演習問題10および略解

ベクトル解析演習問題 10
2014 年度前期
工学部・未来科学部 2 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) 提出期限は次回の講義の開始前迄とします。
問題 10-1.
xyz 空間内の三角形
S : 2x + 3y + 6z = 6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 を曲面と見做し、単位法ベクトル
 
2

1
場n= 
3

 により向き付ける。このとき以下の設問に答えなさい。
7
6
(1) S のパラメータ u, v によるパラメータ表示 r(u, v) を一つ求めなさい (パラメータ u, v が取
り得る範囲も明記すること)。
(2) 上記のパラメータ表示に於いて r u (u, v) × r v (u, v) を計算しなさい。特に、n は
r u (u, v) × r v (u, v)
±
のどちらであるかを答えなさい。
|r u (u,∫v) × r v (u, v)|
3x2 y dS を計算しなさい。
S


1−z
∫


 に対して面積分
(4) ベクトル場 A(x, y, z) = 
A · dS を計算しなさい (S の向
xy


S
x + 2y + 3z
きに注意すること)。
(3) 面積分
問題 10-2.



u cos θ


常螺線面 S : r(u, θ) = 
 u sin θ  (但し 0 ≤ u ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π) を、 z 成分が常に負となるよう
aθ
な単位法ベクトル場 n で向き付ける。このとき以下の設問に答えなさい。
(1) r u (u, θ) × r θ (u, θ) を計算しなさい。特に、n(r(u, θ)) は ±
あるかを答えなさい。
∫
(2) 面積分
∫S
r u (u, θ) × r θ (u, θ)
のどちらで
|r u (u, θ) × r θ (u, θ)|
yz dS を計算しなさい。
{z dydz + (x2 + y 2 ) dzdx − xy dxdy} を計算しなさい (S の向きに注意すること)。
(3) 面積分
S
1
【略解】
問題 10-1.
1
1
(1) 例えば S 上の点の x 座標を u, y 座標を v とすると、z 座標は z = 1 − u − v と求まる。
3
2
したがって


r(u, v) = 


u
v
1
1
1− u− v
3
2






x(u, v)
= y(u, v) とおこう
z(u, v)

は S の一つのパラメータ表示を与える。
パラメータ u, v の動く範囲は、r(u, v) の x 成分、y 成分、z 成分がそれぞれ 0 以上であるこ
とが u, v に課せられた条件となるから
1
1
1− u− v ≥0
3
2
∴ u ≥ 0, v ≥ 0, 2u + 3v ≤ 6
u ≥ 0,
v ≥ 0,
となる (図示すると下図の斜線部 D の様になる)。
v
2
D

3
O


1
u

0




 0 
 1 


 であるから

(2) r u (u, v) = 
, r v (u, v) = 

 1
 1
−
−
3
2
 
1
 

1
0
 
 0   1  3


1


r u (u, v) × r v (u, v) = 
×
 =  .
2
1
1
−
−
3
2
1

特に r u (u, v) × r v (u, v) も n も各成分が正であるから
n=
r u (u, v) × r v (u, v)
|r u (u, v) × r v (u, v)|
であることが分かる*1 。
*1
勿論 ±
r u (u, v) × r v (u, v)
を具体的に計算して n と比較しても構いません。
|r u (u, v) × r v (u, v)|
2
7
であるから、
6
∫
∫∫
3x2 y dS =
3x(u, v)2 y(u, v)|r u (u, v) × r v (u, v)| dudv
S
D
)
∫ u=3 (∫ v=2− 23 u
7
=
3u2 v · dv du
6
u=0
v=0
]v=2− 23 u
(
)2
∫ u=3 [
∫
1 2 2
7
7 u=3 1 2
2
=
u v
du =
u 2− u
du
2 u=0 2
2 u=0 2
3
v=0
(
)
∫
7 u=3 4 4 8 3
2
=
u − u + 4u
du
4 u=0
9
3
]u=3
[
63
7 4 5 2 4 4 3
=
u − u + u
.
=
4 45
3
3
10
u=0
(3) |r u (u, v) × r v (u, v)| =
(4) n と r u (u, v) × r v (u, v) は同じ向きだから、


∫
∫∫
1 − z(u, v)

 · r u (u, v) × r v (u, v) dudv
x(u, v)y(u, v)
A · dr =
S
D
x(u, v) + 2y(u, v) + 3z(u, v)
) 
(

 
1
1
1
1− 1− u− v


3
2

∫∫ 
 3

 1
uv
=
dudv

· 
  
(
)
D

2

1
1 
u + 2v + 3 1 − u − v
1
3
2
)
(
) }
∫ ∫ {(
1
1
1
1
1
=
u + v · + uv · +
v + 3 · 1 dudv
3
2
3
2
2
D
)
) )
∫ u=3 (∫ v=2− 23 u ((
2
1
1
u+
v + u + 3 dv du
=
2
3
9
u=0
v=0
)
(
) ]v=2− 23 u
∫ u=3 [ (
1 1
2
1
2
=
u+
v +
u+3 v
du
2 2
3
9
u=0
v=0
)
∫ u=3 (
1 3 16 2 5
22
=
u − u − u+
du
9
27
3
3
u=0
[
]u=3
1 4 16 3 5 2 22
=
u − u − u + u
36
81
6
3 u=0
137
=
.
12
【解説】
三角形上の面積分の問題。本設問に関しては、とにかく (1) のパラメータ表示の出来が非常に悪
かったです!! とくに平面のパラメータ表示なのに


