1 - メビオ

近畿大学医学部（前期）2014 年度入学試験解答速報数学
平成２６年１月２６日実施
1
円 C1 に内接する四角形 ABCD があり，2 つの辺の長さが AB = 1, BC = 2 となっている．
̸
ABC = θ とおく．次の
問に答えよ．
(1) AC2 = m + n cos θ と表すと m =
ア
, n=
イ
である．ただし， m, n は整数とする．
(2) 四角形 ABCD の残りの辺の長さが CD = 2, DA = 4 となっている．
このとき， cos θ =
ウ
また，円 C1 の半径は
, AC =
オ
エ
である．
，四角形 ABCD の面積は
カ
である．
解答
ア. 5 イ. −4 ウ. −
√
3
4 √
5 √
エ. 2 2 オ.
14 カ.
7 4
7
4
解説
(1) 三角形 ABC に余弦定理を適用して，
AC2 = AB2 + BC2 − 2AB · BC cos θ = 5 − 4 cos θ
(2) 三角形 ACD に余弦定理を適用して，
AC2 = AD2 + CD2 − 2AD · CD cos(π − θ) = 20 + 16 cos θ．
√
3
これと (1) より cos θ = −
，AC = 2 2．
4
√
7
AC
sin θ =
と正弦定理より
= 2R が成り立つので
4
sin θ
√
2 2
4 √
14．
R=
=
2 sin θ
7
四角形 ABCD の面積は
D
4
2
A
1
△ABC + △ACD
=
=
1
1
· AB · BC sin θ +
· AD · CD sin(π − θ)
2
2
√
√
7
5 √
+ 7=
7
4
4
θ
C
B
2
2
s を 0 < s < 1 の範囲にある実数とする． △ABC において，辺 AC を 2 : 3 に内分する点を D ，辺 BC を s : 1 − s に
内分する点を E とする．また線分 BD と線分 AE の交点を F とする．次の問に答えよ．
−→
−→
(1) AF = k AE とおく． k を s を用いて表せ．
(2) △AFD の面積が △EFB の面積の 2 倍になるように s を定めよ．
(3) AB = 3, AC = 2,
−→ −→
BAC = 60◦ とする． AE ⊥ BC となるように s を定めよ．
̸
解答
(1) メネラウスの定理より
EB
CD
AF
·
·
= 1 ⇐⇒
FE
BC
DA
AF
s
3
·
·
=1
FE
1
2
−→
したがって AF : FE = 2 : 3s となるので， AF =
2
2
−→
AE がわかる．したがって k =
3s + 2
3s + 2
(2) メネラウスの定理より
DA
CE
BF
·
·
= 1 ⇐⇒
FD
AC
EB
BF
2
1−s
·
·
=1
FD
5
s
したがって BF : FD = 5s : 2(1 − s) である．題意より
（△AFD の面積）= 2（△EFB の面積） ⇐⇒
⇐⇒
FA · FD = 2FB · FE ⇐⇒ 2 · 2(1 − s) = 2 · 5s · 3s
√
−1 ± 31
2
15s + 2s − 2 = 0 ⇐⇒ s =
15
√
−1 + 31
15
−→ −→
−→ −→
−→ −→
(3) AB · AC = |AB||AC| cos 60◦ = 3 である． AE · BC = 0 より
0 < s < 1 より s =
−→
−→
−→ −→
{(1 − s)AB + sAC} · (AC − AB) = 0
⇐⇒
−→ −→
−→
−→
−→ −→
(1 − s)AB · AC − (1 − s)|AB|2 + s|AC|2 − sAC · AB = 0
⇐⇒
3(1 − s) − 9(1 − s) + 4s − 3s = 0
⇐⇒
s=
6
7
A
2
A
D
k
60◦
3
3
2
F
1−k
B
s
1−s
E
図１
C
B
E
図２
C
3
xy 平面上の点 P の x 座標， y 座標をそれぞれ Px , Py と書く． Px , Py がともに整数であるような点 P を格子点とい
う．次の問に答えよ．
(1) 原点 O と点 A(18, 12) を結ぶ線分 OA がある．線分 OA 上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端 O，A も線分
OA 上の点とする．
(2) O，A と点 B(18, 0) を頂点とする △OAB の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3) n を正の整数とする．2 点 C(n, 0), D(0, n) を考える．格子点 P が △OCD の周または内部を動くとき Px の総和を
m1 とおく．また， |Px − Py | の総和を n が偶数のとき m2 ，n が奇数のとき m3 とする． m1 , m2 , m3 を n の式で表
せ．ただし解答は an3 + bn2 + cn + d のように n の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
解答
(1) 線分 OA の方程式は y =
2
x
3
(0 <
=x<
= 18) なので，線分 OA 上の格子点は，(0, 0), (3, 2), (6, 4), (9, 6), · · · , (18, 12)
の 7 個．
(2) E(0, 12) とおく．長方形 OBAE の周および
y
E
12
A(18, 12)
内部の格子点の総数は，19 × 13 = 247 個で
ある．これと (1) の解を利用すると，求め
る格子点の個数は，
247 − 7
+ 7 = 127 個
2
（右図参照）．
B
