2階の定数係数線形微分方程式
の公式のn階の場合への
拡張について
渡利研究室
電子制御工学科３年
中川未稀
公式１
2階の定数係数線形微分方程式
y ' '+ ay '+by = Q ( x )
y ' '+ ay '+by = 0
の一般解は，斉次方程式
の一般解
般
y = C 1 y1( x ) + C 2 y 2( x )
・・・（＊）
・・・（＊＊）
に対して
y = C 1 y1( x ) + C 2 y 2 ( x ) + u ( x ) y1( x ) + v ( x ) y 2( x )
である．ただし
− y 2 ( x)Q ( x)
u ( x) = ∫
dx
W ( y1 , y 2 )
ここで
y1
W ( y1 , y 2 ) =
y1′
y2
y 2′
y1 ( x)Q ( x)
v( x) = ∫
dx
W ( y1 , y 2 )
：ロンスキアン
公式１
2階の定数係数線形微分方程式
y ' '+ ay '+by = Q ( x )
y ' '+ ay '+by = 0
の一般解は，斉次方程式
の一般解
般
y = C 1 y1( x ) + C 2 y 2( x )
・・・（＊）
・・・（＊＊）
に対して
y = C 1 y1( x ) + C 2 y 2 ( x ) + u ( x ) y1( x ) + v ( x ) y 2( x )
である．ただし
− y 2 ( x)Q ( x)
u ( x) = ∫
dx
W ( y1 , y 2 )
ここで
y1
W ( y1 , y 2 ) =
y1′
y2
y 2′
y1 ( x)Q ( x)
v( x) = ∫
dx
W ( y1 , y 2 )
：ロンスキアン
証明の方針
y ' '+ ay '+by
b =0
y = C 1 y1 + C 2 y 2
y = u ( x) y1( x) + v( x) y 2( x)
証明
y = u ( x ) y1( x ) + v ( x ) y 2( x )
y ' = u ' y1 + uy1 '+ v ' y2 + vy2 '
= u ' y1 + v ' y2 + uy1 '+ vy2 '
u ' y1 + v ' y2 = 0
y ' = u ' y1 + v ' y 2 + uy1 '+ vy 2 '
y '' = u ' y1 '+ uy1 ''+ v ' y2 '+ vy2 ''
u ' y1 '+ uy1 ''+ v ' y2 '+ vy2 ''+ a (uy1 '+ vy2 ') + b(uy1 + vy2 ) = Q ( x )
u ' y1 '+ v ' y2 '+ u ( y1 "+ ay1 '+ by1 ) + v ( y2 "+ ay2 '+ by2 ) = Q ( x )
u ' y1 '+ v ' y2 ' = Q ( x)
③と⑤より
⎧u ' y1 + v ' y2 = 0
⎨
⎩u ' y1 '+ v ' y2 ' = Q ( x )
⇔
⎛ y1
⎜
⎝ y1 '
y2 ⎞ ⎛ u '⎞
0
⎛
⎞
= ⎜
⎟⎜
⎟
⎟
y2 '⎠ ⎝ v '⎠
Q
(
x
)
⎝
⎠
上式
上式の両辺に左から
辺左から ⎛ y1
⎜
⎝ y1 '
−1
−1
を掛けると、
y 2 ⎞ を掛けると
⎟
y2 ' ⎠
−1
⎛ y1 y2 ⎞ ⎛ y1 y2 ⎞ ⎛ u ' ⎞ ⎛ y1 y2 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ y1 ' y2 ' ⎠ ⎝ y1 ' y2 ' ⎠ ⎝ v ' ⎠ ⎝ y1 ' y2 ' ⎠ ⎝ Q(x) ⎠
⇔
＝
⎛ u ' ⎞ ⎛ y1
⎜ ⎟=⎜y '
⎝ v '⎠ ⎝ 1
−1
y2 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟
y 2 ' ⎠ ⎜⎝ Q ( x ) ⎟⎠
⎛ y2 ' − y2 ⎞⎛ 0 ⎞
1
⎜
⎟⎜
⎟
−
'
y
y
y1 y2 '− y2 y1 ' ⎝ 1
1 ⎠ ⎝ Q( x) ⎠
− y2Q ( x )
u'=
W ( y1 , y 2 )
y1Q ( x )
v'=
W ( y1 , y 2 )
− y2Q ( x )
u=∫
dx
W ( y1 , y 2 )
y1 Q ( x )
v=∫
dx
W ( y1 , y 2 )
Q.E.D.
２階の定数係数微分方程式からｎ階への拡張
ｎ階の定数係数線形微分方程式
n−1
y +αy +"+αy +βy = Q(x)
n
2
・・・（＊）
の一般解は，斉次方程式
般
斉
yn +αyn−1 +"+αy2 +βy = Q(x)
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + " + Cn yn
y = R ( x ) に対して
の一般解
・・・（＊＊）
と（＊）の特殊解
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + " + Cn y n + R ( x )
で与えられる
で与えられる．
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 3 y3 + " + C n y n
+ u ( x ) y1 + v ( x ) y 2 + " + n ( x ) y n
u ( x) ~ n( x)
y ' = u ' y1 + uy1 '+ v ' y2 + vy2 '+ " +α' yn +αyn '
= u ' y1 + v ' y2 + " +α' yn + uy1 '+ vy2 '+ " +αyn '
u ' y1 + v ' y2 + " +α' yn = 0
n−1
1
n−1
1
y = u 'y + uy + v ' y
n
n −1
1
u'y
n
1
+v'y
n −1
2
n−1
n
+ vy +"+α'y +αy
n
2
+ " +α' y
n −1
n
= Q ( x)
u ' y1 + v ' y 2 + " +α' y n = 0
⎧ u ' y1 '+ v ' y2 '+"+α' yn ' = 0
⎪
#
⎨
⎪u ' yn−1 + v ' yn−1 +"+α' yn−1 = Q( x)
2
n
⎩ 1
n
n
⎛ y1
⎜
⎜ y1 '
⎜ #
⎜
n −1
y
⎝ 1
y2
y2 '
"
"
#
y 2 n −1
⎛ y1
⎛ u '⎞
⎜
⎜
⎟
v
'
⎜
⎟ = ⎜ y1 '
⎜ #
⎜ # ⎟
⎜
⎜
⎟
n −1
y
α
'
⎝
⎠
⎝ 1
"
yn ⎞
⎟
yn ' ⎟
⎟
#
n −1 ⎟
yn
⎠
y2
"
y2 '
"
#
y 2 n −1
"
⎛ u '⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
v
'
⎜
⎟ = ⎜
⎜ # ⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝α ' ⎠
⎝Q
⎞
⎟
yn ' ⎟
⎟
#
n −1 ⎟
yn
⎠
yn
−1
⎞
⎟
0
⎟
⎟
#
⎟
(x)⎠
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝Q
⎞
⎟
0
⎟
⎟
#
⎟
(x)⎠
0
公式２
a n1Q ( x )
a n1Q ( x )
u'=
u=∫
dx
W ( y1 , y 2 " , y n )
W ( y1 , y 2 " , yn )
a n 2 Q ( x )
a n 2 Q ( x )
v'=
v=∫
dx
W ( y1 , y 2 " , y n )
W ( y1 , y2 " , yn )
#
#
a nn Q ( x )
a nn Q ( x )
α= ∫
dx
α' =
W ( y1 , y 2 " , yn )
W ( y1 , y 2 " , y n )
ご清聴ありがとうございました！