R cos v
r(u, v) =  R sin v 
u
3
のように三角関数の入ったパラメータ表示を答えている人が結構多かったのは何故なのかいまだに分
かりません (円柱?)。三角形と言えども所詮は平面の一部であり、平面のパラメータ表示は 1 年次
の線形代数学Ⅰ で既に学習済みの項目です!!! 上記の様な酷い間違いをした人はよく反省して、平面
のパラメータ表示の仕方をもう一度復習して下さい。
次に多かったのがパラメータの範囲が正しくない人です。特に多くの人が「0 ≤ u ≤ 1,
0 ≤ v ≤ 1」としていましたが、問題文を良く読むと x, y, z について「x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0」とわざ
わざ条件を書いているのだから、
平面のパラメータ表示の x, y, z 成分がそれぞれ 0 以上である
ことがパラメータ表示に課せられた条件となります。したがって、
【略解】のようにパラメータをとっ
たのであれば
u ≥ 0,
v ≥ 0,
1
1
1− u− v ≥0
3
2
が正しい (u, v) の動く範囲となります。パラメータ表示に於いてパラメータが動く範囲は、この問題
の様に殆どの場合問題文に明確に条件が書かれています。問題文を良く読んで、条件を見落とさな
い様にしましょう。
(2) 以降に関しては、(4) を除いて割合良く出来ていました ((4) は計算がしんど過ぎましたね。す
みません)。ただ、(1) でパラメータ表示やパラメータの動く範囲を間違えてしまったがために、折角
面積分の計算式はあっていて計算も正しいのに誤答となってしまっている人も多かったです。この様
な問題ははじめの一歩が肝心です。特にパラメータ表示を自分で求める問題では、細心の注意を払っ
て正しいパラメータ表示を求めることに全力を尽くしましょう。
問題 10-2.

 

u cos θ
x(u, θ)
r(u, θ) =  u sin θ  = y(u, θ)
aθ
z(u, θ)
と表すことにする。




cos θ
−u sin θ




, r θ (u, θ) =  u cos θ  であるから
(1) r u (u, θ) = 
sin
θ




0
a

 
 

cos θ
−u sin θ
a sin θ
r u (u, θ) × r θ (u, θ) =  sin θ  ×  u cos θ  = −a cos θ .
0
a
u
よって r u (u, θ) × r θ (u, θ) の z 成分は常に u ≥ 0 であるが、他方 n(r(u, θ)) の z 成分は問
題文の仮定から常に負であるので
n(r(u, θ)) = −
であることが分かる。
4
r u (u, θ) × r θ (u, θ)
|r u (u, θ) × r θ (u, θ)|
(2) |r u (t, θ) × r θ (u, θ)| =
∫
∫
√
u2 + a2 であるから、
u=R
∫
θ=2π
y(u, θ)z(u, θ)|r u (u, θ) × r θ (u, θ)| dθdu
yz dS =
S
u=0
∫ u=R
θ=0
∫ θ=2π
√
(u sin θ)(aθ) u2 + a2 dθdu
u=0
θ=0
(∫
)
∫ u=R √
θ=2π
d
=
au u2 + a2
θ · (− cos θ) dθ du
dθ
u=0
θ=0
)
(
∫ u=R √
∫ θ=2π
θ=2π
2
2
au u + a [−θ cos θ]θ=0 −
(− cos θ) dθ du
=
=
u=0
∫
θ=0
√
1 d 2
= −2πa
u 2 + a2 ·
(u + a2 ) du
2
du
u=0
[
]u=R
2 2
2 32
= −πa (u + a )
3
u=0
√
3
2
= − πa( R2 + a2 − a3 ).
3
u=R
(3) n(r(u, θ)) と r u (u, θ) × r θ (u, θ) は逆向きだから、


∫
∫
z
(x2 + y 2 ) · dS
{z dydz+(x2 + y 2 ) dzdx − xy dxdy} =
S
S
−xy


∫ u=R ∫ θ=2π
z(u, θ)
x(u, θ)2 + y(u, θ)2  · (−r u (u, θ) × r θ (u, θ)) dθdu
=
u=0
θ=0
−x(u, θ)y(u, θ)

 

∫ u=R ∫ θ=2π
aθ
−a sin θ

 ·  a cos θ  dθdu
u2
=
2
u=0
θ=0
−u cos θ sin θ
−u
)
∫ u=R ∫ θ=2π (
1 3
2
2
=
−a θ sin θ + au cos θ + u sin 2θ dθdu
2
u=0
θ=0
]θ=2π
∫ u=R [
1 3
2
2
2
du
=
a θ cos θ − a sin θ + au sin θ − u cos 2θ
4
u=0
θ=0
∫ u=R
=
2πa2 du = 2πa2 R.
u=0
【解説】常螺線面上の面積分の問題。レポート問題では大分おなじみになってきた常螺線面です
ので、(1) の計算は正しく出来ている人が多かったです。(2), (3) に関しても、殆ど公式に当て嵌め
て計算するだけですが、
(2) に関しては u に関しての置換積分と θ に関しての部分積分
(3) に関しては θ に関しての部分積分
が登場するので、問題 10-1. と比べると積分計算自体の難易度は若干向上しています。
線積分、面積分と言っても所詮はパラメータごとに積分計算をするわけですから、1 変数関数の
積分法で登場したテクニック (置換積分法、部分積分法) は当たり前の様に登場します。置換積分法
5
や部分積分法に自信が無い人は、是非とも今のうちに 1 年次に学んだ積分法のテクニックを復習して
おいて下さい。
最後に、やはりスカラー場の面積分で
√
r u (u, θ) × r θ (u, θ) を掛けていなかったり、ベクトル場
の面積分で −r u (u, θ) × r θ (u, θ) ではなくて +r u (u, θ) × r θ (u, θ) を用いている答案など、面積分の
計算方法自体があまり分かっていないと思われるものが散見されました。該当者の方は先ずは面積分
のパラメータ表示を用いた計算方法をきちんと復習しよう。
6

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