数学（問題）

平
成 26年度
数学・・・・・ 1
数学（問題）
〔問題 1から問題 3を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。〕
問題 1. 次の（ 1）∼（ 12）の各聞について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢
の中から 1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよ
い
。
各5点（計 60点
）
(1) A, B, Cの 3人がこの順番（
ABCABC・・・）で 2つのサイコロを同時に投げる試行を繰り
返し、最初に 2つのサイコロの目の合計が 7となった者を勝ちと定める。このとき、 Bの勝つ確率
は
｜
｜である。
(D）一一
1
3
2
407
(H) -
(C) -
1
4
4
397
(G) -
(8) -
1
3
2
397
(F）一一
(E) 一一
30
1
0
1
36
9
1
30
9
1
(A) -
36
1
0
1
1
4
4
407
(2）箱 dには赤球が 1
個と白球が 3個、箱 Bには白球が 4個入っている。箱 A, Bからそれぞれ 1
個
の球を同時に取り出し、 dから取り出した球は Bに
、 Bから取り出した球は dに移し替える試行
を繰り返す。この試行を 4回繰り返したとき、赤球が籍 dに入っている確率は｜
(A)
%
(B)
）
三
、‘，，
2
7一
一
3
1
，
、
t
E
%
(C
25
48
(G) -
(F) -
1
6
3
3
64
｜である。
1
3
24
(D) -
6
5
1
2
8
(H) -
平
成 26年度
数学・・・・・ 2
(3）確率変数
x
i (i=1,..'n)(n三2）は互いに独立で、、すべて区間（ O,m) (m>0）の一様分布
に従うものとする。確率変数 Yを min(X
ぃ…ラ
xJとすると、
Yの確率密度関数 g(y）および期待値
E(Y
）はそれぞれ、
①
②
。
E(Y)=
I
(O<y<m)
（その他）
③
④
である。
［①、②の選択肢］
(A)
1
(B)
mn
一
1
(C)
mn
(D)
m
n
+
I
(E) n・
(
m-y)n-l
(F)
n・mn
(G)
(m-yy-1
(H)
(n-yy-1
(I)
n・mn
ー1
(J) m
・(n-yr-l
(B)
2
(C)
m
(D)
m+l
(E)
m+2
(G)
n
(H)
n+l
(I) n+2
(J)
2n
［③、④の選択肢］
(A) 1
(F)
2m
平
成 26年度
数学・・・・・ 3
(4）確率変数 X, yは互いに独立で、同じ確率分布 P(X=k)=P(Y=k
)=p・qk (k=0
,
1
,
・
・
)
(p>O
,
q>0p+q=1)に従うものとする。確率変数 Z=X+Yの積率母関数を砂（θ）とおくと、
ラ
rI
<
/
J（
θ）
＝
｜
I¥
2
①
｜
人 1- I ② ｜ノ
（
｜
l<O であり、
②
｜③｜
Zの原点のまわりの 2次の積率は
である。
｜④｜
(D)
q
2・6θ
(G) q
(H)
q
2
(K) 2
q・
(
1+2
q
)
(L) 2
q・
(
1+3
q
)
(A)
p・eθ
(B)
p2・e
B
(C)
(E)
p
(F)
p2
(J) 2
q.
