幾何学序論1

幾何学序論１
K.Ichihara
写像とは
写像の定義
写像の用語
写像の相等
幾何学序論１
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
市原一裕
2015 年 5 月 18 日（月）2 限
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小テスト
1. 集合族 {Xλ }λ∈Λ に対し，
∩
幾何学序論１
K.Ichihara
Xλ の定義を
λ∈Λ
書きなさい．
写像とは
写像の定義
写像の用語
写像の相等
[
]
1 1
2. λ ∈ R に対して，Aλ := − ,
とする
λ
λ
∪
とき，
Aλ を求めなさい．
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
λ∈R
3. 集合族 {Aλ }λ∈Λ と集合 B に対して，次を
証明しなさい．
(
)
∪
∪
A∩
Bλ ⊃
(A ∩ Bλ )
λ∈Λ
λ∈Λ
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写像の定義
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K.Ichihara
定義 2.1.1【写像（map）】
写像とは
集合 X から集合 Y への写像とは，X のある要素と Y
のある要素との間の対応関係のこと．
写像の定義
写像の用語
写像の相等
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
注意 2.1.1
狭い意味では「ある要素からある要素を対応させる
ルール（法則）」のこと．一般には明確なルールはな
くても良い（対応関係さえはっきりしていれば）
（ディ
リクレの定義）
【写像の表し方】
f : X → Y で写像 f をあらわす．
写像 f が「X の要素 x を Y の要素 f (x) に写す」こと
を x 7→ f (x) とあらわす．
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写像の用語
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定義 2.1.2【始域（source），終域（target）】
写像とは
写像の定義
写像の用語
写像 f : X → Y に対し，集合 X を f の始域，集合 Y
を f の終域という．
写像の相等
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
定義 2.1.3【定義域（domain），値域（range）】
写像 f : X → Y に対して，f による対応関係があるよ
うな x ∈ X の集合を f の定義域といい，x ∈ X に対し
て f (x) の集合を f の値域という．
定義 2.1.4【関数（function）】
終域が数の集合（たとえば，R とか C とか）である写
像を関数という．
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写像の相等
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定義 2.1.5【写像の相等】
２つの写像 f : X → Y と g : X ′ → Y ′ に対して，
′
(1)X = X かつ Y = Y
′
写像とは
写像の定義
写像の用語
写像の相等
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
(2)∀x ∈ X に対し f (x) = g(x)
が成り立つとき，f と g は等しいという．
例 2.1.2
f (x) = x2 − 1 で定まる写像 f : R → R と，
g(x) = x2 − 1 で定まる写像 g : N → R は等しくない！
なぜなら，f と g は定義域が異なるから．
関数をあらわす式だけをみないこと．
式は関数ではない．
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恒等写像，包含写像，制限写像
定義 2.1.6【恒等写像（identity map）】
集合 X の恒等写像 idX : X → X とは，
∀x ∈ X ，idX (x) = x で決まる写像のこと．
つまり，なにも動かさない写像のこと．
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写像とは
写像の定義
写像の用語
写像の相等
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
定義 2.1.6【包含写像（inclusion map）】
X ⊊ Y （つまり，X は Y の真部分集合）のとき，
包含写像 iX : X → Y とは，
∀x ∈ X ，iX (x) = x で決まる写像のこと．
定義 2.1.7【制限写像（restriction map）】
写像 f : X → Y と X の部分集合 A に対して，
f の A への制限写像とは，
A ∋ a 7→ f (a) で決まる写像 A → Y のこと．
f |A であらわす．
つまり，f |A : A → Y のとき，f |A (a) = f (a) となる．
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練習問題
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K.Ichihara
写像とは
写像の定義
練習問題 2.1.1
f (x) = 2x2 − 1 で定義される写像 f : R → R の始域，終域，定義
域，値域を書きなさい．
写像の用語
写像の相等
恒等写像，包含写像，制限
写像
練習問題
練習問題 2.1.2
f (x) = x で定義される f : {0, 1} → R と，g(x) = x2 で定義され
る g : {0, 1} → R が等しいことを証明しなさい．
練習問題 2.1.3
包含写像 iQ : Q → R と，制限写像 id|Q : Q → R は，写像として
等しいことを証明しなさい．
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