現象の数学 B (2013 年度 後期) 定期試験問題 28.01.2014 解答で,図に示された以外の座標を使う場合は,どう座標をとったかを書いて下さい。 . 【1】図 1 のように,質量 m の質点の左側にはばね定数 k1 ,自然長 `1 のばねが, 右側にはばね定数 k2 ,自然長 `2 のばねがつながれている。左側のばねの左端 k2 l 2 k1 l1 m は x = 0 の位置にある壁に,右側のばねの右端は x = L の位置にある壁につ x ながれている。k1 = k , k2 = 3k ,`1 = 2` , `2 = `,L = 5` の場合に: x (t ) O (1) この質点の運動方程式を書きなさい。 L 図1 (2) 平衡点 x0 と,そのまわりの単振動の角振動数 ω を求めなさい。 【2】質量 m の2つの質点が,図 2 のように,自然長 `,ばね定数がそれぞれ k1 , k2 ,k3 のばねにつながれている。k1 = k3 = 2k , k2 = k の場合に: k1 l (1) 2つの質点の運動方程式を書きなさい。 k2 l m k3 l x (2) 初期条件 x1 (0) = ` , m ¯ dx1 (t) ¯¯ = 0, dt ¯t=0 5 x2 (0) = ` , 2 ¯ dx2 (t) ¯¯ =0 dt ¯t=0 x (t) O x (t) 1 2 3l 図2 に対する解,x1 (t) , x2 (t) を求めなさい。 【3】図 3 に示すように,長さ L = 0.1m,断面積 S = 10−4 m2 ,密度 ρ = 104 kg/m3 , ヤング率 E = 1011 kg/(s2 m) の弾性体の棒を,ばね定数 k ,自然長 ` のばね ρ, E S L でつながれた N 個の質点でモデル化する。質点の質量は全て等しい ( m1 = m2 = · · · = mN = m) とする。N = 100 の場合に,m, `, k の値をどう設定す ればよいかを答えなさい。尚,N は大きいと考えて,N ± 1 ' N = 100 とみ なしてかまいません。 k, l m1 mN m2 図3 【4】x と t の関数 u(x, t) = 3 sin(4x + 3t) は x 軸方向に一定の速度で進む正弦波を表す。 (1) 波の進む向き (x 軸の正の向きか,負の向きか) と波の速さ v を書きなさい。 (2) 波長 λ と周期 T を求めなさい。ここで,λ は u(x + λ, t) = u(x, t) となる最小の実数である。また,T は u(x, t + T ) = u(x, t) となる最小の実数である。 【5】区間 (0, L) で固定端の境界条件に対する波動方程式, ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = v2 , 2 ∂t ∂x2 (0 < x < L), u(0, t) = u(L, t) = 0 , を考える. ここで v > 0 は定数である。以下の初期条件に対する解を求めなさい: ¯ ( 2π ) ( 7π ) ∂u(x, t) ¯¯ (1) u(x, 0) = 2 sin L x + 7 sin L x , = 0. ∂t ¯t=0 ¯ ( ) ( ) ∂u(x, t) ¯¯ (2) u(x, 0) = 0 , = 2 sin 2π x + 7 sin 7π x . L L ¯ ∂t t=0 ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = v2 , (−∞ < x < ∞),を考える。 ここで v > 0 は定数 2 ∂t ∂x2 ¯ ) ( ∂u(x, t) ¯¯ d −x4 3 −x4 e u(x, 0) = 0 , = −4x e = ∂t ¯t=0 dx 【6】区間 (−∞ , ∞) での波動方程式, である。初期条件 に対する解を求めなさい。 現象の数学 B (2013 年度 後期) 定期試験略解 . 【1】 (1) m d2 x(t) = −k1 (x(t) − `1 ) + k2 (L − x(t) − `2 ) = −4kx(t) + 14k` . dt2 (2) x0 = k1 `1 + k2 (L − `2 ) 7 = `, k1 + k2 2 ω= r k1 + k2 =2 m r k . m (exm13-1.2.1) (exm13-1.2.2) 【2】 (1) m d2 x1 (t) dt2 = −k1 (x1 (t) − `) + k2 (x2 (t) − x1 (t) − `) = −3kx1 (t) + kx2 (t) + k` = −3ku1 (t) + ku2 (t) , = −k2 (x2 (t) − x1 (t) − `) + k3 (2` − x2 (t)) = kx1 (t) − 3kx2 (t) + 5k` = −3ku2 (t) + ku1 (t) . 2 m d x2 (t) dt2 (exm13-1.2.3) (exm13-1.2.4) ただし,u1 (t) = x1 (t) − `,u2 (t) = x2 (t) − 2` (2) (21.11),(21.12) より一般解は u1 (t) = u2 (t) = ただし A(2) √ cos(ω (2) t − θ(2) ) , 2 (2) A √ cos(ω (2) t − θ(2) ) . 2 r r r k1 2k k1 + 2k2 k = , ω (2) = =2 . m m m m ˛ ˛ du1 (t) ˛˛ du2 (t) ˛˛ ` = 0 , u2 (0) = , =0 dt ˛t=0 2 dt ˛t=0 ω (1) = u1 (0) = 0 , A(1) √ cos(ω (1) t − θ(1) ) + 2 (1) A √ cos(ω (1) t − θ(1) ) − 2 r (exm13-1.2.5) (exm13-1.2.6) (exm13-1.2.7) (exm13-1.2.8) より u1 (t) = u2 (t) = ` 4 ` 4 “ ” cos(ω (1) t) − cos(ω (2) t) , “ ” cos(ω (1) t) + cos(ω (2) t) . (exm13-1.2.9) (exm13-1.2.10) あるいは x1 (t) = x2 (t) = ” `“ cos(ω (1) t) − cos(ω (2) t) , 4 ” `“ 2` + cos(ω (1) t) + cos(ω (2) t) . 4 `+ (exm13-1.2.11) (exm13-1.2.12) 【3】(35.1) より `= (35.3) より L 0.1 ' m = 10−3 m . N +1 100 m = Sρ` ' 10−4 104 10−3 kg = 10−3 kg . (exm13-1.2.13) (exm13-1.2.14) (36.17) より k= SE = 10−4 1011 /10−3 kg/s2 = 1010 kg/s2 . ` (exm13-1.2.15) 【4】 (1) 波は x 軸の負の向き に,v = 3 で進む。 4 (2) λ= π , 2 T = 2π . 3 (exm13-1.2.16) 【5】【問 43】と同様に考える: (1) “ ” “ ” “ ” “ ” u(x, t) = 2 sin k(2) x cos ω (2) t + 7 sin k(7) x cos ω (7) t . (exm13-1.3.1) (2) u(x, t) = = = “ ” “ ” “ ” “ ” 2 7 sin k(2) x sin ω (2) t + (7) sin k (7) x sin ω (7) t (2) ω ω “ ” “ ” “ ” “ ” 2 7 (2) (2) (7) (7) sin sin k x sin ω t + k x sin ω t vk(2) vk (7) “ ” “ ” “ ”” L “ “ (2) ” (2) sin k x sin ω t + sin k(7) x sin ω (7) t . vπ ここで, k(j) = 【6】【問 46】と同様に考える: u(x, t) = 1 2v Z x+vt x−vt π j, L ω (j) = vk(j) . 1 −(x+vt)4 1 −(x−vt)4 d −z4 e dz = e − e . dz 2v 2v (exm13-1.3.2) (exm13-1.3.3) (exm13-1.3.4)
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