(
1+q
)
(I) 2q
q・eθ
(5）あるレストランに d氏は 1
2時 x分
、 B氏は同日の 1
2時 y分にそれぞれ入店する。 d氏
、 B氏と
も入店してから店を出るまで、の時聞は t
。
（ 0<t
0<60）分であり、レストランを出た後、再度入店
することはないものとする。
このとき、 A氏
、 B氏が同時刻にレストラン内にいる確率が
1
となるように t
oを定めると、
3
／ E
s
−
、
、
一
，
et
、
×
falJlL
一
一nu
である。
なお、 x
,yは、それぞれ区間（ 0
,
6
0）の一様分布に従う確率変数 X,Yの実現値であり、 X Yは互
ラ
いに独立で、あるとする。
(A) 2
(F)
1
2
(B)
3
(G) 20
(C) 5
(D) 6
(E) 1
0
(H) 3
0
(I) 40
(J)
60
平
成 26年度
数学・・・・・ 4
(6）互いに独立な 2つの正規母集団 A :N(μMl)' B :N(μB,4
）がある。母集団 dから大きさ nAの
標本を、母集団 Bから大きさ nBの標本をそれぞれ抽出し、母平均の差を区間推定する。両母集団
からの標本の大きさの和 n=nA＋ちが一定であるとき、母平均の差の信頼区間の幅を最小にする
標本数の組み合わせは nAおよび nBについて、｜
｜の関係が成立するときである。
(A) nA=2nB
(8) nA=3nB
(C) nA=4nB
(D) nA=5nB
(E) 2nA= nB
(F) 3nA=nB
(G) 4nA=nB
(H) 5nA=
nB
(7）ある会社では、毎年無作為に選んだ 20人の男性社員に対して体重の調査を実施している。昨年
の調査の結果は、平均 7
0(
k
g）、分散 5(
k
g
2）であった。この会社の男性社員の今年の平均体重に
ついて、帰無仮説を「平均体重は昨年から変化していなしリとして有意水準 5%で検定を行った結
果、帰無仮説は採択された。このとき、今年の平均体重として取りうる値のうち、下限に最も近い
数値は｜
①
j
(
k
g）であり、上限に最も近い数値は｜
②
j
(
k
g）である。ただし、この会社
の男性社員の体重の分布は正規分布（母分散は未知）に従うものとする。
(A) 6
7
.
5
9
9
2
(8)
6
8
.
9
2
6
3
(C)
6
8
.
9
2
9
9
(D)
6
9
.
0
2
0
0
(E)
6
9
.
1
1
3
0
(F) 7
0
.
8
8
7
0
(G) 7
0
.
9
8
0
0
(H)
7
1
.
0
7
0
1
(I) 7
1
.
0
7
3
7
(J)
7
2
.
4
0
0
8
平
成 26年度
数学・・・・・ 5
(8）表と裏の出る確率がともに等しくそれぞれ 50%と考えられるコインがある。このコインを繰り返
し投げた結果、表の出る回数が少なかったと言えるかどうかについて、帰無仮説 Hoを「表の出る
確率は 50%である」として有意水準 10%で、検定を行った。
回であった場合、精密法での検定の結果、帰無仮説
（ア）コインを 6回投げて表が出た回数が 1
H。
は
｜
①
｜される。
2回投げて表が出た回数が 5回で、あった場合、近似法での検定の結果、帰無仮説
（イ）コインを 1
H。
は
｜
②
｜される。
（ウ）コインを 24回投げて表が出た回数が 9回であった場合、近似法での検定の結果、帰無仮説
H。
は
｜
③
｜される。
採択
(A)
棄却
(B)
(9) 3種類のデータ x
l
i
,
x
2
i
,
y
iについて 5個の観測値（
x
1
1
,
X
w
Y
1
)
'(
x
1
2
,
X
2
2
,
Y
2
)
,(
X
1
3
,
X
2
3
,
y
3
)
,
s
)が与えられている。ここで、
(
X
1
4'
X
2
4'
Y
4
)'(
X
1
5'
X
2
5'
Y
4xli=3、 4x2i=4、 4Yi=16、
4
x
l
i
2=3、 4
x
2
i
2=4、 4y/=54、 4xlix2i=2
L
x
仏＝1
0、L
x
仏＝1
4
であった。
最小二乗法を用いて y＝α＋βI
X
I＋β2
X
2で線形回帰した場合、 α ， β
l
'P
2の推定値はそれぞれ
｜
①
｜
、
｜
②
｜
、
｜
③
｜である。
5
2
3
2
(A) -3
(B）一一
(C) -2
(D）一一
(E) -1
(F）一一
(G）ー
(H) 1
3
2
(I）ー
2
(J)
2
2
5
2
(K）一
(L)
3
平
成 26年度
数学・・・・・ 6
(10）識別可能な A
d
A
(
l
）モデル五＝ θ。＋＆t一θI
&
t
I (E(&t)=O
ラV
(
&
t
)＝σ2）に従っていると考えら
れる時系列データ｛
Y
1}
;
=
1が下表のとおり与えられている。このとき、標本自己相関からパラメータ
B
o，伐を推定すると、 θ。に最も近い数値は｜
①
｜であり、伐に最も近い数値は｜
②
ある。
It I1 I2 I3 I4 Is I
IYt I20 I19 I18 I21 I20 I
［①の選択肢］
(A)
1
8
.
