T - DTI

人
人工
工衛
衛星
星の
の軌
軌道
道
変数・定数横目
万有引⼒定数（ G ）
地球の質量（ M ）
衛星の質量（ m ）
地球の半径（ R ）
地球の中心から衛星までの距離＝動径（ r ）
真近点角（ θ ）
離心近点角（ E ）
平均近点角（ M ）
衛星の打上げ地点の緯度（ λ ）
衛星の打上げ地点の経度（ κ ）
衛星の打上げ方位角（ χ ）
衛星の打上げ仰角（ φ ）
衛星軌道の半直弦（ l ）
衛星軌道の離心率（ e ）
衛星軌道の⻑半径（ a ）
衛星軌道の短半径（ b ）
地球の自転周期（
pe ）
衛星の軌道周期（ p s ）
衛星の打上げ速度（ v 0 ）
衛星の打上げ時点の地球の中心から衛星までの距離＝動径（ r0 ）
軌道傾斜角（ ι ）
昇交点赤経（ Ω ）
近地点離角（ ω ）
近点距離（ q ）
遠点距離（ Q ）
任意時点における衛星の位置（ xt
yt ）
任意位置（動径）における衛星の速度（ vt ）
任意遠点距離を創出する衛星の打上げ速度（ vQ ）
軌道傾斜角を変更するために必要な速度（ vT ）
任意時点の⾶⾏経路角（仰角）（ φ t ）
任意時点の⾶⾏方位角（ χ t ）
地球の自転速度（ v e ）
地球の自転速度を反映した衛星の打上げ速度（ v1 ）
1/8
運動方程式
直交座標
d 2x
GMmx
m 2 =−
：x軸方向成分
dt
r3
d2y
GMmy
m 2 =−
：y軸方向成分
dt
r3
極座標
 d 2r
dθ 
GMm
m 2 − r ( ) 2  = − 2 ：動径方向成分
dt 
r
 dt
 1 d 2 dθ 
m
(r
)  = 0 ：方位角方向成分
dt 
 r dt
軌道方程式
r=
l
：α = 積分定数
1 + e cos(θ + α )
半直弦
l=
(r0 v0 cos φ ) 2
GM
，
l = r (1 + e cos(θ + α ) ) ， l =
b2
a
離心率
l

 − 1 ⋅
r0
 ：　1 =
e=
cos α
cos α
e=
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
l − r0
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
r0
楕円
e=
a2 − b2
：　0 < e <1
a
双曲線
e=
a2 + b2
：　1< e
a
放物線
e =1
2/8
⻑半径
楕円
a=
l
1− e2
双曲線
a=
l
e −1
2
放物線
a=∞
短半径
楕円
b=
l
1− e2
双曲線
b=
l
e2 −1
放物線
b=∞
軌道周期
ps =
4π 2 a 3
GM
軌道傾斜角
ι = cos −1 (cos χ cos λ )
昇交点赤経


sin λ
 + κ　：　χ = 0 ~ 180 or　χ = −180 ~ −360
Ω = tan −1 
 − tan χ cos λ 


sin λ
Ω = tan −1 
 + κ − 180 ：　χ = 180 ~ 360 or　χ = 0 ~ −180
 − tan χ cos λ 
3/8
近地点離角
二次元近地点を後述の三次元回転行列により三次元近地点へ変換する。
X = q sin ω cos ι cos Ω + q cos ω sin Ω
Y = q sin ω sin ι
Z = − q sin ω cos ι sin Ω + q cos ω cos Ω
Y
q sin λ sin λ
=
=
sin ω =
q sin ι q sin ι
sin ι
 sin λ 
 ：　λ = 0～90度、ι = 0～90度
 sin ι 
 sin λ 
ω = 180 − sin −1 
 ：　λ = −90～90度、ι = 90～180度
 sin ι 
ω = sin −1 
 sin λ 
 ：　λ = 0～ − 90度、ι = 0～90度
 sin ι 
ω = 360 + sin −1 
近点距離
q = r0
遠点距離
Q = 2a − r0 = 2a − q
任意時点における衛星の位置
二次元位置(焦点基準 )
xt = a cos Et − ae
yt = b sin Et
ケプラー方程式
E − e sin E =
2π
t = M　：　t = 元期からの経過時間(秒 )
Ps
Newton - Raphson methodによりEの近似解を求める
f (E ) = M − E + e sin E = 0
f ' (E ) = e cos E − 1
Et = E n +1 = E n −
M t − E n + e sin E n
2π
：　M t =
t , E0 = 初期値
e cos E n − 1
Ps
4/8
三次元位置
二次元位置を次の回転行列により算出する
 X t   cos Ω 0 sin Ω  cos ι − sin ι 0  cos ω 0 sin ω   y t 
Y  =  0
1
0   sin ι cos ι 0  0
1
0   0 
 t 
 Z t  − sin Ω 0 cos Ω   0
0
1 − sin ω 0 cos ω   xt 
これは、①近地点離角(ω )、②軌道傾斜角(ι )、③昇交点赤経(Ω )の
順に回転させたものである
任意位置（動径）における衛星の速度
運動方程式のエネルギー積分
dv
dv
m
= F　⇒ mv
= Fv　dt
dt
dv
∫ mv dt dt = ∫ Fvdt　⇒ ∫ mvdv = ∫ Fvdt
1 2
mv = Fvt + C = FD + C　：　D = 距離 = 動径r
2
v 2 = 2ar + C ′　：　a = 加速度, C ′ ≠ C
GM
GM
v2 = 2 2 r + C′ = 2
+ C′
r
r
GM
C′ = v2 − 2
r
t = 0 ⇒ v = 0, r = 2a
GM
GM
=−
C ′ = −2
a
2a
GM GM
2 1
v2 = 2
−
= GM  − 
r
a
r a
2 1
vt = GM  −  ：　vt = 任意位置の速度
r a
5/8
任意遠点距離を創出する衛星の打上げ速度
 l 
−q
Q = 2a − q = 2
2 
1− e 