(3) 線分 CD の方程式は y = −x + n
(0 <
=x<
= n) である．
y
まず最初に，m1 から求めよう．
x=k
x
18
O
D(0, n)
(k = 0, 1, 2, · · · , n) 上の格子点の個数は −k + n + 1 個
なので（図 1 参照），求める総和 m1 は，
m1
=
n
∑
k(−k + n + 1) =
k=0
=
n
∑
{−k2 + (n + 1)k}
k=0
1 2
1
1 3
n +
n +
n
6
2
3
−k + n + 1 個
C(n, 0)
O
k
図1
x
m2 , m3 を求める．
直線 y = x 上の点については Px = Py が成り立つことと対称性によって，直線 y = x の下側の領域 (Px > Py ) について
調べて 2 倍すればよい．
(i) n が偶数のとき
(
x + y = n と y = k の交点は (n − k, k)
n
0<
=k<
= 2
)
y
なので，
y = k 上の格子点は
y=x
(k + 1, k), (k + 2, k), · · · , (n − k, k)
であり，|Px − Py | の値は
n
2
1, 2, · · · , n − 2k
y=k
その和は
1
(n − 2k + 1)(n − 2k)
2
O
図2
したがって，
x
n−k
k k+1
x+y =n
n
m2 = 2
2
∑
1
k=0
2
1 3
3 2
5
n +
n +
n
6
4
6
(n − 2k + 1)(n − 2k) =
(ii) n が奇数のとき
同様にして，
y
n−1
m3 = 2
2
∑
1
k=0
2
(n−2k+1)(n−2k) =
1 3
3 2
5
1
n +
n +
n+
6
4
6
4
y=x
n−1
2
y=k
O
n−k
k k+1
図3
x
x+y =n
m2 ，m3 を求める別解
y
x − y > 0 の部分の総和を求めて，それを 2 倍する方針でいく．
x − y = k ⇔ y = x − k (1 <
= k <
= n) 上の格子点の個数は，
この直線と CD の交点が
[
]
(
n+k
n−k
,
2
2
)
D(0, n)
この直線上では |Px − Py | = k
であることより，
n−k
+ 1 個である（図 4 参照）．ここで [x] は x を超えない
2
最大の整数を表す．いわゆるガウス記号．以下，この個数を ak と
おく．
y =x−k
n−k
2
[
n−k
2
]
+1個
C(n, 0)
k
まず，n が偶数であるとき，n = 2N （N は正の整数）とおくと，
① k = 2l − 1
(l = 1, 2, · · · , N ) のとき，
[
ak =
② k = 2l
2N − 2l + 1
2
]
[
+1= N −l+
1
2
]
+1=N −l+1
(l = 1, 2, · · · , N ) のとき，
[
ak =
2N − 2l
2
]
+ 1 = [N − l] + 1 = N − l + 1
図4
x
したがって①②より，求める総和 m2 は，
m2
=
2
n
∑
{
kak = 2
k=1
=
N
∑
N
∑
l=1
l=1
(2l − 1)(N − l + 1) +
···
=
1
1
n
N (N + 1)(4N + 5) =
·
3
3
2
=
1 3
3 2
5
n +
n +
n
6
4
6
(
}
(2l)(N − l + 1)
)
n
+ 1 (2n + 5)
2
(
... N = n
2
)
次，n が奇数であるとき，n = 2N − 1 とおくと，
① k = 2l − 1
(l = 1, 2, · · · , N ) のとき，
[
(2N − 1) − (2l − 1)
2
ak =
② k = 2l
]
+ 1 = [N − l] + 1 = N − l + 1
(l = 1, 2, · · · , N − 1) のとき，
[
ak =
(2N − 1) − 2l
2
]
[
+1= N −l−
1
2
]
+ 1 = (N − l − 1) + 1 = N − l
したがって①②より，求める総和 m3 は，
m3
=
2
n
∑
k=1
=
{
kak = 2
N
∑
N −1
l=1
l=1
(2l − 1)(N − l + 1) +
···
=
1
n+1
1
N (N + 1)(4N − 1) =
·
3
3
2
=
1
(n + 1)(n + 3)(2n + 1)
12
=
1 3
3 2
5
1
n +
n +
n+
6
4
6
4
(
∑
}
(2l)(N − l)
)
n+1
+ 1 (2n + 2 − 1)
2
(
... N = n + 1
2
)
近大前期 2014 講評
1 図形問題 (円に内接する四角形)
レベルは易
典型問題であり，ぜひとも完答したい．
2 平面ベクトル (三角形)
レベルは易
計算も簡単である．メネラウスの定理を用いてすっきりやりたい．これもぜひとも完答しておきたい．
3 格子点
レベルは難
(3) は方針も立ちにくいし，それをクリアしても計算が重く，完答は難しいだろう．
題材的にはどれも典型題ではあるが，難易の差が激しく 1，2 番は完答したが 3 番は途中までしかできなかった，という生徒が
多かったろう．差が付きにくいセットだったと言える．1 番 2 番を完答して 3 番でどこまで戦えるかが勝負の分かれ目．合格に
は最低でも 8 割程度は必要であろう．
メビオ
医歯学部進学予備校〒 540–0033 大阪市中央区石町 2–3–12 ベルヴォア天満橋
TEL 06–6946–0109 FAX 06–6941–9416 URL http://www.mebio.co.jp/

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