6
(B)
1
8
.
8
(C)
1
9
.
0
(D)
1
9
.
2
(E)
1
9
.
4
(F)
1
9
.
6
(G)
1
9
.
8
(H)
2
0
.
0
［②の選択肢］
(A)
-5.5954
(B)
-4.5530
(C)
0
.
1
7
8
7
(D)
0
.
1
9
1
4
(E)
0
.
2
1
9
6
(F)
0
.
2
4
4
6
(G)
4
.
0
8
8
8
(H)
5
.
2
2
5
3
xJ
(11）確率過程｛、 s注 Oを標準ブラウン運動とする。 t>sとすると、
E
(
X
r・
X
J
=
I
①｜、
E
[
(
x
,x
s
)
2
]=
I
②｜
である。
(A) 0
(F)
s
t
(B)
1
(C)
2
(D)
(G)
t-s
(H)
t+s
(I) s
t-s2
s
(E) t
(J)
st+s2
｜
で
平
成 26年度
数学・....7
q2）確率密度関数 g(x）および、定数 cを用いて、確率密度関数が f(x）である分布の確率変数を棄却
法で生成したい。 f(x
）および g(x
）をそれぞれ、
1
2
f
(
x
)=-(4x-4x.l+x~ ）
1
1
g
(
x
)= 1
守
1
(0<x<1)
(0<x<1)
とする。
このとき、 f(x
）に従う確率変数を求めるための繰り返し回数を最小にするような定数 cに最も近
い数値は｜
｜である。
(A) 0
.
6
4
6
5
(B)
0
.
6
6
6
7
(C) 0
.
8
0
6
6
(D)
0
.
9
4
6
5
1
.
0
8
6
4
(F)
1
.
1
8
5
2
(G) 1
.
2
9
2
9
(H)
1
.
4
0
0
7
(E)
平
成 26年度
数学・...・
8
問題 2. 次の（ 1) (2）の各聞について
空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中
から 1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択しでもよい。
(20点
）
本聞において、次のとおり記号を定義する。
X ：とりうる値が O以上の整数である離散的確率変数
E(X):X の期待値、
v
(
x
)
:xの分散、
Pk:X の確率分布
Pk=P(X＝け
い＝ 0,1,2,.
.
.)
q
k=P(X＞け
い＝ 0
,
1
み
．
．
）
P
(
s)
=LPk・
s
k
Q
s
l~ 1
)
Q
(
s
)
=Lqk・
s
k Q
s
l~ 1
)
また、本聞において、 P
(
s）
、Q
(
s）は収束するものとし、それぞれ I
s
lく 1で微分可能とする。
さらに、
p
'
(
1
、
） p
"
(
1
、
）
σ（1）は、それぞ、れ sが下側（左側）から 1に近づくときの極限値
型。 p
'
(
s）
、厚。p
"
(
s）
、思。Q
'
(
s）
とする。
(1)
p
'
(
1
、
） P
（
”1
）を用いて E(X
）
および v
(x）
を求める
まず、 P
(
s）
の定義より、
P
(
l
)
=
I
次に、 P
(
s）
を sについて微分すると、
p
'
(
s
)
=L I ② ｜
k=O
と表される。
①
｜
O
平
成 26年度
数学・・・・・ 9
したがって、
E
(
X
)
=Lk・pk=
I
③｜
k=O
となる。
さらに、 p
'
(
s）
を sについて微分すると、
P” 。）＝工｜ ④ ｜
k=O
と表されるので、
v
(
x
)
=
I
⑤｜−｛｜③
I2
}
となる。
(2)
Q
(
l
、
）
σ
（
1
）を用いて E
(X）
および v
(x）
を求める o
まず、 q
kの定義より、 q。
＝
｜
⑥
｜