Q = 2
 
 
 
1− 
 
 
 
 
vQ =
 (qvQ cos φ ) 2


GM





2
 (qvQ cos φ ) tan φ   (qvQ cos φ )


 +
− q

 

GM
GM

 

q
2
2
2








2








−q








 2GMQ 


 Q+q 
q cos 2 φ tan 2 φ + 1
(
)
または、
2 1
vQ = GM  − 
q a
軌道傾斜角を変更するために必要な速度
vT = vt 2(1 − cosψ )　：　ψ = 軌道面変更角
 180 -ψ 
※軌道面の法線方向に噴射角
にて増速(vT )
 2 
vT
vt
ψ
vt
（180180-ψ）/2
6/8
任意時点の⾶⾏経路角
 GM ⋅ l
 r ⋅ vt
φt = cos −1 

 r ⋅v
 = cos −1  0 0
 r ⋅v

t





任意時点の⾶⾏方位角


 
cos λt + ∆ sin(κ t + ∆ − κ t )
 
χ t = N ± 90 − tan −1 

 sin λt + ∆ cos λt − cos λt + ∆ sin λt cos(κ t + ∆ − κ t )  
：　κ t + ∆ − κ t ≥ 0 and　λt + ∆ − λt ≥ 0 ⇒ N ± = 0 +
：　κ t + ∆ − κ t ≥ 0 and　λt + ∆ − λt < 0 ⇒ N ± = 360 −
：　κ t + ∆ − κ t < 0 and　λt + ∆ − λt ≥ 0 ⇒ N ± = 180 −
：　κ t + ∆ − κ t < 0 and　λt + ∆ − λt < 0 ⇒ N ± = 180 +
：　λt = 任意時点の緯度、λt + ∆ = 任意時点 + 微小時間∆の緯度
：　κ t = 任意時点の経度、κ t + ∆ = 任意時点 + 微小時間∆の経度
地球の自転速度を反映した衛星の打上げ速度
 x0 = v0 cos φ 0 cos χ 0 
r 
v0 =  y 0 = v0 cos φ 0 sin χ 0  ：　φ 0 = 仰角, χ 0 = 打上げ方位角

 z 0 = v 0 sin φ0
v0 = x0 + y 0 + z 0
2
2
2
v0 ⇒ v1
ve =
2πR
：　R = 6378km，p e = 86160秒
pe
u = ve cos λ　：　λ = 緯度
v1 = ( x0 + u ) 2 + y 0 + z 0
2
2
 x1 = v1 cos φ1 cos χ 1 
r 
v1 =  y1 = v1 cos φ1 sin χ 1  ：　φ1 = 仰角, χ 1 = 打上げ方位角
 z1 = v1 sin φ1 

φ1 = tan −1 
z0
2
 ( x0 + u ) + y 0

χ 1 = cos −1 
2
x0 + u
2
 ( x0 + u ) + y 0
2








7/8
v1 ⇒ v0
A = cos 2 φ 0 ⋅ cos 2 χ 0 + cos 2 φ0 sin 2 χ 0 + sin 2 φ0 = 1
B = 2ve cos φ 0 cos χ 0 cos λ
C = ve cos 2 λ − v1
2
2
− B + B 2 − 4 AC
v0 =
2A
8/8

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