期末試験模範解答

力学 I 期末試験【解答】
【採点に際して】
① 解答に単位が無かった場合，単位が間違っていた場合，−3 点
② 解答のみ，もしくは，説明が足りないと思われる場合，−2～−5 点
③ 解答までたどり着かなくても，途中まで解答が書いてあれば，その都度加点します
問題 1 (運動摩擦力)【20 点】
図 1 のふたつのブロックが斜面を落下する加速度
a を求めよ．ブロック A と斜面の運動摩擦係数
µA=0.3，ブロック B と斜面の運動摩擦係数µB=0.15
である．mA= 2 kg，mB= 1 kg で，ふたつのブロッ
クをつなぐ糸の質量は無視せよ．
A
B
45°
図1
【解答】
糸の張力を S として，A, B それぞれについて運動方程式をたてる．
A : mAa = mA g sin θ + S − μ AmA g cos θ
B : mB a = mB g sin θ − S − μ B mB g cos θ
ふたつの運動方程式を足すと，
(mA + mB )a = (mA + mB )g sin θ − (μ AmA + μ B mB )g cos θ
∴ a = g sin θ −
μ A m A + μ B mB
g cos θ
m A + mB
= 9.8 × sin 45o −
0.3 × 2 + 0.15 × 1
× 9.8 × cos 45o
2 +1
= 6.93 − 1.73
= 5.2 m s 2
a = 5.2 m/s2 (答)
問題 2 (単振り子) 【配点 15 点】
単振り子の場合，重力加速度が 0.1 増すとその周期はどのくらい変わるかを求めよ．
【解答】
単振り子の周期 T は以下の式で表される．
T = 2π
l
g
重力加速度 g が 0.1 (10%)増すということは，重力加速度が g から 1.1g になるという意味である．
この時の周期 T’は，
T ' = 2π
l
であるので，T と T’の関係は
1.1g
T'
g
1
=
=
= 0.953
T
1.1g
1.1
∴ T ' = 0.953T となり，
T ' − T = 0.953T − T = −0.047T
よって，周期は 0.047T 減少する．(答)
3.0 m
問題 3 (仕事と力学的エネルギー保存則) 【20 点】
図 1 のように水平面と角 30°をなす滑り台の高さ 3.0 m のところから質量 m の物体を滑り落とす．下端
に達したときの速さ vf を
(1) 摩擦が無視できる場合
(2) 運動摩擦係数µ’=0.4 の場合
の 2 つの場合について計算せよ．
※有効数字は 3 桁で解答せよ．
図1
【解答】
(1) 力学的エネルギー保存則を用いる．
滑り落とす前： mgh (速度ゼロだから位置エネルギーのみ)
下端に達したとき：
∴ mgh =
1
2
mv f (位置エネルギーゼロで，vf の運動エネルギーを持つ)
2
(
)
1
2
mv f より， v f = 2 gh = 2 × 9.8 m / s 2 × 3(m ) = 7.67 (m / s ) (答)
2
(2) 「力学的エネルギーの変化 = 摩擦力がした仕事」と考えることができる．
1
2
mv f − mgh = − μ' mg cos θ d
2
1
2
mv f = mgh − μ' mg cos θ d
2
∴ v f = 2 gh − 2 μ' g cos θ d
ここで， d =
3
= 6 (m) となり，これを用いると，
sin 30
v f = 2 × 9.8 × 3 − 2 × 0.4 × 9.8 × cos 30 × 6
= 4.25 (m / s )
(答)
問題 4 (弾性衝突) 【15 点】
質量 mA, mB の小球 A, B をそれぞれ同じ長さ L の糸で点 O につるす．球 A を糸が水平になるまで引き
上げた後，静かに離して，A と B を衝突させた(図 4)．A と B は水平に弾性衝突した．
(1) 衝突直前の A の速さ vA を求めよ．
(2) 衝突直後の A の速さ vA’と B の速さ vB’を運動量保存則および力学的エネルギー保存則を用いて
導きなさい．
(3) 衝突後，球 A と B は同じ高さまで上昇した．mA と mB の関係を求めよ．
【解答】
(1) 力学的エネルギー保存則より，
1
m Av 2 = m A gL , ∴ v = 2 gL (答)
2
(2) 弾性衝突なので，力学的エネルギーと運動量保存則を用いて導くことができる．
m A − mB
m − mB
vA = A
m A + mB
m A + mB
2 gL
2m A
2m A
vB ' =
vA =
m A + mB
m A + mB
2 gL
v A' =
(答)
(3) 衝突後に同じ高さまで上昇したということは，衝突後の vA’と vB’は同じ大きさであり，向きが逆である
ということになる．
v A' = −vB '
m A − mB
m A + mB
2 gL = −
2m A
m A + mB
2 gL
m A − mB = −2m A
∴ 3m A = mB
問題 5 (運動量保存則と力学的エネルギー保存則)【15 点】
静止している質量 mB の球 B に質量 mA の球 A が速度 vA で正面から弾性衝突した(図 3)．衝突直
後の球 A, B の速度 vA’, vB’を，運動量保存則と運動エネルギー保存則を用いて求めよ．
【解答】
運動量保存則： mAv A = mAv A' + mB vB'
(*1)
2
2
1
1
1
運動エネルギー保存則： mAv A2 = mAv'A + mB v'B
2
2
2
(*2)
(*1), (*2)式より，
mA (v A − v A' ) = mB vB' , mA (v A − v A' )(v A + v A' ) = mB v'B と変形できるので，右側の式を左側の式で割ると，
2
v A + v A' = vB' (*3)が得られる．この式を(*1)式に代入すると，
m − mB
mAv A = mAv A' + mB (v A + v A' ), v A' (mA + mB ) = v A (mA − mB ), ∴ v A' = A
v A (答)
mA + mB
さらに， v A' の式を(*3)式に代入すると， vB' が得られる．
vB' = v A + v A' = v A +
mA − mB
m + mB + mA − mB
2m A
vA = A
vA =
v A (答)
mA + mB
mA + mB
mA + mB
問題 6 (モーメント)【配点 15 点】
(1) なめらかな水平板に小さな孔 O をあけ，糸を通し，一端に質量 m の小球 A を結んで板の上に
置き，他端 B を O の鉛直下で固定する(図 6)．小球 A に初速度を与えたところ，A は O を中
心として半径 l の円周上を角速度 ω で等速円運動した．このとき，A の角運動量 ω はいくらか．
糸の張力 T はいくらか．
(2) この状態で B を静かに l/2 だけ引き下げて固定した．この時 A は等速円運動しているが，角速
度 ω’ はいくらであるか．糸の張力 T ’ は T の何倍になるか．
図6
【解答】
(1) 角運動量： mvl，ここで，v=lω より，A の角運動量は，mvl = ml2ω (答)
また，この時の張力 T は，T = ma, a=lω2 より， T = mlω2 (答)
(2) 角運動量保存則を用いて解くことができる．
2
l
ml ω = m  ω' , ∴ ω' = 4ω
2
2
l
2
l
2
この時，T’ = ma’, a’ = l/2 ω’2 より， T ' = m ω' 2 = m (4ω)2 = 8mlω2
よって，糸の張力 T ’ は T の 8 倍になる．(答)

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