解 数学検定 第２５１回２級２次：数理技能検定 問題１ ⑴ △ＡＢＣにおいて，正弦定理より ５ ＢＣ ＝２R であるから，R＝ …① ２sinA sinA 一方，接弦定理より∠ＢＡＣ＝∠ＣＢＤであ ＢＤ ３ るから，cosA＝cos∠ＣＢＤ＝ ＝ ＢＣ ５ ４ ５ ２５ これを①に代入して，R ＝ ８ よって，sinA＝ １− ３ ５ 2 ＝ 2 これを整理すると 2 （−３x）−５ （５x 2−１２５） ＝６２５−１６x 2 であるが，②よりこれは０以上の値をとる。 よって，③は実数解 ３x ± ６２５−１６x 2 y ＝ …④ ５ ＝２５x 2−６２５＞０がわかるので ２５ ８ ６ xy ５ ５y 2 −６xy ＋５x 2−１２５＝０ …③ 問題２ ③の判別式を４でわったものは 2 ２５ ⑵ ＢＣ＜ＡＢ≦２R より，５＜ x ≦ …② ４ ＡＣ＝y とおく。△ＡＢＣにおいて，余弦定 ５ ＝x 2＋y 2−２xy cosA＝x 2＋y 2− ２−２−１ をもつ。x ＞５より， （３x ）−（６２５−１６x 2 ） （答）R ＝ 理より 答 ３x ＞ ６２５−１６x 2 よって，④の分子は±の符号によらず正であり ＡＣ＝ ３x ± ６２５−１６x 2 ５ （６２５−１６x 2 ＝０のときが直角三角形， ６２５−１６x 2 ＞０のとき， 「＋」，「−」がそれ ぞれ，鋭角三角形，鈍角三角形に対応する） （答） ＡＣ＝ ３x ± ６２５−１６x 2 ５ n −１は０以上の整数 k を用いて ①，②より n −１＝８k ８ （ k ＋６）＝９（ℓ＋５） と表されるので ８（ k ＋６）は９の倍数であり，８と９は互いに n ＋４７＝８k ＋４８＝８（ k ＋６） …① 素であるから，k ＋６は９の倍数である。 n ＋２は正の整数ℓを用いて よって，正の整数 m を用いて n ＋２＝９ℓ k ＋６＝９m と表されるので と表される。これを①に代入して n ＋４７＝９ℓ＋４５＝９ （ℓ＋５） …② n ＋４７＝８・９m ＝７２m ゆえに，n ＋４７は７２の倍数である。 問題３ 原点Ｏを通る直線は x ＝０または y ＝ax と表 される。x ＝０と（３，２）， （４，３）の距離はそれ 両辺とも０以上の値をとるので，これは 2 2 ｜３a −２｜ ＝｜４a −３｜ ぞれ３，４であるから，これは条件を満たさない。 と同値である。両辺を展開して よって，求める直線ℓは y ＝ ax ，すなわち ９a 2 −１２a ＋４＝１６a 2 −２４a ＋９ ax − y ＝０ これを整理すると と表される。 ７a 2−１２a ＋５＝０ ３a −２ ℓと（３，２）の距離は ，またℓと a 2 ＋１ ４a −３ （４，３）の距離は である。これらが等 a 2 ＋１ ３a −２ ４a −３ しいので ＝ ，すなわち 2 a ＋１ a 2 ＋１ ｜３a −２｜＝｜４a −３｜ （７a −５） （a −１）＝０ ５ よって，a ＝ ，１ ７ 求める直線ℓの方程式は x −y ＝０，５x −７y ＝０ （答） x −y ＝０，５x −７y ＝０ Ｈ２６２０Ｇ０４ ２−２−２ 問題４ １ ⑴ pn＋1−α＝ （ pn −α）を展開して整理すると ２ １ １ pn＋1＝ pn ＋ α …① ２ ２ これを，与えられた漸化式 １ １ １ pn＋1＝pn ＋ （１−pn ）＝ pn＋ …② ２ ２ ２ と比較して １ １ α＝ ２ ２ すなわち，α＝１がわかる。 ⑵ ⑴の結果より，漸化式②は １ pn＋1 −１＝ （ pn −１） ２ と変形できる。p 1 ＝０より，数列｛ pn −１｝は １ 初項０−１＝−１，公比 の等比数列であり ２ ・ pn−１＝（−１） １ ２ n−1 １ よって，pn ＝１− である。 ２ n−1 （答）α＝１ （答）pn ＝１− １ ２ n−1 問題５ ⑴ （答）（５，１７，３６） ⑵ （答）（８，１０，１２） 問題６ 生産数を毎分 x 個に設定したときの，出荷可 これを変形して 能製品の生産個数を毎時 y 個とすると y ＝−６x 2 ＋６０ x ＝ −６（ x −５）＋１５０ 2 この２次関数のグラフは上に凸であり，その k １− …① y ＝６０ x １００ 頂点の座標は（５，１５０）である。 k ＝ax （ a は定数） と表され，x ＝２のときk ＝２０ よって③の範囲において，x ＝５のとき，y は よって a ＝１０であり，k ＝１０ x …② 最大値１５０をとる。 x は０以上であり，k ≧１００のときはすべて ゆえに，求める最大の個数は毎時１５０個 不良品となるから （答）毎時１５０個 ０≦ x ≦１０ …③ ②を①に代入して １０x 2 ＋６０ x y ＝６０ x ＝−６x １− １００ 問題７ ⑴ y ＝ x 2 −２x の導関数は，y ′ ＝２x −２ 接線の傾きが１となる接点をＡ，その x 座 ３ 標を t とすると，２t −２＝１より，t ＝ ２ ３ ９ このとき t 2 −２t ＝ −３＝− であり， ４ ４ ３ ３ ，− 点 A の座標は ２ ４ よって，求める接線の方程式は ３ ３ ９ y ＝１・ x − − ＝ x − ２ ４ ４ （答）y ＝ x − ９ ４ ３ ９ ⑵ ０≦ x ≦ のとき x − ≦ x 2 −２x である ２ ４ から，求める図形の面積 S は 3 ９ 2 S ＝ 0 x 2 −２x − x − dx ４ 3 ９ 2 x 2 −３x ＋ dx ＝ 0 ４ ９ x3 ３ ＝ − x 2 ＋ x ４ ３ ２ 3 2 0 ９ ２７ ２７ ＝ − ＋ −０ ８ ８ ８ ９ ＝ ８ （答）S ＝ Ｈ２６２０Ｇ０４ ９ ８
© Copyright 2024 ExpyDoc
![提案書等作成要領 [PDFファイル／98KB]](http://s1.expydoc.com/store/data/007241190_1-62e453a252f06d58f43de94ec72534be-250x500.png)
![[2] あなたの所属を教えてください。 H26年度](http://s3.expydoc.com/store/data/007636491_1-bb6a8a26e37ce3463d774b3557efb4d5-250x500.png)