また、 qk と Pk の関係に着目すれば、 k~l において qk
q
kq
k
1=
I ⑦
I(
kど1
)
と表される。
次に、
Q
(
s
)
・
(
l
s）を P(s）
を用いて表すと、
Q
(
s
)
・
(
l
s
)=Lqk・
s
k・
(
1
s
)
=Lqk・
S
k-Lqk・
S
k
+
=Lqk・
S
k-Lqk
ー1〆
＝｜③｜
q
k
1は P
kを用いて、
平
成
26年度
数学・・・・・ 10
となるので、
σ
Q
(
l）および（
1
）
は
、 p
'
(
1
、
） P
（
”1
）を用いて、
Q
(
l
)
=I
⑨
l
Q
'
(
1
)
=
I
⑩｜
と表される。
したがって、（ 1）の結果と合わせて考えると、
E(X）
および v
(x
）
は
、
l
E
(
X
)
=
I
⑪
v
(
x
)
=
I
⑫ト｛｜⑪
I}
2
となる。
さて、以下では具体的な数値に当てはめて考える。
ここでは、 qk =
P(X>k
) (
k=0
ρ，…）が以下の漸化式を満たしているものとする。
このとき、上記の結果を用いて計算すると、
E
(
X
)
=
I
⑬｜
v
(
x
)
=
I
⑭｜
と求めることができる。
E(X
）
および v
(
x）
は
、
平
成
26年度
数学・・・・・ 1
1
［①、⑥、⑦の選択肢］
(A) 0
(E)
(C) -P
o
(D)
(F) P1
(G) P1-P
o
(H) -P
k
ー1
(J) -P
k
(K)
(B)
1
p
。
(I) P
k
1
1
P
k
く
し
）
P
o
P
k-P
k
I
［②、④の選択肢］
(A) ・
kP
k・
8
k
1
(C) ・
kP
k・8
k
+
I
(B) ・
kPk./
(D)
(k-l)・pk・l
(E)
(
k
+
l
)
・
p
k・l
(F)
k
・
(
k
l
)
・
p
k
・
/
2
(G)
k
2
.Pk・
S
k
1
(H)
k
・
(
k
+
l
)
・
p
k
・
S
k
+
2
(I)
k
・
(
k
l
)
・
p
k・f
(J)
k・
(
k+1)・Pk・8
k
+
1
［③、⑤、⑨、⑩の選択肢］
(A) P
'
(
t
)
）出
2
(B
(E)
l
+
P
（’1
)
(F)
1
P
'
(
t
)
(I)
一
一
”
。
一）
2
(J)
p
"
(
1
)
(
1
)
P
'(
1
)
(M) p
"
”
(
l
)
+
P
（’1
)
(N) p
p
'
(
t
)
(D)
2
P
'
(
t
)
一
”
。
一
）一p
'
(
t
)
2
(H)
P
"
(
t
)
(K)
2
P
"
(
t
)
(L
(0)
-l+P
（
”1
)
(P)
l
+
P
（
”1
)
(C)
）
一
”
。
一
）+
P
'
(
t
)
2
［③の選択肢］
(A)
-P(s)
(B)
s
・
P
(
s
)
(C) 1
s・P
(
s
)
(D)
P
(
s
)
(E)
s・P
(
s
)
(F)
1
+s・
P
(
s
)
(G)
l
+
P
(
s
)
(H)
1
P
(
s
)
平
成
26年度
数学・・・・・ 1
2
［⑪、⑫の選択肢］
(A）必
2
(B)
Q
(
l
)
’
Q
(E)
2
Q
'
(
t
)
(F） Q
一）
一-Q(l)
(I)
2Q
（’1)-Q(l)
(J)
2Q
（’l)+Q(l)
(B)
(C)
2
Q
(
l
)
’
O
(D）山
2
(G） Q
一）
一+Q(l)
(H)
Q
（’1)+Q(l)
66
(C) 8
4
(D)
96
(F)
1
3
2
(G) 1
4
8
(H)
1
6
8
(A) 6
,
2
4
0
(B)
6
,
3
3
6
(C) 6
,
4
3
2
(D)
6
,
5
1
6
6
,
6
0
