2013年度試験問題と略解

現象の数学 B (2013 年度後期) 定期試験問題
28.01.2014
解答で，図に示された以外の座標を使う場合は，どう座標をとったかを書いて下さい。
.
【1】図 1 のように，質量 m の質点の左側にはばね定数 k1 ，自然長 `1 のばねが，
右側にはばね定数 k2 ，自然長 `2 のばねがつながれている。左側のばねの左端
k2 l 2
k1 l1 m
は x = 0 の位置にある壁に，右側のばねの右端は x = L の位置にある壁につ
x
ながれている。k1 = k , k2 = 3k ，`1 = 2` , `2 = `，L = 5` の場合に：
x (t )
O
(1) この質点の運動方程式を書きなさい。
L
図1
(2) 平衡点 x0 と，そのまわりの単振動の角振動数 ω を求めなさい。
【2】質量 m の２つの質点が，図 2 のように，自然長 `，ばね定数がそれぞれ k1 ，
k2 ，k3 のばねにつながれている。k1 = k3 = 2k , k2 = k の場合に：
k1 l
(1) ２つの質点の運動方程式を書きなさい。
k2 l
m
k3 l
x
(2) 初期条件
x1 (0) = ` ,
m
¯
dx1 (t) ¯¯
= 0,
dt ¯t=0
5
x2 (0) = ` ,
2
¯
dx2 (t) ¯¯
=0
dt ¯t=0
x (t)
O
x (t)
1
2
3l
図2
に対する解，x1 (t) , x2 (t) を求めなさい。
【3】図 3 に示すように，長さ L = 0.1m，断面積 S = 10−4 m2 ，密度 ρ = 104 kg/m3 ，
ヤング率 E = 1011 kg/(s2 m) の弾性体の棒を，ばね定数 k ，自然長 ` のばね
ρ, E
S
L
でつながれた N 個の質点でモデル化する。質点の質量は全て等しい ( m1 =
m2 = · · · = mN = m) とする。N = 100 の場合に，m, `, k の値をどう設定す
ればよいかを答えなさい。尚，N は大きいと考えて，N ± 1 ' N = 100 とみ
なしてかまいません。
k, l
m1
mN
m2
図3
【4】x と t の関数 u(x, t) = 3 sin(4x + 3t) は x 軸方向に一定の速度で進む正弦波を表す。
(1) 波の進む向き (x 軸の正の向きか，負の向きか) と波の速さ v を書きなさい。
(2) 波長 λ と周期 T を求めなさい。ここで，λ は u(x + λ, t) = u(x, t) となる最小の実数である。また，T は
u(x, t + T ) = u(x, t) となる最小の実数である。
【5】区間 (0, L) で固定端の境界条件に対する波動方程式，
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
= v2
,
2
∂t
∂x2
(0 < x < L),
u(0, t) = u(L, t) = 0 ,
を考える. ここで v > 0 は定数である。以下の初期条件に対する解を求めなさい：
¯
( 2π )
( 7π )
∂u(x, t) ¯¯
(1)
u(x, 0) = 2 sin L x + 7 sin L x ,
= 0.
∂t ¯t=0
¯
(
)
(
)
∂u(x, t) ¯¯
(2)
u(x, 0) = 0 ,
= 2 sin 2π
x + 7 sin 7π
x .
L
L
¯
∂t
t=0
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
= v2
, (−∞ < x < ∞)，を考える。ここで v > 0 は定数
2
∂t
∂x2
¯
)
(
∂u(x, t) ¯¯
d −x4
3 −x4
e
u(x, 0) = 0 ,
=
−4x
e
=
∂t ¯t=0
dx
【6】区間 (−∞ , ∞) での波動方程式，
である。初期条件
に対する解を求めなさい。
現象の数学 B (2013 年度後期) 定期試験略解
.
