11回目講義用ノート

第１１章振動
11-1 単振動
振動
１．平衡状態となる位置の周りで起こる．
２．周期的現象である．
振動数（frequency）f：1秒間のくり返し数（単位ヘルツ Hz）
周期（period）T：1回繰り返すのにかかる時間
(11.1)
(11.2)
1
最も単純な振動運動は三角関数で記述できる．
⇒ 単振動，調和振動
このような振動する物体を調和振動子
平衡位置からの変位
(11.3)
振幅
位相
(11.4)
(11.5)
(11.6)
角振動数（1秒間に何rad回転するか）
2
(11.5)より
(11.7)
速さの絶対値が最大となるのは，
(11.8)
11-2 単振動と円運動
半径R，角速度ωの円運動は（2.51）より，
単振動はこの円運動のx成分，あるいはy成分の運動となっている．
3
初期位相
t 0
での位置，速度
11-3 単振動のための力
単振動を引き起こす力
4
(11.9)
(11.10)
(11.10)というバネ定数をもつフック法則に従う力に
よって，単振動が引き起こされる．
(11.11)
(11.12)
d 2x
  Ax
2
dt
 A  0 単振動を表す運動方程式
5
11-４単振動のエネルギー
バネの弾性的ポテンシャルエネルギーは，
(11.13)
単振動では力学的エネルギーが保存する．
(11.14)
1
1
2
2
m A sin t  0   k  A cost  0 
2
2
1
1
2
 m A  sin 2 t  0   kA2 cos 2 t  0 
2
2
1
2
 m A  sin 2 t  0   cos 2 t  0 
 k  m 2
2
E


6
(11.15)
また，(11.14)は
(11.16)
11-５振り子
質量mの質点を長さLの質量の無視できる
糸に取り付けた振り子
糸に垂直な重力の成分は，
7
円弧の長さsとすると，
(11.17)
θが小さく， sin   
(11.18)
が成り立つとき，
θ (度)
20
10
5
1
θ (rad)
0.3491
0.1745
0.08727
0.01745
sinθ
0.3420
0.1736
0.08716
0.01745
(11.19)
(11.20)
例えば，長さL=1mの振り子は，
(11.21)
8
11-6 減衰振動
単振動している物体に空気抵抗が
作用する場合
(11.22)
：減衰定数
(11.23)
この関数を解としてみると，
9
b
k
 x  x  x  0
m
m
2
 2  2   2  0
2
b
k
  0
m
m
b
k

,  
2m
m
     2   2
■減衰が小さいとき
     2   2    i  2   2    i '
x1  A1e  t i 't
x2  A2e t i 't

'   2   2
一般解は，
x  e t A1ei 't  A2ei 't

x  e t  A1  A2 cos  ' t  i A1  A2 sin  ' t 
xt  が実数であるという条件を加えると，
10
R，Sを実数として
A1  A2  R, A1  A2  iS
x  e t  A1  A2 cos  ' t  i A1  A2 sin  ' t 
 e t R cos  ' t  S sin  ' t 
 Pe  t cos ' t  0 
R  iS
2
R  iS
A2 
2
A1 
 x  e t Pcos  ' t cos 0  sin  ' t sin 0 
P cos 0  R, P sin 0  S
xt   Pe

b
t
2m
cos ' t  0 
2
k  b 
 b 
'    




2
m
m
2
m




2
 
tan 0 
(11.24)
2
(11.25)
k
m
11
S
R
振幅は振動しながら減衰していく．
xmax t   Ae

bt
2m
m

b
xmax t   Ae
(11.26)
(11.27)

t
2
(11.28)
1
 1 2  
2
E  kxmax   kP e
2
2

t
(11.29)
エネルギーも指数関数的に減衰
振幅が1/eになる時間を時定数τという．
12
11-11 二原子分子の振動
(11.61)
 k
d2
d 2 x1 d 2 x2
k 
x1  x2  a   2  2    x1  x2  a 
2
dt
dt
dt
 m1 m2 
mm
 1 2
m1  m2
(11.62)
(11.63)
13

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