電気磁気学Ⅱ及び演習平成 26 年度実力試験 II 解答例
(2014 年 11 月 25 日)(100 点満点)
注意：問題１，２，３，４をそれぞれ別の答案用紙に解答すること。計算過程を示すこと。
問題１
図１に示すように x 軸に沿って点 O ( x, y )  (0,0) から x  3L まで延び，一定電流 I が流れる長さ 3L の細い直線
状の導線を考える。点 O から  y 軸方向に距離 L 離れた点 P がある。以下の小問(1)-(4)に答えよ。ただし，ベクト
ルの方向を示す時は，x,y,z 軸方向の単位ベクトル i , j , k を用いること。(25 点)
(1) 電流要素 Idx から点 P までの距離をr とするとき，電流要素 Idx が点 P に作る磁場 dB の大きさ dB を dx とr を
用いて表せ。ただし，電流要素 Idx から点 P に向かう単位ベクトル rˆ と電流要素 Idx の間の角度を とする。(6
点)
 I dx sin 
 dB  0
Idx  rˆ  Idxrˆ sin   Idx sin  ，ビオ･サヴァールの法則より
4π
r2
(2) (1)の磁場 dB を ， d の式に変換せよ。(6 点)
sin(π   ) 
ここで，
L
L
L
L
より r 
，また tan( π   )  より x  
r
sin 
x
tan 
L
L
dx

より dx 
d
2
d sin 
sin 2 
 dB 
0 I
4πL
sin  d
(3) (2)の磁場 dB を に関して積分し，
長さ 3L の直線状導線が点 P に作る磁場 B P の大きさとその方向を求めよ。
(6 点)
1 
π
5π
から 2 
まで積分する
2
6
BP 
0 I
2
4 πL 
sin d 
1
0 I 
3 0 I
 5π 
 π 
 cos   cos  

4πL 
8πL
 6 
 2 
 BP 
3 0 I
(k )
8πL
(4) 直線状導線の長さが点 O から x   まで延びた場合 (0  x  ) ，導線が点 P に作る磁場 Bpi を求めよ。(7 点)
(2)の磁場 dB を1 
B Pi 
0 I
2
4 πL 
1
π
から 2  π まで積分する
2
sin  d 
0 I 
 π   I
 cosπ   cos   0

4 πL 
 2   4 πL
問題１の図
 BPi 
問題２の図
0 I
4πL
問題２
図２のように，y 軸方向に無限に長い直線導線があり，電流 I が流れている。またこの直線導線と同じ xy 平面内に
直角三角形ループ(pqr)があり，これにも電流 I が流れている。直角三角形ループは直線導線に平行な辺 pq の長さ
が a ，辺 qr の長さが b であり，辺 pq は直線導線から距離 c 離れた位置にある。真空の透磁率を  0 として以下の小
問(1)-(4)に答えよ。ただし，ベクトルの方向を示す時は，x,y,z 軸方向の単位ベクトル i , j , k を用いること。(25 点)
(1) 直線導線からの距離 x ( x  0, z  0 ) 離れたところでの磁場 B の大きさと方向を求めよ。(7 点)

アンペールの法則より B  ds   0 I , B ( 2 πx )   0 I
B
0 I
2πx
(k )
(2) 直線導線が作る磁場 B が，電流 I が流れる直角三角形ループの辺 pq の導線部分に作用する電磁力 Fpq の大き
さと方向を求めよ。(6 点)
Fpq  I l pq  B
Fpq 
0 I 2a
2 πc
ここで， B 
( j  k ) 
0 I 2a
2 πc
0 I
2πc
(k ) ， l pq  a( j ) より
(i )
 Fpq 
0 I 2a
2 πc
( i )
(3) 直角三角形ループの辺 qr 上では，直線導線が作る磁場は距離 x の関数となり一定ではない。辺 qr の導線上の
微小要素 dx に作用する電磁力 dFqr の大きさと方向を求めよ。(6 点)
dFqr  I dx  B
dFqr 
0 I 2
2πx
ここで， B 
dx ( i   k ) 
0 I 2
2 πx
0 I
2πx
(k ) ， dx  dx(i ) より
dx ( j )
 dFqr 
0 I 2
2 πx
dx ( j )
(4) (3)で求めた dFqr を x について線積分し，直線導線が作る磁場が辺 qr の導線部分に作用する磁気力 Fqr の大き
さと方向を求めよ。(6 点)

