問題2 (ver 2014.7.10.)

「解析学 I」演習問題 Part II
バージョン：2014.07.10
8. 線積分
※ 本項目には「11. 積分定理 (1) ストークスの定理（平面の場合）」と関連のある問題が含
まれています。
問 8.1. 原点 (0, 0, 0) から点 (1, 2, 3) へ向かう線分のパラメータ表示の例を一つ挙げよ．
問 8.2. x y z 座標空間内に 2 点 P(6, −2, 8)，Q(7, 0, −5) がある．
(1) 点 P から点 Q へ向かう線分 PQ のパラメータ表示を一つ求めよ．ただし，パラメータ
t の範囲は 0 ≦ t ≦ 1 とする．
(2) 点 Q から点 P へ向かう線分 QP のパラメータ表示を一つ求めよ．ただし，パラメータ
t の範囲は 0 ≦ t ≦ 1 とする．
問 8.3. 始点を A，終点を B とする向きの線分を C とおく．C のパラメータ表示が
r = (1 − 6t , −2 + 5t , 3 + 4t ) (0 ≦ t ≦ 1)
であるとき，A，B の座標をそれぞれ求めよ．
問 8.4. a を正の数とする．P(a, −a)，Q(a, a)，R(−a, a)，S(−a, −a) を頂点とする x y 平面
内の正方形 PQRS について以下の問いに答えよ．
(1) パラメータ t の範囲を −a ≦ t ≦ a として，線分 PQ，QR，RS，SP のパラメータ表示
をそれぞれ一つ求めよ．
(2) パラメータ t の範囲を 0 ≦ t ≦ 1 として，線分 PQ，QR，RS，SP のパラメータ表示を
それぞれ一つ求めよ．
問 8.5. x y 平面内に図のような半径 a の扇形 OPQ がある．このとき，孤 PQ のパラメー
タ表示は
(π
π)
r = (a cos t , a sin t )
≦t ≦ ,
4
3
(
(π
(π
π)
π ))
r = a cos
, a sin
t+
t+
12
4
12
4
(
0≦t ≦1
)
など，さまざまなものが考えられる．これらを参考にして，パラメータ t が指定された範
囲にあるとき，Q から P へ向かう逆向きの孤 QP を描くパラメータ表示の例をそれぞれ一
つ求めよ．
(1) 0 ≦ t ≦ 1 のとき．
(2) 0 ≦ t ≦
π
のとき．
12
1
(3)
π
π
≦ t ≦ のとき．
4
3
y
Q
P
π
3
π
4
O
x
問 8.6. 原点から点 (1, 1, 1) に向かう線分を C とおく．ベクトル場 A(r ) = (y z, zx, x y) の C
に沿う線積分を求めよ．
問 8.7. ベクトル場 A(r ) = (z, 2x, 3y) について，以下の各場合に曲線 C に沿う線積分を求
めよ．
(1) C が原点から点 (1, 1, 1) に向かう線分であるとき．
(
π)
とパラメータ表示される曲線であるとき．
(2) C が r (t ) = (sin t , sin t , 1 − cos t ) 0 ≦ t ≦
(
)2
(3) C が r (t ) = (0, a cos t , a sin t ) 0 ≦ t < 2π とパラメータ表示される円周であるとき．
問 8.8. スカラー場 φ(x, y, z) = x 3 y 2 z の勾配 ∇φ の，点 P(−1, 0, 1) から点 Q(8, −3, −5) へ
∫
向かう線分 C に沿う線積分 C ∇φ · d r を求めよ．
※ 以下では 2 次元ベクトル場を扱う．空間ベクトルのときとの違いは成分が 1 つ少ない
ことだけで，線積分の計算の仕方は空間ベクトルのときと同じである．
また，曲線 C を複数の部分に分割した場合，例えば C = C 1 + C 2 + C 3 であるとき，ベク
トル場の線積分について
∫
∫
∫
A(r ) · d r =
A(r ) · d r +
C
C1
C2
∫
A(r ) · d r +
C3
A(r ) · d r
が成り立つ．これは 1 変数関数の定積分の区間の分割に関する公式に相当する．C に沿う
A(r ) の線積分を求めるには，右辺の各項を個別に求めた後，足し合わせればよい．
2
問 8.9. ベクトル場 A(x, y) = (−y, x) の以下の各場合の曲線 C に沿う線積分を求めよ．
(1) C が，原点を始点とし，点 P(r, 0)，点 Q(r cos θ, r sin θ) を通って再び原点に戻る扇形の
周であるとき．ただし，定数 r ，θ は r > 0，0 ≦ θ < 2π を満たすとする．
(2) C が，P(−a, −a)，Q(a, −a)，R(a, a)，S(−a, a) を頂点に持つ四角形の周であるとき．た
