) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),x y

平成 26(2014)年度『振動と波動』レポート№4／2 自由度系の運動方程式 №1
平成 26 年 6 月 19 日
平成 26(2014)年度『振動と波動』レポート課題
№4
担当教員：宮木康幸
【問題 A】
右図に示すように、集中質量 m1 ， m2 が長さ 1 ，  2 の糸にぶら下げられた〝二重ふりこ〟がある。この 2
自由度系の振動に関して、以下の設問に答えよ。
O
(1) O  xy 座標系において、集中質量 m1 ，m2 の座標を  x1 , y1  ， x2 , y2 
x
とするとき、図に示すような角度 1 ， 2 を用いて  x1 , y1  ， x2 , y 2  を
長さ 1
1
表せ。
(2) この系の運動エネルギー K と位置エネルギー V を表せ。
質量 m1
 x1 , y1 
1
1
2
2
2
2
ただし、 K  m1  x1  y1   m2  x2  y 2  であり、重力加速度は
2
2
g とする。
(3) L  K  V とおくとき、減衰のない自由振動に関するラグランジュ
d  L  L
の運動方程式 
 0  S  1, 2  を用いて、この系の連

dt  S   S
2
長さ  2
質量 m2
 x2 , y2 
y
立運動方程式を求めよ。
【問題 B】
右図に示すように、集中質量 m が長さ  （自然長  0 ,バネ定数 k ）のバネにぶら下げられた〝バネふりこ〟
がある。この 2 自由度系の振動に関して、以下の設問に答えよ。
(1) O  xy 座標系において、集中質量 m の座標を  x, y  とするとき、
O
x
図に示すようなバネの角度  と長さ  を用いて  x , y  を表せ。
(2) この系の運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー（位置エネ
ルギー・ひずみエネルギーの和） V を表せ。
1
m  x 2  y 2  であり、重力加速度は g とする。また、
2
位置エネルギーは、 y  0 での位置エネルギーを基準とする。
(3) L  K  V とおくとき、減衰のない自由振動に関する一般座標 qS
ただし、K 
のラグランジュの運動方程式
d  L

dt  q S
 L
0

  qS

y
バネの長さ 
質量 m
 x, y 
 S  1, 2  を用いて、この系の連立運動方程式を求
めよ。
なお、時間微分に関しては、下記の公式に注意すること。


合成関数の微分の公式： y  f g  x  のとき、 g  x   z とすると、
【提出】
平成 26 年 6 月 26 日の『講義の開始時』に提出
dy
dy dz
 f   z   g  x  
dx
dz dx
平成 26(2014)年度『振動と波動』レポート№4／2 自由度系の運動方程式 №2
【解答例】
【問題 A】
(1)
 x1  1 sin 1  x2  x1   2 sin  2  1 sin 1   2 sin  2
，
と表されるので、 x1 , y1  ，













y
cos
y
y
cos
cos
cos
 1
 2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
 x1 , y1  ， x2 , y2  は、
 x2 , y2  は、次のように表される。
 x1  11 cos 1
 x2  11 cos 1   22 cos  2
，

 y1  11 sin 1
 y 2  11 sin 1   22 sin  2
1
1
2
2
2
2
(2) 運動エネルギー K は、 K  m1  x1  y1   m2  x2  y 2  と表されるので、
2
2
2
2
1
K  m1 11 cos 1  11 sin 1
2
2
2
1
 m2 11 cos 1   22 cos  2  11 sin 1   22 sin  2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
1
1 11  cos 1  sin 1    22  cos  2  sin  2  
2 2
2
2
 m111  cos 1  sin 1   m2 

2
2 2    cos  cos   2    sin  sin  

1 2 1 2
1
2
1 2 1 2
1
2 
1
1
1
 m11212  m2 1212  m2  2222  m2 1 212  cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 
2
2
2
1
1
  m1  m2  1212  m2  2222  m2 1 212 cos 1   2 
2
2
1
1
2 2
2 2
∴ K   m1  m2  11  m2  22  m2 1 212 cos 1   2 
2
2
位置エネルギー V は、次のように表される。
V  m1 g   1  y1   m2 g   1   2  y2 