Fqr  dFqr 
0 I 2
2π

bc
c
 I2
 I2 b c
1
dx( j )  0 ln x  bc  c ( j )  0 ln
( j )
x
2π
2π
 c 
 Fqr 
0 I 2
b c
ln
( j )
2π
 c 
問題３ (1) 導線１が，導線１の中心から距離 x (x > a) の位置に作る磁場ベクトル B 1 を求めよ。アンペールの法則より
!∫ B ⋅ ds = 2π xB = µ I # = µ I ．また、方向は右ネジの法則より −k 方向。
1
1
0
0
C
よって、 B1 = −
µ0 I
k . (3+3 点)
2π x
（2）導線２が，導線２から距離 d − x ( x < d − a ) の位置に作る磁場ベクトル B2 を求めよ。 ∫ B
2
⋅ ds = 2π ( d − x ) B2 = µ0 I ′ = 2 µ0 I. 方向は右ネジの法則より -k 方向。
C
よって、 B2 = −
µ0 I
k. (3+3 点)
π (d − x)
(5) （3）導線１から距離 x (x > a) の位置にある幅 dx ，長さ l の面積要素 dA を通過する磁束 dΦ m を， ˆ ) (1)と(2)の結果を使って求めよ。(ヒント： dΦ m = B ⋅ dA = B ⋅ ndA
B = B1 + B 2 = −
µ0 I
µ0 I
µ I" 2
1%
µ I x+d
k−
k=− 0 #
+ &k = − 0
k. 2π x
π (d − x)
2π $ d − x x '
2π x ( d − x )
単位法線ベクトル nˆ の方向について、 nˆ = −k とし、
ˆ =
dΦ m = B ⋅ dA = B ⋅ ndA
µ0 I $ 2
1'
µ I$ 2
1'
+ ( dA = 0 %
+ ( ldx. (6 点)
%
2π & d − x x )
2π & d − x x )
（4）(3)の磁束 dΦ m を x = a から x = d − a まで積分することにより，導線１と２の間の長さ l の部分を通過する全磁束 Φ m を求めよ。 µ0 I $ 2
1'
µ Il d−a $ 2
1'
+ ( ldx = 0 ∫ %
+ (dx
%
a
&d − x x)
2π & d − x x )
2π
(7 点 µ 0 Il $
a
d − a ' 3µ 0 Il d − a
=
+ ln
ln
.
%−2 ln
(=
2π &
d−a
a ) 2π
a
Φm =
∫ dΦ
m
=
∫
d−a
a
導線１導線２ dx
I
x
a
z
dA 1
d
y
2I
x
問題３の図
a
問題４
(1) 領域 0 < r < a の磁束密度 B を求めよ。(6 点) アンペールの法則
∫ Bids = 2π rB = µ0 I ′ . I ′ =
C
µ I
π r2
I = I ( r 2 / a 2 ) より， B = 0 2 r.
2
2π a
πa
(2) 領域 a < r < 2a の磁束密度 B を求めよ。(6 点) 2π rB = µ0 I ′ = µ0 I, B =
µ0 I
.
2π r
(3) 領域 r > 2a の磁束密度 B を求めよ。(6 点) 2π rB = µ0 I ′ = µ0 ( I − I ) = 0, B = 0.
(4) 図３のように r = a と r = 2a の間にある幅 a ，高さ l の長方形ループを考える。このループを貫く磁束 Φ m を求めよ。(7 点) Φm =
2a
2a
a
a
∫ Bldr =
∫
µ0 I
µ Il
.ldr = 0
2π r
2π
2a
∫
a
dr ln 2
=
µ0 Il.
r
2π
長方形ループ
l
I
a
I
y
r
0
a
問題４の図
2a