第6回連続写像

第 6 回連続写像 1
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問 1. (X, OX ), (Y, OY ) を位相空間, f : X → Y が次の性質を満たすとき f は連続写像であることを示せ
[
]
∀A ∈ CY f −1 (A) ∈ CX
を示せ．
示すことは ∀V ∈ OY に対して f −1 (V ) ∈ OX を示せばよい．V c ∈ CY なので条件より f −1 (V c ) ∈ CX である．ここで
= f −1 (V )c であるので f −1 (V ) ∈ OX .
f −1 (V c )
問 2. 集合 X = {a, b, c, d} の 2 つの開集合系
O1 (X) := {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}},
O2 (X) := {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}}
に対し，次の写像が連続になるか調べよ．
(1) 恒等写像 idX : (X, O1 (X)) → (X, O2 (X))
id−1
X ({c, d}) = {c, d} ̸∈ O1 (X) であるので連続ではない．
(2) 恒等写像 idX : (X, O2 (X)) → (X, O1 (X))
id−1
X ({a, c}) = {a, c} ̸∈ O2 (X) であるので連続ではない．
(3) f (a) = f (b) = b, f (c) = f (d) = d で定義される f : (X, O1 (X)) → (X, O2 (X))
定義から f −1 (a) = f −1 (c) = ∅, f −1 (b) = {a, b}, f −1 (d) = {c, d} である．
ここで f −1 ({c, d}) = {c, d} ̸∈ O1 (X) であるので連続ではない．
(4) f (a) = f (b) = b, f (c) = f (d) = d で定義される f : (X, O2 (X)) → (X, O1 (X))
f の定義からこれは連続である．各開集合の逆像を考えて確かめよ．
問 3. 集合 X から位相空間 Y への写像 f が与えられているとする．Y の開集合系 OY に対して，OX ⊂ P(X) を
OX := {U ∈ P(X) | ∃V ∈ OY [U = f −1 (V )]} = {f −1 (V ) ∈ P(X) | V ∈ OY }
によって定めるとき，次の問に答えよ．
(1) OX は X の開集合系であることを示せ.
定義を確認すればよい．
∩
(O2) について: U ⊂ OX で ♯ U < ∞ なので U = {U1 , . . . , Ur } とする．このとき
U ∈ OX を示す．
−1 (V ) と書くことができる．
各 Ui ∈ OX に対してある
V
∈
O
が存在して
U
=
f
i
i
i
Y
∩
∩
∩
∩
∩
U ∈ OX である．
このとき
U = ri=1 f −1 (Vi ) = f −1 ( ri=1 Vi ) であり ri=1 Vi ∈ OY であるので
(O3) も同様に示せる．

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