解答

数学検定第２７３回２級２次：数理技能検定
問題１
2
答
２−２−１
y ＝ x 2 ＋２ax ＝（ x ＋a ）− a 2
１≦ −a すなわち a ≦ −１のとき
より，２次関数 y ＝ x 2 ＋２ax のグラフの軸は
y は x ＝１で最小値２a ＋１，x ＝０で最大値
x ＝−a ，頂点は（ − a ，−a 2 ）である。
０をとる。よって，値域は２a ＋１≦ y ≦０
軸と定義域０≦ x ≦１の位置関係によって場
以上まとめて
合分けして考える。
a ≦ −１のとき，２a ＋１≦ y ≦０
−a ＜０すなわち a ＞０のとき
１
−１＜ a ≦ − のとき，−a 2 ≦ y ≦０
２
y は x ＝０で最小値０，x ＝１で最大値２a＋１
をとる。よって，値域は０≦ y ≦２a ＋１
１
− ＜a ≦０のとき，−a 2 ≦ y ≦２a ＋１
２
１
１
０≦ −a ＜すなわち − ＜a ≦０のとき
２
２
a ＞０のとき，０≦ y ≦２a ＋１
y は x ＝ −a で最小値 −a 2 ，x ＝１で最大値
（答） a ≦ −１のとき，２a ＋１≦ y ≦０
２a ＋１をとる。よって，値域は −a ≦y ≦２a ＋１
2
１
１
≦ −a ＜１すなわち −１＜a ≦ − のとき
２
２
１
−１＜ a ≦ − のとき，−a 2 ≦ y ≦０
２
y は x ＝ −a で最小値−a ，x ＝０で最大値０
１
− ＜a ≦０のとき，−a 2 ≦ y ≦２a ＋１
２
をとる。よって，値域は −a 2 ≦ y ≦０
a ＞０のとき，０≦ y ≦２a ＋１
2
問題２
解
⑴ （答）１，７，１９，１３３
⑵ x 2 −４y 2 ＝１３３ …① を満たす整数 x ，y
を求める。①を変形して
（ x ＋２y（
）x −２y ）＝１３３
x ＋２y と x −２y はともに整数であり，１３３
の８組ある。これを解いて
（ x ，y ）＝（６７，−３３），
（１３，−３），
（１３，３），
（６７，３３），
（ −６７，３３），
（ −１３，３），
（ −１３，−３）
（−６
，
７，−３３）
の約数の組である。⑴の結果より，それらは
（ x ＋２y ，x −２y ）
＝
（１，１３３）
，
（７，１９），
問題３
（答）（ x ，y ）＝（６７，−３３），
（１３，−３），
（１９，７）
，
（１３３，１）
，
（１３，３），
（６７，３３），
（−１，−１３３），
（−７，−１９）
，
（ −６７，３３），
（ −１３，３），
（−１９，−７）
，
（−１３３，−１）
（ −１３，−３）
（−６
，
７，−３３）
x 2 ＋y 2 ＝１０xy …① のとき
対数の性質より，右辺は
x ＋y
log3 x ＋ log3 y
log3 −
２
２
１
１
log（３xy
）＝（ log3３＋ log3 x ＋ log3 y )
3
２
２
の値を求める。①を変形すると
１
＝（１＋ log3 x ＋ log3 y )
２
（ x ＋ y ）−２xy ＝１０xy
2
2
より，
（ x ＋ y ）＝１２xy
x ，y は正より x ＋ y ＝２３xy ，よって
x ＋y
＝３xy
２
３を底とする両辺の対数をとると
x ＋y
log3 ＝ log3 ３xy
２
に等しいので
x ＋y
１
log3 ＝（１＋ log3 x ＋ log3 y )
２
２
よって
x ＋y
log3 x ＋ log3 y
１
＝
log3 − ２
２
２
（答）
Ｈ２７１９Ｇ０９
１
２
２−２−２
問題４
⑴ Ｇは△ＡＢＣの重心であるから
１
１
ＡＧ＝ b ＋ c …①
３
３
ＢＰ：ＰＣ＝１：４より
４
１
ＡＰ＝ b ＋ c …②
５
５
①，②より
ＰＧ＝ＡＧ −ＡＰ
１４
１１
＝ − b ＋ − c
３５
３５
７
２
＝− b ＋ c
１５
１５
７
２
（答）ＰＧ＝− b ＋ c
１５
１５
⑵ Ｐ，Ｇ，Ｑは同一直線上にあるので
ＰＱ＝ k ＰＧ
を満たす実数 k が存在する。これを
ＡＱ＝ＡＰ＋ＰＱ
の右辺に代入し，②と⑴の結果を用いると
４
１
７
２
ＡＱ＝ b ＋ c ＋ k − b ＋ c
５
５
１５
１５
１２−７k
３＋２k
＝ b ＋ c
１５
１５
１２−７k
点Ｑは辺ＡＣ上の点より＝０
１５
１２
よって， k ＝とＰＧ：ＰＱ＝７：１２が
７
わかる。ゆえに，ＰＧ：ＧＱ＝７：５
（答）ＰＧ：ＧＱ＝７：５
問題５（答）a ＝９９，b ＝７０
問題６
2
（ a ＋ b ）＝ c 2＋３ab を整理すると
これに①を代入して
a 2 ＋２ab ＋ b 2 ＝ c 2 ＋３ab
１
ab
cos C ＝＝
２
２ab
より
a 2 ＋ b 2 −c 2＝ab …①
０°
＜C ＜１８０°より，C ＝６０°
（答）C ＝６０°
△ＡＢＣにおいて，余弦定理より
cos C ＝
問題７
a2＋b2−c2
２ab
⑴ （答） y ＝４x ＋７
0
S ＝｛x 2 ＋６x ＋８−（４x ＋７）｝dx
−1
⑵ −１≦ x ≦０のとき
４x ＋７≦ x 2 ＋６x ＋８
が成り立つ。
よって，求める図形の面積 S は
0
＝（ x 2 ＋２x ＋１）dx
−1
x3
＝＋ x 2 ＋ x
３
0
−1
１
＝０− − ＋１−１
３
＝
１
３
（答）S ＝
Ｈ２７１９Ｇ０９
１
３

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