演習3解答

2014 年度
複素関数 I
2014/05/26
第 3 回レポート課題
学籍番号：
氏名：
複素関数 f z   3x  y  x y i が正則であるかを調べ，正則でない場合は微分可能な条件を求めよ。
1.
2


u  3 x2  y2 ,
2
2 2
v  x 2 y 2 として
u
u
v
v
 6 x,
 6 y,
 2 xy 2 ,
 2 x 2 y,
x
y
x
y
コーシー・リーマンの方程式より，
6 x  2 x 2 y,
2 xxy  3  0,
6 y  2 xy 2
2 y xy  3  0
よって，f z は正則でないが，
x  y  0 かxy  3 のとき微分可能である。
2.
複素関数 f z   2e  y cos x  i sin x が正則であるかを調べ，正則でない場合は微分可能な条件を求めよ。
u  2e  y cos x,
v  2e  y sin x として
u
u
v
v
 2e  y sin x,
 2e  y cos x,
 2e  y cos x,
 2e  y sin x,
x
y
x
y
コーシー・リーマンの方程式より，
 2e  y sin x  2e  y sin x,
よって，f z は正則である。
3.

2e  y cos x   2e  y cos x

極形式表示を用いた場合のコーシー・リーマンの方程式を示せ。
極形式表示 x  r cos , y  r sin 
コーシー・リーマンの方程式の直交座標表示より，
x, y は r と に応じ，て変化するので，
x
x
y
y
 cos ,
 r sin  ,
 sin  ,
 r cos
r

r

u u x u y u
u



cos 
sin 
r x r y r x
y
u u x u y u
 r sin    u r cos



 x  y  x
y
v v
v

cos  sin 
r x
y
v v
 r sin    v r cos

 x
y
u v u
v

,

なので1は
x y y
x
u v
v

cos  sin 
r y
x
1
4 / r を求めると
2
1 v
v
v
u 1 v
  sin   cos となるので， 
r 
x
y
r r 
3
4
3は，
同様に，
v u
 cos   u sin 

r y
x
2 /  r を求めると

1 u u
u
v
1 u

sin  
cos となるので，  
r  x
y
r
r 
以上より，コーシー・リーマンの方程式の極形式表示は，
u 1 v

r r 
4.
v
1 u

r
r 
複素関数 f z   x 2  pxy  qy 2  irx 2  ssxy  y 2  が正則であるための実数定数 p, q, r, s を求めよ。
u  x 2  pxy  qy 2 ,
v  rx 2  sxy  y 2 として
u
u
v
v
 2 x  py,
 px  2qy,
 2rx  sy ,
 sx  2 y,
x
y
x
y
コーシー・リーマンの方程式より，
2 x  py  sx  2 y, px  2qy  2rx  sy 
よって
2  s,
p  2,
p  2r  2,
p2
q  1
r  1
2q   s  2
s2
提出日時：2014 年 6 月 2 日(月)
12：15 (=次回の講義が始まるまで) 提出場所：3A402

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