京大理系数学 2014 解答例 ! 座標空間における次の 3 つの直線 l ,m ,n を考える: l は点 A(1 ,0 ,- 2) を通り,ベクトル u = (2 ,1 ,- 1) に平行な直線である. m は点 B(1 ,2 ,- 3) を通り,ベクトル v = (1 ,-1 ,1) に平行な直線である. n は点 C(1 ,- 1 ,0) を通り,ベクトル w = (1 ,2 ,1) に平行な直線である. P を l 上の点として,P から m ,n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q ,R とする. このとき,PQ2 + PR2 を最小にするような P と,そのときの PQ2 + PR2 を求めよ. 《解答》 l : (x ,y ,z) = (1 ,0 ,- 2) + s(2 ,1 ,- 1) (s は実数) m : (x ,y ,z) = (1 ,2 ,- 3) + t(1 ,- 1 ,1) (t は実数) n : (x ,y ,z) = (1 ,- 1 ,0) + u(1 ,2 ,1) (u は実数) P は l 上の点より (1 + 2s ,s ,- 2 - s) とおくことができ,P から m ,n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q ,R とすると,Q は m 上,R は n 上であ るから, Q (1 + t ,2 - t ,- 3 + t) ,R (1 + u ,- 1 + 2u ,u) とおけ, L PQ = (t - 2 s ,- t - s + 2 ,t + s - 1) , L PR = (u - 2 s ,2 u - s - 1,u + s + 2) である. L L PQ ^ v ,PR ^ w であるから, L PQ •v = 0 - t = 1,s = 2 u ººº 1 L PR • w = 0 である. よって, PQ2 + PR2 = {(t - 2s)2 + (2 - t - s)2 + (- 1 + t + s)2} + {(u - 2s)2 + (- 1 + 2u - s)2 + (2 + u + s)2} であり,1 を用いると PQ 2 + PR 2 = 21 2 s +7 2 である. ゆえに,PQ2 + PR2 は s = 0 すなわち P (1 ,0 ,- 2) のとき最小であり, その最小値は 7 ………(答) である. (30 点) 京大理系数学 2014 解答例 @ 2 つの粒子が時刻 0 において GABC の頂点 A に位置している.これらの粒子 は独立に運動し,それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば,ある時刻で点 C にいる粒子は,その 1 秒後には点 A または点 B にそ れぞれ 1 の確率で移動する.この 2 つの粒子が,時刻 0 の n 秒後に同じ点にい 2 る確率 p(n) を求めよ. 《解答》 時刻 0 の n 秒後(n は 0 以上の整数)に 2 つの粒子が同じ頂点に位置して いる事象を X とすると,遷移は次のようになる. X 1 2 X 1 4 1 2 3 4 よって 1 1 + {1 - p( n)} ¥ 2 4 1 p( n) + 4 1 1 = p( n) 4 3 p( n + 1) = p( n) ¥ - 1 4 1 p( n + 1) 3 p( n + 1) = { } が成り立つ. 条件より,p(0) = 1 であるから,求める確率 p(n) は 1 = p(0) 3 2 1 n 1 p( n) = ∑ + 3 4 3 p( n) - - である. ªº ªº 1 1 ∑ 3 4 n ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ºº ) (30 点) 京大理系数学 2014 解答例 # GABC は,条件 –B = 2–A ,BC = 1 を満たす三角形のうちで面積が最大の ものであるとする.このとき,cos–B を求めよ. (35 点) これを用いると,S(q) の増減表は次のようになる. q 0 º a º S ' (q) S (q) + 0 W p 3 Q よって,q = a のとき S(q) は最大値をとる.求める cos –B の値は cos ∠B = cos 2 a 《解答》 = –A = q とすると,条件より –B = 2–A = 2q である. であり,–C = p - 3q であるから 0 < 3q < p - 0 < q < p 3 である. GABC において,正弦定理より AB 1 = sin(p - 3q) sin q - AB = sin 3q = 3 - 4 sin 2 q sin q であるから,GABC の面積を S(q) とすると 1 ∑ 1 ∑ (3 - 4 sin 2 q) ∑ sin 2q 2 1 = (1 + 2 cos 2q) sin 2q 2 1 = (sin 2q + sin 4 q) 2 S (q) = である.これより S '(q) = cos 2q + 2 cos 4 q = 4 cos 2 2q + cos 2q - 2 である. ここで, 0 < q < - p より, 3 1 < cos 2q < 1 2 である.4x2 + x - 2 = 0 を解くと, x= - 1 ± 33 8 であり, 1 - 1 + 33 - 1 - 33 <- < <1 8 2 8 であるから,S'(q) = 0 つまり cos 2q = - 1 + 33 8 となる q の値 q = a が 0 < q < p にただ 1 つ存在する. 3 - 1 + 33 8 京大理系数学 2014 解答例 $ 実数の定数 a ,b に対して,関数 f(x) を f(x) = ax + b x2 + x + 1 で定める.すべての実数 x で不等式 (35 点) - (a + 1)2 + b+1≥ 0 4 (a - 1)2 -b+1≥ 0 4 1 b ≥ (a + 1)2 - 1 4 1 b ≤ - (a - 1)2 + 1 4 - である.これを図示すると,次図の色付き部分となる.