2m m b xmax t Ae (11.26) (11.27) t 2 (11.28) 1 1 2 2 E kxmax kP e 2 2 t (11.29) エネルギーも指数関数的に減衰 振幅が1/eになる時間を時定数τという. 12 11-11 二原子分子の振動 (11.61) k d2 d 2 x1 d 2 x2 k x1 x2 a 2 2 x1 x2 a 2 dt dt dt m1 m2 mm 1 2 m1 m2 (11.62) (11.63) 13
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