だし a > 0 であるとし，P，Q，R，S，P の順に一周するものとする．
(3) C が，3 つの頂点 P(a, h)，Q(−b, 0)，R(b, 0) をこの順に一周する三角形の周であると
き．ただし h > 0 かつ b > 0 であるとする．
問 8.10. x y 平面の原点を中心とする単位円周 C に沿うベクトル場 A(x, y) = (x, y) の線積
分を求めよ．ただし円周 C の向きは反時計回りとする．
(
)
−y
x
問 8.11. 以下の各曲線 C に沿うベクトル場 A(x, y) = 2
,
の線積分をそれ
x + y 2 x2 + y 2
ぞれ求めよ．
(1) C がパラメータ表示 r (t ) = (r cos t , r sin t ) (0 ≦ t ≦ θ) を持つ曲線であるとき．ただし
r > 0 とする．
(2) C が，点 P(1, 0)，Q(1, 1)，R(−1, 1) をこの順に結んでできる折れ線（線分 PQ と線分 QR
からなる，点 Q で直角に折れ曲がった線）であるとき．
3
9. 曲面積
※ 曲面積とは，「曲面の面積」のことであり，スカラー場やベクトル場とは直接関係のな
い量であるから，「スカラー場の面積分」などと混同しないようにしてほしい．
なお，
「線積分」は「曲線に沿って足し合わせる積分」であり，
「面積分」は「曲面に沿っ
て足し合わせる積分」である．
問 9.1. 原点を中心とする半径 a > 0 の球面 S
r = (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ) (0 ≦ θ ≦ π, 0 ≦ φ < 2π)
の面積が 4πa 2 であることを示せ．
問 9.2. 曲面 S は
r (u, v) = (u cos v, u sin v, au) (0 ≦ u ≦ b, 0 ≦ v < 2π)
というパラメータ表示を持つとする．ただし，a と b は共に正の定数とする．
このとき，S の面積 Area(S) を求めよ．
問 9.3. 曲面 S のパラメータ表示が
r = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) (0 ≦ u < 2π, 0 ≦ v < 2π)
で与えられているとき，S の面積 A を求めよ．ただし，a ，b は a > b > 0 を満たす定数と
する．
（計算ミスが無ければ |r u × r v | は簡単な式になる．）
4
10. 面積分の公式
※ 本項目には「12. 積分定理 (2) ストークスの定理（3 次元の場合）」と関連のある問題が
含まれています。
問 10.1. a > 0 とし，球面 S のパラメータ表示を
r = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u) (0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π)
r
とおく．(1) A = r ，(2) A =
の各場合について，ベクトル場 A の球面 S 上の面積分
|r |3
Ò
Ò
は閉曲面上の面積分である
S A · d S を求めよ．なお，r = (x, y, z) である．また，記号
Î
ことを強調するために
に円形の飾りを付けただけのものである．飾りを付け忘れても
特に問題はない．
問 10.2. 原点を中心とする半径 a > 0 の上半球面を S とおく．S のパラメータ表示は
)
(
π
r (u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u) 0 ≤ u ≤ , 0 ≤ v ≤ 2π
2
である．これは球面のパラメータ表示とほとんど同じであるが，パラメータ u の範囲が制
限されていることに注意せよ．
S の境界（ふち，へり）は原点を中心とする半径 a の x y 平面上にある円周である．そ
れを C と名付け，そのパラメータ表示を
r (t ) = (a cos t , a sin t , 0) (0 ≦ t ≦ 2π)
とおく．
以上の設定の下でベクトル場 A = (−y, x, z) について，各積分を求めよ．
I
Ï
(1)
A · dr
(2)
(∇ × A) · d S
C
問 10.3.
S
曲面 S と曲線 C は問 10.2 と同じものとする．m = (m 1 , m 2 , m 3 ) は定ベクトル
であるとし，r = (x, y, z)， A = m × r とおく．次の積分をそれぞれ求めよ．
I
Ï
(1)
A · dr
(2)
(∇ × A) · d S
C
問 10.4.