0
(F)
6
,
6
8
4
(G) 6
,
7
6
8
(H)
6
,
8
2
8
2
2
［⑬の選択肢］
(A) 42
(E)
116
［⑭の選択肢］
(E)
平
成
26年度
数学・・・・・ 1
3
問題 3. 次の（ 1）
、
（ 2）の各聞について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中
から lつ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択しでもよい
D
(20点
）
(1）平均 2の指数分布に従う母集団からの標本変量を（ X
1,X2,・・・,Xn）とするとき、統計量
X ＝ ~X；の従う確率分布を求める。
ア. n=2のとき
x
iCi=1,2）の確率密度関数 f（坊が
(
x三0
)
(x<O)
であることを用いると、 X=X1+X2の確率密度関数ん，2(
x
）は
となる。
イ. nミ3のとき
n=3のときを考えると、 X=X1+X2+X3の確率密度関数 f
x
,
3
(
x
）は
、
‘
，
ノ
、
‘
，
ノ
ハ
り AU
・
E 1 i1
AU
＞一＜
XX
g
JU
’
〆
s
ノ
．
、x
、
〆
s
t
ffd
、‘，／
今L
Et
c
u
’
／
︼
，
x
r
’
J
X
PEEtd
fillく11lL
今
3
1
一
一
、‘，／
X
ffd
．
，
／x
バ
と表されることから、同様の関係を帰納的に用いれば、 X ＝ ~X；の確率密度関数 fx x）は
fxn
(
x
)=
③｜吋引間）
0
(
x<0
)
となる。
すなわち、統計量 X ＝ ~X；は自由度 2n (n~ 1
) のど分布に従うことがわかる。
平
成
26年度
数学・・・・・ 1
4
(2）ある電気部品の寿命時間は指数分布に従うことが知られているが、その母平均 μは未知である。
いま、信頼係数 (
1−￡）のもとで、母平均 μの区間推定を以下の 2通りの場合に分けて行う。
ア．観測データの中途打ち切りがない場合
n個の部品の寿命時間を測定したところ、観測データとして (
t
p
f
2
,
.
・
・
,
f
n）が得られたとする。
1
ラ
；T2，
…ラ乙）とし、母平均 μの最尤推定量ムを求める。
まず、寿命時間の標本変量を（
標本変量（
1
ラ
；T2・
，・
，・Tn）の確率密度関数を尤度関数／
（
μ
）と考えて、
δ
l
o
g
/
(
μ
)
I
⑦
｜
−
｜
③
｜
θ
μ
＇
μ2
となることから、ム＝ _
!
_t~
n~
次に、
｜
となる。
玄
β
lの分布を調べるために、 T＝ ξ ＝n
f
a
1の分布を考えれば、（ 1）の結果より、統計量
⑨
ここで、
×
｜Tは自由度 2nの x
2分布に従う。
P(T~ h
1(
μ
)
)＝三、
2
h
1
(
μ
)=
σ
p h2(μ))＝三を満たす
h1 （µ）およひ~h2 （
μ
）
2
＇
？
.
を
I ⑮｜叫1 －~）
ゆ）＝｜⑩｜叫~）
として定めることができる。
なお、 x~ （ε）は自由度併の x2 分布の上倶IJ ＆点である o
したがって、標本変量を標本値に書き直して、信頼係数 (
1−￡）のもとで、母平均 μの信頼区間を
以下のとおり得ることができる。
｜⑪
I 1~
I
⑪
I 1も
xi.（~）片付＜ ι（1－~）沼
平
成
26年度
5
数学・・・・・ 1
イ．観測データの中途打ち切りがある場合
N 個（N >n）の部品の寿命時間を測定したところ、 n個の観測データとして (
t
1
'
f
2
,
・
・
,
f
n
)
(O壬f
1くら＜ … ＜ f
n）が得られ、また、残りの（
N-n）個の観測データはん以上であること
が分かつたとする。
;
_
'T2.
