2014/8/12再修正版

３変数斉次巡回不等式についての進展
安藤哲哉 (千葉大理学研究科)
2014 年 8 月 12 日再修正版
2012 年 9 月 10 日に「不等式」安藤哲哉著，数学書房を発行したが，それ以降
に新たに発見した諸定理を紹介する．紙面の関係で，定理だけ列挙する．
定理 1. A, B, C, D ∈ R に対し，
f (a, b, c) = (a4 + b4 + c4 ) + A(a3 b + b3 c + c3 a)
+ B(ab3 + bc3 + ca3 ) + C(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + Dabc(a + b + c)
とおく．このとき，任意の a, b, c = 0 に対して，f (a, b, c) = 0 が成り立つため
の必要十分条件は，以下の (1)∼(4) のいずれかが成立することである．
(1)
α1 := 1 + A + B + C + D,
β1 := 6 + 3A + 3B + 2C + D,
γ1 := 2(1 + A + B), δ1 := 2 + 2C − A2 − AB − B 2 − A − B − D,
√
√
ϕf (x) := 2 α1 x3 − β1 x2 + γ1 α1 x + δ1
√ √
とおくとき，α1 = 0 であって，ある x ∈ (− 3, 3 ) が存在して ϕf (x) = 0
を満たす．
(2) A = B, A2 − 4A = 4C, A2 + 2A = 2D
(3) 2s4 + As3 − Bs − 2 = 0 の実数解 s = 0 で，
1
γ3 := C + 3s2 + 2As − 2
s
A
δ3 := D + (2s + A)(s − 1)(s2 + 1) +
s
とおくとき，γ3 = 0, γ3 + δ3 = 0 を満たす s が存在する．
(4) 2s4 + As3 − Bs − 2 = 0 の実数解 s = 0 で，
t := 2s2 + As,
γ4 := C + 3s2 + 2ps −
1
s2
2s5 − 3s4 + s2 − 2s + 1
s2
とおくとき，t = 1, γ4√= 0 かつ γ4 = δ4 が成り立つようなものが存在する．
√
A2 + 8 − A
B2 + 8 + B
この s は (自動的に )
5s5
を満たす．
4
2
δ4 := D + (s − 1)2 p +
系 2.
f (a, b, c) = (a4 + b4 + c4 ) + A(a3 b + b3 c + c3 a)
+ B(ab3 + bc3 + ca3 ) + C(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + Dabc(a + b + c)
は f (1, 1, 1) = 0 を満たすと仮定する．このとき，任意の a, b, c ∈ R+ に対し
て，f (a, b, c) = 0 が成り立つための必要十分条件は，以下の (1), (2) のいずれか
が成立することである．
(1) A2 + AB + B 2 5 3C + 3 が成り立つ．
(2) 2s4 + As3 − Bs − 2 = 0 が以下の条件を満たす実数解 s = 0 を持つ．
1
t := 2s2 + As, γ3 := C + 3s2 + 2As − 2
s
√
A2 + 8 − A
とおくとき，t = 1, γ3 = 0 が成り立つ．この s は (自動的に )
5
4
√
B2 + 8 + B
s5
を満たす．
2
定理 3.
f (a, b, c) = (a4 + b4 + c4 ) + p(a3 b + b3 c + c3 a)
+ q(ab3 + bc3 + ca3 ) + r(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + sabc(a + b + c),
ϕ(x, y, z) := x2 y 2 z 2 − 4x3 y 3 + 18x3 yz + 18xy 3 z − 4x2 z 3 − 4y 2 z 3
− 27x4 − 27y 4 + 16z 4 − 6x2 y 2 − 80xyz 2
+ 144x2 z + 144y 2 z − 192xy − 128z 2 + 256.
とおく，今，f は f (1, 1, 1) = 0 を満たすと仮定する．このとき，任意の a, b,
c ∈ R+ に対して，f (a, b, c) = 0 が成り立つための必要十分条件は，以下の (1)
∼(6) のいずれかが成立することである．
√
(1) r = −2, p 5 −2 r + 2, p + q = 0, かつ ϕ(p, q, r) 5 0.
√
(2) r = −2, q 5 −2 r + 2, p + q = 0, かつ ϕ(p, q, r) 5 0.
√
√
√
(3) r = −2, − r + 4 5 p + q 5 0, p = −2 r + 2, q = −2 r + 2, かつ
ϕ(p, q, r) = 0.
√
√
(4) r = −2, p = −2 r + 2, q = −2 r + 2, かつ p + q = 0.
(5) r = 0, かつ p2 + pq + q 2 5 3r + 3.
(6) r 5 −2, p + q = 0 かつ ϕ(p, q, r) 5 0.
証明は千葉大の私のホームページにあるので，[安藤哲哉] で検索し，
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/˜ando/index.html
を見つけてもらい，
「不等式」正誤表の補遺か，または，論文・プレプリコーナー
の論文 [9] を download して下さい．

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