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第 3 回レポート問題解答例
作成平成 26 年 7 月 17 日
(1) 導体中の伝導電流はオームの法則より、ie   E で与えられる。一方、変位電流は、
今、角周波数 ω の正弦電磁波を考えると、 E (t )  E0 e
jt
山田博仁
D
E
である。

t
t
と表されるので、伝導電流は、ie   E0 e jt 。
D
 j E0 e jt と表される。通常の金属のような導体では、導電率 σ の値は σ ~ 107
t
一方、変位電流は、
(S/m)であり、誘電率 ε は ε ~ 10-10 (F/m)である。従って、マイクロ波帯においても ω の値は ω ~ 2π×1010
(s-1) であるから、σ >> εω の関係が成り立っている。従って、低周波においては勿論、導体中の伝導電流
に比べて変位電流を無視できる。
(2) Faraday の電磁誘導の式 rot E  
rot(rot E )  rot
B
の両辺の rotation をとると、
t
B

 H 
 rot 
   rotH  (1) となる。導体中では、伝導電流に比べて変
t
t
 t 
位電流が無視できるので、Ampere-Maxwell の式は、 rot H  ie と近似できる。これを式(1)の右辺に代入
し、左辺に対しては与えられたベクトル公式(1B)を適用すると、式(1)は、
grad (divE )  E  


E
となる。ここで右辺に対してオームの法則 ie   E
ie    E  
t
t
t
を用いた。導体中には真電荷 e は存在しない(導体表面に現れることはある)ので、div E  0 であり、従
って式(1)の左辺は  E となる。従って、最終的に式(1)は E  
法則より E 
ie

であるから、これを式(1’)に代入すると、 ie  
電流も角周波数 ω の正弦波電流と考えると、 ie  i e
jt
E
t
ie
t
 (1' ) となる。オームの
 (1" ) が得られる。伝導
で与えられるから、これを式(1”)に代入すると、
式(1A) i  j i  0 が得られる。
(3) 導体中を流れる電流として、 ie ( x, t )  i ( x)e
jt
で与えられる正弦波電流を仮定し、式(1A)に代入すると、
2
i ( x)  j i ( x) となり、従って、 i ( x)  i0e 
2
x
j x

x
 i0 e  e

jx

となる。ただし、  
2


。ここ
x
で、復号の  の方は、x に対して増大して発散するので無意味な解である。従って、 i ( x)  i0 e  e

jx

で
与えられる。
(4) 導体内を流れる正弦波電流は、 ie ( x, t )  i ( x)e
表面から内部に向けて指数関数 e

jt

x
 i0 e  e

jx


x
e jt  i0e  e
x

j  t  


で与えられ、その振幅は
x
で減衰していく。導体内で発生するジュール熱は、 P 

1

2
ie で与
えられるから、単位時間あたりに導体表面から深さ X0 までの導体中に発生する単位面積あたりのジュー
ル熱は、 Q 

X0
0
1

ie dx 
2
(5) 単位幅あたりの電流は、I 
i02



0

X0
0

e

2x

dx 

i02  
1  e

 2
2 X0


i02


2 3

2X
 0 

1  e   となる。




x
i0e  dx  i0 であり、これが一定ということは、i0 は  に反比例、即ち 
に比例する。ジュール熱を表す式は問(4)で導いたように i0 に比例し、  に反比例する。従って、導
2
体中に発生するジュール熱は  に比例する。

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