 


 
 m1 g   1  1 cos 1   m2 g   1   2    1 cos 1   2 cos  2 
 m1 g  1 1  cos 1   m2 g  1 1  cos 1    2 1  cos  2 
  m1  m2  g  1 1  cos 1   m2 g   2 1  cos  2 
∴ V   m1  m2  g  1 1  cos 1   m2 g   2 1  cos  2 
(3) ラグランジュ関数は、次のように表される。
L  K V
1
1

   m1  m2  1212  m2  2222  m2 1 212 cos 1   2  
2
2

  m1  m2  g  1 1  cos 1   m2 g   2 1  cos  2 
減衰のない自由振動に関するラグランジュの運動方程式は以下のように示される。
d  K  K V
d  L  L

 0 より、
 0 または、    
  
dt  1  1 1
dt  1  1
d  L  d


dt  1  dt
 m  m     m    cos 
1
2
2
1 1
2 1 2 2
1

 2 


  m1  m2   121  m2  1 22 cos 1   2   m2  1 22 1  2 sin 1   2 
L
  m2 1 212 sin 1   2    m1  m2  g  1 sin 1
1
平成 26(2014)年度『振動と波動』レポート№4／2 自由度系の運動方程式 №3
∴
 m1  m2  121  m21 22 cos 1   2   m21 22 1  2  sin 1   2 


  m2  1 212 sin 1   2    m1  m2  g  1 sin 1  0
  sin       m  m  g   sin 
  sin       m  m  g sin   0
∴  m1  m2  11  m2 1 22 cos 1   2   m2 1 2 2
2
∴  m1  m2  11  m2  22 cos 1   2   m2  2
2
1
2
1
2
1
1
0
2
2
1
2
1
2
1
d  K  K V
d  L  L

 0 より、
 0 または、    
  
dt   2   2  2
dt   2   2
d  L  d
m2  222  m2 1 21 cos 1   2 


dt  2  dt




 m2  222  m2 1 21 cos 1   2   m2  1 21 1  2 sin 1   2 
∴
L
 m2  1 212 sin 1   2   m2 g   2 sin  2
 2
m2  222  m2  1 21 cos 1   2   m2  1 21 1  2 sin 1   2 




 m2 1 212 sin 1   2   m2 g   2 sin  2  0
 
2
∴ m2  1 21 cos 1   2   m2  22  m2 1 2 1
 
∴  22  11 cos 1   2    1 1
2
2
sin 1   2   m2 g   2 sin  2  0
sin 1   2   g sin  2  0
 
 m  m   2  m    cos      m    2 sin       m  m  g   sin   0
2
1 1
2 1 2 2
1
2
2 1 2
2
1
2
1
2
1
1
 1

2
 m2  1 21 cos 1   2   m2  222  m2  1 2 1 sin 1   2   m2 g   2 sin  2  0

 
平成 26(2014)年度『振動と波動』レポート№4／2 自由度系の運動方程式 №4
【問題 B】
 x   sin    cos 
 x   sin 


(1)  x, y  は、 
と表されるので、  x, y  は、次のように表される。 
 y   cos    sin 
 y   cos 
1
2
2
(2) 運動エネルギー K は、 K  m  x  y  と表されるので、
2
2
2
1
K  m  sin    cos    cos    sin 
2
1
 m  2 sin 2   2  sin  cos    2 2 cos 2    2 cos 2   2  sin  cos    2 2 sin 2 
2
2
2
1 2
1
 m   sin 2   cos 2     2 2  sin 2   cos 2    m    2 
2
2
2
2
1
2
∴ K  m    
2
1
2
ポテンシャルエネルギー V は、次のように表される。 V  k     0   mg   cos 
2


 



 

 
 
 
 
(3) ラグランジュ関数は、次のように表される。
L  K V 
 
     12 k     
2
1
m    2 
2
2
0
2

 mg   cos  

減衰のない自由振動に関するラグランジュの運動方程式は以下のように示される。
d  K  K V
d  L  L

 0 より、
 0 または、    
  
dt     
dt    
d  L  d
m  m
 
dt    dt
 
2
L
 m   k     0   mg  cos 

 

 
∴ m
  m 
2

 k     0   mg  cos   0
 
  m 
∴ m
2
 k     0   mg  cos   0
d  K  K V
d  L  L

 0 より、
 0 または、    
 
dt     
dt     
d  L  d
m 2  m 2  2m 
 
dt    dt
L
  mg   sin 

2
∴ m   2m   mg   sin   0


∴   2   g sin   0

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