，・
，・Tn）の確率密度関数 f(tpf2，
…
，f
n）は
、 n個の順序統計量の確率
このとき、標本変量（ I
密度関数を考えて、
I(tpt2,..
.,
t
n
)=
。
となる。
これは母平均 μの尤度関数と考えることができるので、最尤推定量ムとして
｜⑫｜＋｜⑬｜×え
μ
2=
I
⑬
I
-
が得られる。
以下、（ 2）ア．と同様に考えて、母平均 μ の信頼区間を得ることができる。
（上記以外）
平
成 26年度
数学・...・
1
6
［①、②の選択肢］
(A) 1
4
(D)
(C) 2
(B) -
2
(E)
x
2
(J)
x
2
x
4
2
(F)
x
(G)
2x
(H)
(I)
4x
x
4
［③、④の選択肢］
(A)
x
n
1
(B)
X
n
(C)
X
2
(
n
I
)
(D)
2n
(E)
2
n
!
(F)
2
n
1
(G)
2
n
(H)
2
n
1
(
n
l
)
!
(I) 2
n(n1
)
!
(J)
2
nn
!
［⑤、⑥、⑦、③の選択肢］
(A)
n
(B)
2n
(C)
n
2
(D)
μ
(E)
n
μ
(F)
μ2
(G)
μn
ーI
(H)
μn
(J)
2
nー1
(K)
2
n
(L)
2
n
+
1
(P)
µ~）i
μ
(I) μ
n
+
I
(M)
n
~）i
(N) - ~）i
μi
=
l
c
o
) -I>i
ni
=
I
ni
=
I
［⑨、⑩、⑪の選択肢］
(A)
n
(B)
2n
(C)
μ
2
(D)
(E)
2
μ
(F)
n
μ
(G)
1
μ
(H）三
n
(J)
2n
(K)
μ
n
(L)
(I）ー
μ
μ
μ
μ
2n
平
成
26年度
数学・・・・・ 1
7
［⑫、⑬、⑭、⑬、⑮、⑫、⑬、⑬の選択肢］
(A)
n
(B)
μ
(C)
N
(D)
(N-n)
(E)
n
μ
(F)
N
μ
(G)
μ
N
n
(H)
μn
(I)
μN
(J)
2N-l
(K)
2N
(L)
2
N
+
l
(M)
n
~）i
(N) ＿
！
＿
土t
i
ni
=
l
i
=
l
(Q) ＿！＿む
(R)
(U)
μ
n
n
!
(V)
ni=l
(P）工宍
μ玄ξ
(S)
n
!
(T)
N!
μnN!
(W)
μn(N-n)!
(X)
μnn!(N-n)!
ni=l
ni=l
<
0
>μL/i
n
平
成 26 年度
数学・・・・・ 1
8
（付表）
I
.標準正規分布表
Pか
＞ 0.25)=0.4013
．
u（
ε）
→ε
*=O
*=l
事＝
2
*=3
、
*=5
*=6
*=7
*=8
*=9
0
.
4
6
4
1
0
.
4
8
0
1
0
.
4
7
6
1
0
.
4
7
2
1
0
.
4
6
8
1
0
.
4
4
0
4
0
.
4
3
6
4
0
.
4
3
2
5
0
.
4
2
8
6
0
.
4
2
4
7
0
.
4
0
1
3
0
.
3
9
7
4
0
.
3
9
3
6
0
.
3
8
9
7
0
.
3
8
5
9
0
.
3
6
3
2
0
.
3
5
9
4
0
.
3
5
5
7
0
.
3
5
2
0
0
.
3
4
8
3
0
.
3
2
6
4
0
.
3
2
2
8
0
.
3
1
9
2
0
.
3
1
5
6
0
.