(境界線を含む.) f(x) ≤ f(x)3 - 2f(x)2 + 2 が成り立つような点 (a ,b) の範囲を図示せよ. b 1 b = (a + 1)2 - 1 4 《解答》 f(x) ≤ f(x)3 - 2f(x)2 + 2 ……… 1 - {f(x) + 1}{f(x) - 1}{f(x) - 2} ≥ 0 - - 1 ≤ f(x) ≤ 1 ,2 ≤ f(x) - 3 -1 である. f(x) = ax + b x2 + x + 1 の分母について ª x2 + x + 1 = x + 1 2 º + 43 > 0 2 である.また,f(x) は連続で lim f(x) = 0 xƱ• であるから,すべての実数 x に対して不等式 1 が成り立つための条件は - 1 ≤ f(x) ≤ 1 がすべての実数 x で成り立つことである.すなわち, - 1 ≤ f(x) ≤ 1 ax + b - -1≤ 2 ≤1 x + x +1 - - (x 2 + x + 1) ≤ ax + b ≤ x 2 + x + 1 x 2 + (a + 1)x + b + 1 ≥ 0 - 2 x - (a - 1)x - b + 1 ≥ 0 がすべての実数 x で成り立つことである. ª a 2+ 1 º - (a +4 1) a -1 - (a - 1)x - b + 1 = ª x º - (a -4 1) 2 x 2 + (a + 1)x + b + 1 = x + x2 より,求める a ,b の条件は 2 2 2 2 +b +1 -b +1 1 a 1 3 -1 1 b = - (a - 1)2 + 1 4 O 京大理系数学 2014 解答例 % 自然数 a ,b はどちらも 3 で割り切れないが,a3 + b3 は 81 で割り切れる. このような a ,b の組 (a ,b) のうち,a2 + b2 の値を最小にするものと,その ときの a + b の値を求めよ. 2 2 (35 点) (ii) A + B ≥ 18 のとき A ,B の少なくとも一方は 9 以上であるから,a ,b の少なくとも一方は 3 • 9 - 1 = 26 以上である.よって a2 + b2 ≥ 262 > 365 である. ( i ) ,(ii) より,a2 + b2 は (a , b) = (13 , 14) ,(14 , 13) のとき 最小値 a2 + b2 = 365 《解答》 をとる. 整数 n に対して (3n ± 1) = 27n ± 27n + 9n ± 1 (複号同順) 3 3 2 であるから,整数 k ,l に対して (3k + 1)3 + (3l + 1)3 を 3 で割った余りは 2 (3k - 1)3 + (3l - 1)3 を 3 で割った余りは 1 (3k + 1)3 + (3l - 1)3 を 3 で割った余りは 0 である. よって,3 の倍数ではない 2 つの自然数 a ,b に対し,a3 + b3 が 3 の倍数 となるのは,a ,b を 3 で割った余りが異なる場合に限られる. よって a = 3A + 1 ,b = 3B - 1 (A ,B は A ≥ 0 ,B ≥ 1 を満たす整数) として,一般性を失わない. このとき a3 + b3 = (3A + 1)3 + (3B - 1)3 = 27(A3 + B3) + 27(A2 - B2) + 9(A + B) = 9(A + B){3(A2 - AB + B2) + 3(A - B) + 1} であり,A2 - AB + B2 ,A - B はともに整数であるから 3(A2 - AB + B2) + 3(A - B) + 1 は 3 の倍数ではない. よって,a3 + b3 が 81 の倍数になるための条件は A + B が 9 の倍数である ことである. (i) A + B = 9 のとき (A , B) = (0 , 9) ,(1 , 8) ,(2 , 7) ,(3 , 6) ,(4 , 5) ,(5 , 4) , (6 , 3) ,(7 , 2) ,(8 , 1) \ (a , b) = (1 , 26) ,(4 , 23) ,(7 , 20) ,(10 , 17) ,(13 , 14) , (16 , 11) ,(19 , 8) ,(22 , 5) ,(25 , 2) であり,これらの中で a2 + b2 が最小となるのは (a , b) = (13 , 14) のときで,このとき a2 + b2 = 132 + 142 = 365 である. 京大理系数学 2014 解答例 ^ (35 点) よって,面積を求める図形は,図の色付き部分で,その面積を S とおくと S= 双曲線 y = 1 の第 1 象限にある部分と,原点 O を中心とする円の第 1 象限に x ある部分を,それぞれ C1 ,C2 とする.C1 と C2 は 2 つの異なる点 A ,B で交わ り,点 A における C1 の接線 l と線分 OA のなす角は p であるとする.このと 6 き,C1 と C2 で囲まれる図形の面積を求めよ. 1 5 5 - ∑ 2 cos p ∑ 2 sin p 2 12 12 p = 2 3 +1 p - log 3 3 -1 2 = p - log 2 + 3 3 = である. ª º y= 1 x (t > 0) とおくと,直線 OA の傾きは fi y ¢ = - より,接線 l の傾きは - 1 である. t2 1 x2 1 である. t2 対称性より, 5p 1 1 p = tan = 2 + 3 または = tan = 2 - 3 t2 t2 12 12 1 1 \ t 2 = 2 - 3 , 2 = 2 + 3 または t 2 = 2 + 3 , 2 = 2 - 3 t t である. C2 の半径を r とおくと, r = t2 + 1 =2 t2 であるから,2 点 A ,B の座標は ª 2 cos º ª 5p 5p p p ,2 sin , 2 cos ,2 sin 12 12 12 12 º である. y C1 A (B) C2 p 6 q O 2cos 2 p - [ log x ] 125 2cos p 3 12 ( 《解答》 1 A t , t 1 2 p 1 p p ∑ 2 ∑ + ∑ 2 cos ∑ 2 sin 2 3 2 12 12 B (A) x ) 5 p 12 5 2cos p 12 ∫ 2cos dx x
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