解析学D演習問題 No.5

解析学 D 演習問題 No.5
定義. D =
2014.11.7
∑
∑
d
aj tj に対して p(D) =
aj Dj とする.
とする. C 係数多項式 p(t) =
dx
0≤j≤n
0≤j≤n
以下で f : R → C は C ∞ 級とする.
20. 以下を示せ.
∫ b (∫
s
)
∫ b (∫
b
)
F (s, t)ds dt.
F (s, t)dt ds =
(1) F : R2 → C が連続, a < b ならば
a
t
∫ xa
∫ xa
d
∂F
(2) F : R2 → C が C 1 級ならば
F (x, s)ds = F (x, x) +
(x, s)ds.
dx a
a ∂x
∫ x
∑ aj
(x − s)m−1
j
m
j
(3) m ∈ N, a ∈ R, D y = f, aj = (D y)(a) ならば y(x) =
(x−a) +
f (s)ds.
j!
(m
−
1)!
a
0≤j≤m−1
(4) m ∈ N, b ∈ C ならば (D − b)m y(x) = ebx Dm (e−bx y(x)).
(5) m ∈ N, b ∈ C ならば (D − b)m (ebx y(x)) = ebx Dm y(x).
∫
x
(x − s)m−1 b(x−s)
e
f (s)ds.
(m − 1)!
(6) m ∈ N, b ∈ C, (D−b) y = f, (D y)(a) = 0 (0 ≤ j ≤ m−1) ならば y(x) =
a
∫ x
(x − s)m−1 b(x−s)
(7) m ∈ N, b ∈ C, y(x) =
e
f (s)ds ならば (D − b)m y = f, (Dj y)(a) = 0.
(m
−
1)!
a
∏
∑
bj,k
1
21. p(t) =
(t − aj )mj , (aj ∈ C, mj ∈ N, aj ̸= ak (j ̸= k)),
=
p(t) 1≤j≤n, 1≤k≤m (t − aj )k
1≤j≤n
m
j
j
(bj,k ∈ C) とする. 以下を示せ.
(注) 多項式 q に対し q(D)y = f のとき y =
1
f と書く.
q(D)
∑
p(t)
k
,
y
=
p
(D)y
ならば
(D−a
)
y
=
f,
y
=
bj,k yj,k .
j,k
j,k
j
j,k
(t − aj )k
1≤j≤n, 1≤k≤mj
∑
bj,k
1
1
記号
で書けば
f=
f.
k
p(D)
p(D)
(D
−
a
j)
1≤j≤n, 1≤k≤mj
∑
k
(2) zj,k が (D − aj ) zj,k = f の解ならば y =
bj,k zj,k は p(D)y = f の解である.
(1) p(D)y = f, pj,k (t) =
(3) y(x) =
∑
1≤j≤n, 1≤k≤mj
22.
(1)
(2)
(3)
∫
bj,k
a
1≤j≤n, 1≤k≤mj
x
(x − s)k−1 aj (x−s)
e
f (s)ds ならば p(D)y = f .
(k − 1)!
p は多項式とする. 以下を示せ.
a ∈ C ならば p(D)eax = p(a)eax .
p(i) = p(−i) ならば p(D) sin x =∑
p(i) sin x.
m+1
m ∈ N, (p(D))
f = 0, y =
p(D)j f ならば (1 − p(D))y = f .
0≤j≤m
(4) m ∈ N, a ∈ C ならば Dm (eax y(x)) = eax (D + a)m (y(x)).
(5) a ∈ C ならば p(D)(eax y(x)) = eax p(D + a)y(x).
配布済演習問題は以下に在ります。
http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
解析学 D 演習問題 No.6
2014.11.7
23. aj ∈ C (1 ≤ j ≤ n) とする. 方程式 xn y (n) +
∑
aj xn−j y (n−j) = f (x) を考える.
1≤j≤n
gm (t) = t(t − 1) · · · (t − m + 1) (m ∈ N), g0 (t) = 1, g(t) = gn (t) +
∑
aj gn−j (t) とする.
1≤j≤n
d
d
Dx =
, Dt =
とする. 以下を示せ.
dx
dt ∑
(1) y は xn y (n) +
aj xn−j y (n−j) = f (x) の解とする. このとき z(t) = y(et ), x = et , m ∈ N なら
1≤j≤n
ば xm (Dxm y)(x) = gm (Dt )z(t), g(Dt )z(t) = f (et ) である.
(2) z は g(Dt )z(t) = f (et ) の解, y(x) = z(log
x) (x > 0) とする. このとき
∑
m
m
n (n)
x (Dx y)(x) = (gm (Dt )z)(log x), x y +
aj xn−j y (n−j) = f (x) である.
1≤j≤n
(3) g(t) = 0 の互いに異なる根を b1 , . . . , bk , その重複度を∑
m1 , . . . , mk とする. このとき
bp (log x)
j
n (n)
aj xn−j y (n−j) = 0 の解である.
e
(log x) (1 ≤ p ≤ k, 0 ≤ j ≤ mp − 1) は x y +
1≤j≤n
d
24. D =
とする. 以下の p, f について, 方程式 p(x, D)y(x) = f (x) の非自明解を一つ求めよ.
dx
(1) p(x, t) = x2 t2 + xt, f (x) = sin x
(2) p(x, t) = x2 t2 − xt + 1, f (x) = 0
(3) p(x, t) = x2 t2 − 3xt + 4, f (x) = 0
(4) p(x, t) = x2 t2 + 3xt + 1, f (x) = 0
(5) p(x, t) = x2 t2 + 5xt + 4, f (x) = 0
(6) p(x, t) = x2 t2 + 7xt + 9, f (x) = 0
(7) p(x, t) = x2 t2 − 5xt + 9, f (x) = 0
(8) p(x, t) = x2 t2 + 9xt + 16, f (x) = 0
(9) p(x, t) = x2 t2 − 7xt + 16, f (x) = 0
(10) p(x, t) = x2 t2 + xt + 1, f (x) = sin x
(11) p(x, t) = x2 t2 − 5xt + 3, f (x) = cos x
(12) p(x, t) = x2 t2 + 2xt + 3, f (x) = sin x
(13) p(x, t) = x2 t2 + 2xt − 3, f (x) = x2 log x
(14) p(x, t) = x3 t3 + 2x2 t2 + 1, f (x) = x2 + x + 1
(15) p(x, t) = x3 t3 − 2xt + 2, f (x) = log x
(16) p(x, t) = x3 t3 + 3x2 t2 + xt, f (x) = sin x
(17) p(x, t) = x3 t3 + xt − 1, f (x) = 0
(18) p(x, t) = x3 t3 + 6x2 t2 + 7xt + 1, f (x) = 0
(19) p(x, t) = x3 t3 − 3x2 t2 + 7xt − 8, f (x) = 0
(20) p(x, t) = x3 t3 + 9x2 t2 + 19xt + 8, f (x) = 0
(21) p(x, t) = x3 t3 + 7x2 t2 + 10xt + 2, f (x) = 0
(22) p(x, t) = x3 t3 + 2x2 t2 − xt + 1, f (x) = 0
(23) p(x, t) = x3 t3 − x2 t2 + 2xt − 2, f (x) = 0

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