−→ OP = −→ OA + p −→ u = (1, 0, −2) + p(2, 1, −1) = (2p + 1, p, −p

2014 年京都大学理系
解答
1
点 P, Q, R はそれぞれ直線 l, m, n 上にあるから，
−→ −→
−
→
OP = OA + p u = (1, 0, −2) + p(2, 1, −1) = (2p + 1, p, −p − 2)
−−→ −→
−
→
OQ = OB + q v = (1, 2, −3) + q(1, −1, 1) = (q + 1, −q + 2, q − 3)
−→ −→
−
→
OR = OC + r w = (1, −1, 0) + r(1, 2, 1) = (r + 1, 2r − 1, r)
(p, q, r は実数 )
と表される。
−→ −−→ −→
PQ = OQ − OP = (q − 2p, −q − p + 2, q + p − 1)
は m と垂直であるから，
−
→ −→
v PQ = (q − 2p) − (−q − p + 2) + (q + p − 1) = 0
−→
∴ q = 1, PQ = (1 − 2p, −p + 1, p)
また，
−→ −→ −→
PR = OR − OP = (r − 2p, 2r − p − 1, r + p + 2)
は n と垂直であるから，
−
→ −→
w PR = (r − 2p) + 2(2r − p − 1) + (r + p + 2) = 0
)
1
3
−→ ( 3
∴ r = p, PR = − p, −1,
p+2
2
2
2
このとき，
(3
)2
( 3 )2
2
2
2
2
2
2
p+2
PQ + PR = (1 − 2p) + (−p + 1) + p + − p + (−1) +
2
2
21 2
=
p +7
2
は p = 0 のとき最小であり，このとき
P(1, 0, −2), 最小値 7 (答)
である。
— 1 —
2014 年京都大学理系
解答
2
n + 1 秒後に 2 つの粒子が同じ頂点にいるのは，
• n 秒後に同じ頂点にいて，次の 1 秒で 2 つの粒子が同じ向きに動く
• n 秒後に隣の頂点にいて，次の 1 秒で 2 つの粒子がともにいなかっ
た頂点に動く
のいずれかの場合であるから，
( 1 )2
1
p(n + 1) = p(n) +
{1 − p(n)}
2
2
1
1
1
= p(n) +
······ ⃝
4
4
1
1
1
α = α + とおくと α = となるから，
4
4
3
1
1
1
1
2
=
× +
······ ⃝
3
4
3
4
⃝
2 より
1 −⃝
1
1{
1}
p(n + 1) −
=
p(n) −
3
4
3
{
}
1
1
1
2
1
p(n) −
は初項 p(0) −
=1−
= , 公比の等比数列であるから，
3
3
3
3
4
(
)
n
2 1
1
=
p(n) −
3
3 4
2 ( 1 )n
1
+
∴ p(n) =
(答)
3
3 4
— 2 —
2014 年京都大学理系
解答
∠A = θ, AB = x とおくと， 0 < θ + 2θ < π より
π
0<θ<
3
正弦定理より
x
1
=
sin(π − 3θ)
sin θ
3
A
θ
x
補角の公式を用いて
sin(π − 3θ)
sin 3θ
2θ
x=
=
B
C
sin θ
sin θ
1
△ABC の面積 S は
1
S=
x 1 sin 2θ
2
1 sin 3θ
=
2 sin θ cos θ
2 sin θ
= sin 3θ cos θ
1
= (sin 4θ + sin 2θ)
2
dS
1
= (4 cos 4θ + 2 cos 2θ)
dθ
2
= 2(2 cos2 2θ − 1) + cos 2θ
= 4 cos2 2θ + cos 2θ − 2
)
2 ( 1
0 < 2θ < π − < cos 2θ < 1 において
3
2
√
dS
1
−1 + 33
< 0 ⇐⇒ − < cos 2θ <
dθ
2
8
( 2 )
⇐⇒ 2α < 2θ < π
3
( π)
⇐⇒ α < θ <
3
(
)
√
−1 + 33 (
π)
ただし， α は cos 2α =
0<α<
を満たす定数
8
3
であるから， α の関数として S の増減は
(π)
θ
(0)
α
3
dS
+
0
−
dθ
S
↗ 極大 ↘
であり，
S は θ = α で極大かつ最大
— 3 —
2014 年京都大学理系
解答
である。このとき， cos ∠B = cos 2θ は
√
−1 + 33
cos ∠B =
(答)
8
(注 ) S を
1 sin 3θ
1 sin 2θ
2 sin θ
1 3 sin θ − 4 sin3 θ
=
sin 2θ
2
sin θ
1
= (3 − 4 sin2 θ) sin 2θ
2
(1
)
3 − 2(1 − cos 2θ)
=
sin 2θ =
+ cos 2θ sin 2θ
2
2
と変形して，
(1
)
dS
= −2 sin 2θ sin 2θ +
+ cos 2θ 2 cos 2θ
dθ
2
= 2(cos2 2θ − 1) + cos 2θ + 2 cos2 2θ
= 4 cos2 2θ + cos 2θ − 2
としてもよい。いずれにしても，問題文の
「 cos ∠B (= cos 2θ)を求めよ」
dS
というヒントがなければ，導関数
を cos 2θ で整理する方針は気づき
dθ
にくいかもしれない。
S=
— 4 —
2014 年京都大学理系
解答
f (x)3 − 2f (x)2 − f (x) + 2 = {f (x) − 2}{f (x) − 1}{f (x) + 1} = 0
が成り立つのは，
− 1 5 f (x) 5 1 または f (x) = 2
の範囲にあるときである。
(
1 )2
3
x2 + x + 1 = x +
+
>0
2
4
より f (x) は全実数で定義され，
