解析学 D 演習問題 No.5 定義. D = 2014.11.7 ∑ ∑ d aj tj に対して p(D) = aj Dj とする. とする. C 係数多項式 p(t) = dx 0≤j≤n 0≤j≤n 以下で f : R → C は C ∞ 級とする. 20. 以下を示せ. ∫ b (∫ s ) ∫ b (∫ b ) F (s, t)ds dt. F (s, t)dt ds = (1) F : R2 → C が連続, a < b ならば a t ∫ xa ∫ xa d ∂F (2) F : R2 → C が C 1 級ならば F (x, s)ds = F (x, x) + (x, s)ds. dx a a ∂x ∫ x ∑ aj (x − s)m−1 j m j (3) m ∈ N, a ∈ R, D y = f, aj = (D y)(a) ならば y(x) = (x−a) + f (s)ds. j! (m − 1)! a 0≤j≤m−1 (4) m ∈ N, b ∈ C ならば (D − b)m y(x) = ebx Dm (e−bx y(x)). (5) m ∈ N, b ∈ C ならば (D − b)m (ebx y(x)) = ebx Dm y(x). ∫ x (x − s)m−1 b(x−s) e f (s)ds. (m − 1)! (6) m ∈ N, b ∈ C, (D−b) y = f, (D y)(a) = 0 (0 ≤ j ≤ m−1) ならば y(x) = a ∫ x (x − s)m−1 b(x−s) (7) m ∈ N, b ∈ C, y(x) = e f (s)ds ならば (D − b)m y = f, (Dj y)(a) = 0. (m − 1)! a ∏ ∑ bj,k 1 21. p(t) = (t − aj )mj , (aj ∈ C, mj ∈ N, aj ̸= ak (j ̸= k)), = p(t) 1≤j≤n, 1≤k≤m (t − aj )k 1≤j≤n m j j (bj,k ∈ C) とする. 以下を示せ. (注) 多項式 q に対し q(D)y = f のとき y = 1 f と書く. q(D) ∑ p(t) k , y = p (D)y ならば (D−a ) y = f, y = bj,k yj,k . j,k j,k j j,k (t − aj )k 1≤j≤n, 1≤k≤mj ∑ bj,k 1 1 記号 で書けば f= f. k p(D) p(D) (D − a j) 1≤j≤n, 1≤k≤mj ∑ k (2) zj,k が (D − aj ) zj,k = f の解ならば y = bj,k zj,k は p(D)y = f の解である. (1) p(D)y = f, pj,k (t) = (3) y(x) = ∑ 1≤j≤n, 1≤k≤mj 22. (1) (2) (3) ∫ bj,k a 1≤j≤n, 1≤k≤mj x (x − s)k−1 aj (x−s) e f (s)ds ならば p(D)y = f . (k − 1)! p は多項式とする. 以下を示せ. a ∈ C ならば p(D)eax = p(a)eax . p(i) = p(−i) ならば p(D) sin x =∑ p(i) sin x. m+1 m ∈ N, (p(D)) f = 0, y = p(D)j f ならば (1 − p(D))y = f . 0≤j≤m (4) m ∈ N, a ∈ C ならば Dm (eax y(x)) = eax (D + a)m (y(x)). (5) a ∈ C ならば p(D)(eax y(x)) = eax p(D + a)y(x). 配布済演習問題は以下に在ります。 http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/ 解析学 D 演習問題 No.6 2014.11.7 23. aj ∈ C (1 ≤ j ≤ n) とする. 方程式 xn y (n) + ∑ aj xn−j y (n−j) = f (x) を考える. 1≤j≤n gm (t) = t(t − 1) · · · (t − m + 1) (m ∈ N), g0 (t) = 1, g(t) = gn (t) + ∑ aj gn−j (t) とする. 1≤j≤n d d Dx = , Dt = とする. 以下を示せ. dx dt ∑ (1) y は xn y (n) + aj xn−j y (n−j) = f (x) の解とする. このとき z(t) = y(et ), x = et , m ∈ N なら 1≤j≤n ば xm (Dxm y)(x) = gm (Dt )z(t), g(Dt )z(t) = f (et ) である. (2) z は g(Dt )z(t) = f (et ) の解, y(x) = z(log x) (x > 0) とする. このとき ∑ m m n (n) x (Dx y)(x) = (gm (Dt )z)(log x), x y + aj xn−j y (n−j) = f (x) である. 1≤j≤n (3) g(t) = 0 の互いに異なる根を b1 , . . . , bk , その重複度を∑ m1 , . . . , mk とする. このとき bp (log x) j n (n) aj xn−j y (n−j) = 0 の解である. e (log x) (1 ≤ p ≤ k, 0 ≤ j ≤ mp − 1) は x y + 1≤j≤n d 24. D = とする. 以下の p, f について, 方程式 p(x, D)y(x) = f (x) の非自明解を一つ求めよ. dx (1) p(x, t) = x2 t2 + xt, f (x) = sin x (2) p(x, t) = x2 t2 − xt + 1, f (x) = 0 (3) p(x, t) = x2 t2 − 3xt + 4, f (x) = 0 (4) p(x, t) = x2 t2 + 3xt + 1, f (x) = 0 (5) p(x, t) = x2 t2 + 5xt + 4, f (x) = 0 (6) p(x, t) = x2 t2 + 7xt + 9, f (x) = 0 (7) p(x, t) = x2 t2 − 5xt + 9, f (x) = 0 (8) p(x, t) = x2 t2 + 9xt + 16, f (x) = 0 (9) p(x, t) = x2 t2 − 7xt + 16, f (x) = 0 (10) p(x, t) = x2 t2 + xt + 1, f (x) = sin x (11) p(x, t) = x2 t2 − 5xt + 3, f (x) = cos x (12) p(x, t) = x2 t2 + 2xt + 3, f (x) = sin x (13) p(x, t) = x2 t2 + 2xt − 3, f (x) = x2 log x (14) p(x, t) = x3 t3 + 2x2 t2 + 1, f (x) = x2 + x + 1 (15) p(x, t) = x3 t3 − 2xt + 2, f (x) = log x (16) p(x, t) = x3 t3 + 3x2 t2 + xt, f (x) = sin x (17) p(x, t) = x3 t3 + xt − 1, f (x) = 0 (18) p(x, t) = x3 t3 + 6x2 t2 + 7xt + 1, f (x) = 0 (19) p(x, t) = x3 t3 − 3x2 t2 + 7xt − 8, f (x) = 0 (20) p(x, t) = x3 t3 + 9x2 t2 + 19xt + 8, f (x) = 0 (21) p(x, t) = x3 t3 + 7x2 t2 + 10xt + 2, f (x) = 0 (22) p(x, t) = x3 t3 + 2x2 t2 − xt + 1, f (x) = 0 (23) p(x, t) = x3 t3 − x2 t2 + 2xt − 2, f (x) = 0
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