3
1
2
1
0
.
2
9
4
6
0
.
2
9
1
2
0
.
2
8
7
7
0
.
2
8
4
3
0
.
2
8
1
0
0
.
2
7
7
6
0
.
2
6
1
1
0
.
2
5
7
8
0
.
2
5
4
6
0
.
2
5
1
4
0
.
2
4
8
3
0
.
2
4
5
1
0
.
2
2
3
6
0
.
2
2
0
6
0
.
2
1
7
7
0
.
2
1
4
8
0
.
1
9
4
9
0
.
1
9
2
2
0
.
1
8
9
4
0
.
1
8
6
7
0
.
1
7
1
1
0
.
1
6
8
5
0
.
1
6
6
0
0
.
1
6
3
5
0
.
1
6
1
1
0
.
1
4
9
2
0
.
1
4
6
9
0
.
1
4
4
6
0
.
1
4
2
3
0
.
1
4
0
1
0
.
1
3
7
9
0
.
1
2
7
1
0
.
1
2
5
1
0
.
1
2
3
0
0
.
1
2
1
0
0
.
1
1
9
0
0
.
1
1
7
0
0
.
1
0
9
3
0
.
1
0
7
5
0
.
1
0
5
6
0
.
1
0
3
8
0
.
1
0
2
0
0
.
1
0
0
3
0
.
0
9
8
5
0
.
0
9
1
8
0
.
0
9
0
1
0
.
0
8
8
5
0
.
0
8
6
9
0
.
0
8
5
3
0
.
0
8
3
8
0
.
0
8
2
3
0
.
0
7
2
1
0
.
0
7
0
8
0
.
0
6
9
4
0
.
0
6
8
1
0
.
0
6
0
6
0
.
0
5
9
4
0
.
0
5
8
2
0
.
0
5
7
1
0
.
0
5
5
9
0
.
0
4
9
5
0
.
0
4
8
5
0
.
0
4
7
5
0
.
0
4
6
5
0
.
0
4
5
5
0
.
0
*
0
.
5
0
0
0
0
.
4
9
6
0
0
.
4
9
2
0
0
.
4
8
8
0
0
.
1*
0
.
4
6
0
2
0
.
4
5
6
2
0
.
4
5
2
2
0
.
4
4
8
3
0
.
4
4
4
3
0
.
2
*
0
.
4
2
0
7
0
.
4
1
6
8
0
.
4
1
2
9
0
.
4
0
9
0
0
.
4
0
5
2
0
.
3
*
0
.
4本
0
.
3
8
2
1
0
.
3
7
8
3
0
.
3
7
4
5
0
.
3
7
0
7
0
.
3
6
6
9
0
.
3
4
4
6
0
.
3
4
0
9
0
.
3
3
7
2
0
.
3
3
3
6
0
.
3
3
0
0
0
.
5
*
0
.
3
0
8
5
0
.
3
0
5
0
0
.
3
0
1
5
0
.
2
9
8
1
0
.
6
*
0
.
7事
0
.
2
7
4
3
0
.
2
7
0
9
0
.
2
6
7
6
0
.
2
6
4
3
0
.
2
4
2
0
0
.
2
3
8
9
0
.
2
3
5
8
0
.
2
3
2
7
0
.
2
2
9
6
0
.
2
2
6
6
0
.
8
*
0
.
9本
0
.
2
1
1
9
0
.
2
0
9
0
0
.
2
0
6
1
0
.
2
0
3
3
0
.
2
0
0
5
0
.
1
9
7
7
0
.
1
8
4
1
0
.
1
8
1
4
0
.
1
7
8
8
0
.
1
7
6
2
0
.
1
7
3
6
1
.
0キ
0
.
1
5
8
7
0
.
1
5
6
2
0
.
1
5
3
9
0
.
1
5
1
5
1
.
1*
0
.
1
3
5
7
0
.
1
3
3
5
0
.
1
3
1
4
0
.
1
2
9
2
1
.
2
*
0
.
1
1
5
1
0
.
1
1
3
1
0
.