S
原点を中心とする半径 a の球面を S とし，そのパラメータ表示を
r = r (u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u) (0 ≦ u ≦ π, 0 ≦ v ≦ 2π)
とおく．また，p = (p 1 , p 2 , p 3 ) を定ベクトルとし，ベクトル場 A(r ) を
A(r ) =
p
3(p · r )r
−
|r |3
|r |5
と定義する．
5
2(p · r (u, v)) sin u
であることを示せ．
a2
Ò
(2) A の S 上での面積分 I = S A · d S を求めよ．
(1) A(r (u, v)) · r u × r v = −
r
|r |3
の面積分を以下の手順で求めよ．ただし，a ，b は正の定数であり，S をふた S 1 ，側面 S 2 ，
図のような円柱面（ふたと底面を含んだ閉曲面）S 上のベクトル場 A(r ) =
問 10.5.
底面 S 3 の 3 つの部分に分割する．
以下では，必要ならば定数 c に対し
∫
t
1
dt = −p
,
p
(t 2 + c) t 2 + c
t2 +c
∫
c
t
dt = p
p
(t 2 + c) t 2 + c
t2 +c
であることを用いてよい（積分定数は省略）．
(1) S 1 のパラメータ表示を
r (u, v) = (u cos v, u sin v, b) (0 ≦ u ≦ a, 0 ≦ v < 2π)
として
Î
S1
A(r ) · d S を求めよ．
(2) S 2 のパラメータ表示を
r (u, v) = (a cos u, a sin u, v) (0 ≦ u < 2π, −b ≦ v ≦ b)
として
Î
S2
A(r ) · d S を求めよ．
(3) S 3 のパラメータ表示を，r u × r v が外向き法線ベクトルになるように
r (u, v) = (u cos v, −u sin v, −b) (0 ≦ u < 2π, −b ≦ v ≦ b)
と選ぶと，
Ï
S3
(
A(r ) · d S = 2π 1 − p
b
)
a2 + b2
となる．この結果も合わせて，
( Ï
Ó
Ï
A(r ) · d S =
A(r ) · d S +
S
S1
)
Ï
S2
A(r ) · d S +
S3
A(r ) · d S
を求めよ．
z
S1
a
b
O
x
6
−b
S2
S3
y
13. 積分定理 (3) グリーンの定理，ガウスの発散定理
問 13.1.
閉曲面 S および内部領域 V を含む領域上で定義されたベクトル場 A(r ) が，そ
の領域において ∇ · A(r ) = 0 を満たすならば
Ó
A(r ) · d S = 0
S
であることを示せ．
問 13.2.
閉曲面 S で囲まれた領域を V とおく．V の微小部分の体積 dV を V 全体にわ
Ð
たって足し合わせた V dV は V の体積を与える．
(1) 次の等式が成り立つことを示せ．ただし，r = (x, y, z) である．
Ñ
V
1
dV =
3
Ó
S
r · d S.
(2) 定数 a ，b は a > b > 0 を満たすとする．パラメータ表示
(
)
r (u, v) = (a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v (0 ≦ u ≦ 2π, 0 ≦ v ≦ 2π)
をもつ閉曲面 S の内部領域 V の体積を， 31
2
1
2
Ò
Sr
· d S を計算することによって求めよ．
1
2
なお，必要ならば半角の公式 cos θ = + cos 2θ を用いよ．
問 13.3.
パラメータ表示
r (u, v, w) = (uv cos w, uv sin w, bu) (0 ≦ u ≦ a, 0 ≦ v ≦ 1, 0 ≦ w < 2π)
で表される空間領域 D の体積 V を，公式
Ñ
V=
|r u · (r v × r w )|dud vd w
D
を用いて求めよ．
問 13.4.
m を定ベクトル， A(r ) をベクトル場とする．以下の問いに答えよ．
(1) ∇ · (m × A(r )) = −m · (∇ × A(r )) が成り立つことを成分計算で示せ．
(2) 閉曲面 S およびその内部領域 D において，
Ó
Ñ
n · (m × A(r ))d S = −
m · (∇ × A(r ))d v
S
D
が成り立つことを示せ．
(3) あるベクトル X が，任意のベクトル Y に対して X · Y = 0 を満たすならば， X = 0 で
ある．
7
また，面積分や線積分では定ベクトルの内積は積分の外に出せる．つまり，定ベク
トル C とベクトル場 B (r ) に対し，曲面 S や空間領域 D での積分について
Ï
Ï
Ñ
Ñ
C · B (r )d S = C ·
B (r )d S,
C · B (r )d v = C ·
B (r )d v
S
S
D
D
Î
Ð
などが成り立つ．なお， S B (r )d S や D B (r )d v は B (r ) の各成分を積分して得られ
るベクトルである．
これらの事実と (2) の結果を組み合わせて，次の等式を導け．
Ó
Ñ
n × A(r )dS =
∇ × A(r )d v.
S
D
8

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