lim f (x) = 0
4
x→±∞
)
となる連続関数であるから，(f (x) = 2 を満たす x はなく，
− 1 5 f (x) 5 1
が成り立つことが条件である。
ax + b
f (x) = 2
, x2 + x + 1 > 0 より
x +x+1
− (x2 + x + 1) 5 ax + b 5 x2 + x + 1
{ 2
x + (a + 1)x + b + 1 = 0
∴
x2 − (a − 1)x − b + 1 = 0
これがすべての実数 x で成り立つ条件を求めればよいが，
(
1
a + 1 )2
− (a + 1)2 + b + 1
x2 + (a + 1)x + b + 1 = x +
2
4
(
)2
a
−
1
1
x2 − (a − 1)x − b + 1 = x −
− (a − 1)2 − b + 1
2
4
であるから，その条件は
1
1
− (a + 1)2 + b + 1 = 0 かつ − (a − 1)2 − b + 1 = 0
4
4
1
1
∴
(a + 1)2 − 1 5 b 5 − (a − 1)2 + 1
4
4
これを ab 平面上に図示すると，次図の網目部分 (境界も含む ) となる。
y
1
√
− 3 −1
O
1
−1
— 5 —
√
3
x
(答)
2014 年京都大学理系
解答
5
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) = (a + b){(a + b)2 − 3ab}
は 3 で割り切れ， 3 は素数であるから，
a + b は 3 で割り切れる。
a, b はともに 3 で割り切れないから，
(a + b)2 − 3ab は (3 で割り切れるが，) 9 で割り切れない
ので， a3 + b3 が 81 で割り切れるための必要十分条件は
a + b が 27 で割り切れる
ことである。
a2 + b2 の最小値を求めるには，
a + b = 27
のときだけ考えれば十分であり，
a2 + b2 = a2 + (27 − a)2
= 2a2 − 54a + 729
(
27 )2
729
=2 a−
+
2
2
1
27
= 13 + であり， a が 3 で割り切れないことを考え，
2
2
(a, b) = (13, 14), (14, 13) (答)
のとき
最小値 132 + 142 = 365 (答)
をとる。
— 6 —
2014 年京都大学理系
解答
6
C1 と C2 は，O を通る直線 y = x に関して対称であるから，
(
(1
)
1)
1
A a,
, B
, a , a<
a
a
a
として一般性を失わない。
1
A における C1 の接線 l の傾きは x = a における y =
の微分係数であり，
x
(π
)
1
( l の傾き) = − 2 = tan α
<α<π
a
2
(
1
π)
( OA の傾き) = 2 = tan β 0 < β <
a
2
とおくと，
π
α−β =
6
加法定理より
1
1
− 2− 2
tan α − tan β
−2a2
a
a
tan(α − β) =
=
= 4
1 + tan α tan β
a −1
1 1
1− 2
2
a a
であるから，
−2a2
π
1
= tan
=√
4
a −1
6
3
√
a4 + 2 3 a2 − 1 = 0
√
√
(a2 + 3 + 2)(a2 + 3 − 2) = 0
0 < a < 1 より
(√
)2
√
√
3 −1
4−2 3
2
=
a =2− 3 =
2
2
√
√
√
3 −1
6− 2
∴ a= √
=
2
2
(π
)
π
∠AOB = β −
− β = 2β −
を求めると，加法定理より
2
2
(
)
(
)
π
π
tan 2β −
− 2β
= − tan
2
2
1
=−
tan 2β
tan2 β − 1
2 tan β
( )2
1
−1
a2
=
1
2
a
=
— 7 —
2014 年京都大学理系
解答
√
(2 + 3 )2 − 1
√
2(2 + 3 )
√
√
6+4 3
π
√ = 3 = tan
=
3
4+2 3
=
であるから，
π
3
A, B から x 軸におろした垂線の足をそれぞれ D, E とすると， C1 と C2 で囲ま
れる部分の面積 S は，扇形 OAB と直角三角形 OBE の面積和から，直角三角形
OAD の面積および 3 線分 AD, DE, BE と C1 で囲まれる部分の面積を引いたも
のと考えられるから，
∫ 1
a 1
1 ( 2
1 ) π
1 1
1
1
S=
a + 2
+
a−
a
−
dx
2
a
3
2 a
2
a
x
a
[
]1
2
a
= π − log x
3
a
1
2
= π − log + log a
3
a
(
√ )
2
2
= π + 2 log a = π + log 2 − 3
(答)
3
3
∠AOB =
(注 )
1◦ 純粋な考察からは ∠AOB が求められるかどうかはわからないが，問題文の表
現から扇形の面積が求められるはずなので，中心角が有名角だと判断できる。
2◦ ∠AOB は次のように求めてもよい。
√
√
√
6− 2
2
a = 2 − 3, a =
2
より
√
√
√
√
1
2
OA = a + 2 = (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 2
a
√
√
√ )
(√
(
a
1 )
6− 2
6+ 2
−→
OA = 2
,
=2
,
2 2a
4
4
(
)
5
5
= 2 cos
π, sin
π
12
12
(
( 1
a)
π
π )
−→
,
= 2 cos
, sin
OB = 2
2a 2
12
12
であるから，
5
π
π
∠AOB =
π−
=
12
12
3
— 8 —

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