1
1
1
2
1
.
3
*
1
.
4キ
1
.
5キ
0
.
0
9
6
8
0
.
0
9
5
1
0
.
0
9
3
4
0
.
0
8
0
8
0
.
0
7
9
3
0
.
0
7
7
8
0
.
0
6
6
8
0
.
0
6
5
5
0
.
0
6
4
3
0
.
0
6
3
0
0
.
0
6
1
8
1
.
6キ
0
.
0
5
4
8
0
.
0
5
3
7
0
.
0
5
2
6
0
.
0
5
1
6
0
.
0
5
0
5
0
.
0
7
6
4
0
.
0
7
4
9
0
.
0
7
3
5
1
.
7キ
0
.
0
4
4
6
0
.
0
4
3
6
0
.
0
4
2
7
0
.
0
4
1
8
0
.
0
4
0
9
0
.
0
4
0
1
0
.
0
3
9
2
0
.
0
3
8
4
0
.
0
3
7
5
0
.
0
3
6
7
1
.
8本
0
.
0
3
5
9
0
.
0
3
5
1
0
.
0
3
4
4
0
.
0
3
3
6
0
.
0
3
2
9
0
.
0
3
2
2
0
.
0
3
1
4
0
.
0
3
0
7
0
.
0
3
0
1
0
.
0
2
9
4
1
.
9
*
0
.
0
2
8
7
0
.
0
2
8
1
0
.
0
2
7
4
0
.
0
2
6
8
0
.
0
2
6
2
0
.
0
2
5
6
0
.
0
2
5
0
0
.
0
2
4
4
0
.
0
2
3
9
0
.
0
2
3
3
2
.
0
*
2
.
1キ
0
.
0
2
2
8
0
.
0
2
2
2
0
.
0
2
1
7
0
.
0
2
1
2
0
.
0
2
0
7
0
.
0
2
0
2
0
.
0
1
9
7
0
.
0
1
9
2
0
.
0
1
8
8
0
.
0
1
8
3
0
.
0
1
7
9
0
.
0
1
7
4
0
.
0
1
7
0
0
.
0
1
6
6
0
.
0
1
6
2
0
.
0
1
5
8
0
.
0
1
5
4
0
.
0
1
5
0
0
.
0
1
4
6
0
.
0
1
4
3
2
.
2
*
0
.
0
1
3
9
0
.
0
1
3
6
0
.
0
1
3
2
0
.
0
1
2
9
0
.
0
1
2
5
0
.
0
1
2
2
0
.
0
1
1
9
0
.
0
1
1
6
0
.
0
1
1
3
0
.
0
1
1
0
2
.
3
*
0
.
0
1
0
7
0
.
0
1
0
4
0
.
0
1
0
2
0
.
0
0
9
9
0
.
0
0
9
6
0
.
0
0
9
4
0
.
0
0
9
1
0
.
0
0
8
9
0
.
0
0
8
7
0
.
0
0
8
4
2
.
4
*
0
.
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平
成 26年度
数学・・・・・ 20
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.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
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2
2
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.
3
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6ハ 7
6
7
.
5
0
4
8」ぃ 7
1
.
4
2
0
2
7
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.
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3
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.
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2
6
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4
.
9
1
9
5
7
6
.
1
5
3
9
平成 26 年度
数学・・・・・ 2
1
m
. 分母の自由度n、分子の自由度mのF分布の上側 ε点： p
n
m
）
ヤ
ε＝ 0
.
1
0
0
n¥m
2
3
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ε＝ 0
.
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.
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.
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削
ε＝ 0
.
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ε＝ 0
.
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.
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.
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.
0
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ε＝ 0
.
0
0
5
n¥m
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0
0
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成 26年度
数学・・・・・ 22
N. 自由度。のt分布の上倶ε
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. 自然対数表
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0
6
3
9
9
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0
2
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1
9
7
2
25
1
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3
1
6
3
1
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7
0
8
1
2
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0
5
9
5
9
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5
1
0
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0
2
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2
5
1
3
2
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3
0
2
6
以上

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