【1】
(1)
m
d2 x(t)
= −k1 (x(t) − `1 ) + k2 (L − x(t) − `2 ) = −4kx(t) + 14k` .
dt2
(2)
x0 =
k1 `1 + k2 (L − `2 )
7
= `,
k1 + k2
2
ω=
r
k1 + k2
=2
m
r
k
.
m
(exm13-1.2.1)
(exm13-1.2.2)
【2】
(1)
m
d2 x1 (t)
dt2
=
−k1 (x1 (t) − `) + k2 (x2 (t) − x1 (t) − `) = −3kx1 (t) + kx2 (t) + k`
=
−3ku1 (t) + ku2 (t) ,
=
−k2 (x2 (t) − x1 (t) − `) + k3 (2` − x2 (t)) = kx1 (t) − 3kx2 (t) + 5k`
=
−3ku2 (t) + ku1 (t) .
2
m
d x2 (t)
dt2
(exm13-1.2.3)
(exm13-1.2.4)
ただし，u1 (t) = x1 (t) − `，u2 (t) = x2 (t) − 2`
(2) (21.11)，(21.12) より一般解は
u1 (t)
=
u2 (t)
=
ただし
A(2)
√ cos(ω (2) t − θ(2) ) ,
2
(2)
A
√ cos(ω (2) t − θ(2) ) .
2
r
r
r
k1
2k
k1 + 2k2
k
=
, ω (2) =
=2
.
m
m
m
m
˛
˛
du1 (t) ˛˛
du2 (t) ˛˛
`
= 0 , u2 (0) = ,
=0
dt ˛t=0
2
dt ˛t=0
ω (1) =
u1 (0) = 0 ,
A(1)
√ cos(ω (1) t − θ(1) ) +
2
(1)
A
√ cos(ω (1) t − θ(1) ) −
2
r
(exm13-1.2.5)
(exm13-1.2.6)
(exm13-1.2.7)
(exm13-1.2.8)
より
u1 (t)
=
u2 (t)
=
`
4
`
4
“
”
cos(ω (1) t) − cos(ω (2) t) ,
“
”
cos(ω (1) t) + cos(ω (2) t) .
(exm13-1.2.9)
(exm13-1.2.10)
あるいは
x1 (t)
=
x2 (t)
=
”
`“
cos(ω (1) t) − cos(ω (2) t) ,
4
”
`“
2` +
cos(ω (1) t) + cos(ω (2) t) .
4
`+
(exm13-1.2.11)
(exm13-1.2.12)
【3】(35.1) より
`=
(35.3) より
L
0.1
'
m = 10−3 m .
N +1
100
m = Sρ` ' 10−4 104 10−3 kg = 10−3 kg .
(exm13-1.2.13)
(exm13-1.2.14)
(36.17) より
k=
SE
= 10−4 1011 /10−3 kg/s2 = 1010 kg/s2 .
`
(exm13-1.2.15)
【4】
(1) 波は x 軸の負の向きに，v =
3
で進む。
4
(2)
λ=
π
,
2
T =
2π
.
3
(exm13-1.2.16)
【5】【問 43】と同様に考える：
(1)
“
”
“
”
“
”
“
”
u(x, t) = 2 sin k(2) x cos ω (2) t + 7 sin k(7) x cos ω (7) t .
(exm13-1.3.1)
(2)
u(x, t)
=
=
=
“
”
“
”
“
”
“
”
2
7
sin k(2) x sin ω (2) t + (7) sin k (7) x sin ω (7) t
(2)
ω
ω
“
”
“
”
“
”
“
”
2
7
(2)
(2)
(7)
(7)
sin
sin
k
x
sin
ω
t
+
k
x
sin
ω
t
vk(2)
vk (7)
“
”
“
”
“
””
L “ “ (2) ”
(2)
sin k x sin ω t + sin k(7) x sin ω (7) t
.
vπ
ここで，
k(j) =
【6】【問 46】と同様に考える:
u(x, t) =
1
2v
Z
x+vt
x−vt
π
j,
L
ω (j) = vk(j) .
1 −(x+vt)4
1 −(x−vt)4
d −z4
e
dz =
e
−
e
.
dz
2v
2v
(exm13-1.3.2)
(exm13-1.3.3)
(exm13-1.3.4)

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