数ⅡB 空間ベクトル（黄色チャート）

数ⅡB　空間ベクトル（黄色チャート）
１ s　(1)　A (3，2，0)，B (0，2，4)，C (3，0，4)
(2)　(ア)　(3，2，-4)　(イ)　(-3，2，4)　(ウ)　(3，-2，4)
DF-CE = 0a - b + c 1 - 0-a - b + c 1 =2a
=50t 2 +200t +225
したがって　AG-BH=DF-CE
(3)　(2) から　x =50t 2 +200t +225=500 t + 2 1 2 +25
2
(エ)　(3，-2，-4)　(オ)　(-3，2，-4)　(カ)　(-3，-2，4)
したがって， x
(キ)　(-3，-2，-4)
5
8
4
４ s　(1)　d =2a - b + c　(2)　e= a - b - c
3
3
3
解説
(1)　A (3，2，0)，B (0，2，4)，C (3，0，4)
(2)　(ア)　(3，2，-4)　(イ)　(-3，2，4)　(ウ)　(3，-2，4)　(エ)　(3，-2，-4)
8
２ s　(1)　U 19 (2)　0，0，-
9
8
sa + tb + uc = s0 1，3，2 1 + t0 0，1，-1 1 + u0 5，1，3 1
解説
(1)　AB= U 6 2 - 0 -1 1 7 2 + 0 1 - 0 1 2 + 0 -1 - 2 1 2 = U 19
が最小となるとき， x も最小となる。
７ s　(1)　(ア)　3　(イ)　-1　(2)　順に 3，h =45,
解説
(1)　d = sa + tb + uc とすると
9
2
よって， x は，t =-2 のとき最小値 U 25 =5 をとる。
= 0 s +5u，3s + t + u，2s - t +3u 1
1
5
(3)　- ，8，0
6
2
は t =-2 のとき，最小値 25 をとる。
x ) 0 であるから， x
解説
(オ)　(-3，2，-4)　(カ)　(-3，-2，4)　(キ)　(-3，-2，-4)
2
0 7，6，8 1 = 0 s +5u，3s + t + u，2s - t +3u 1
(1)　(ア)　AD と AC のなす角は 30,， AC =2 であるから
よって　s +5u =7 ，3s + t + u =6 ，2s - t +3u =8
AD ･ EG=AD ･ AC = AD AC cos 30,
これを解くと　s =2 ，t =-1 ，u =1
3
= U 3 % 2 % U =3
2
(2)　P (0，0，z) とおく。
したがって　d =2a - b + c　AP=BP から　AP 2 = BP 2
(2)　e = sa + tb + uc とすると
よって　6 0 - 0 -1 1 7 2 + 0 0 - 0 1 2 + 0 z - 2 1 2 = 0 0 - 2 1 2 + 0 0 - 1 1 2 + 6 z - 0 -1 1 7 2
0 -5，1，2 1 = 0 s +5u，3s + t + u，2s - t +3u 1
CI と CH のなす角は 135,， CH = U 2 であるから
よって　s +5u =-5 ，3s + t + u =1 ，2s - t +3u =2
AB ･ CH=CI ･ CH= CI CH cos 135,
整理すると　6z =-1 よって　z =-
1
したがって　P 0，0，6
8
1
6
9
(イ)　AB=CI となる点 I をとる。
8
=1 % U 2 % -
したがって　e =
5
8
4
a- b- c
3
3
3
(2)　a ･ b =1 % 2+1 % 1+0 % 0 -2 1 =3
また　cos h =
OQ=AQ から　OQ 2 = AQ 2
５ s　(1)　(-1，3，-1)　(2)　(3，-1，-1)　(3)　(-1，-1，3)
解説
整理すると　2x +5=0 …… ①
(1)　AD=BC から　0 a - 0 -1 1，b -1，c -1 1 = 0 1-1，1- 0 -1 1，-1 -1 1
よって　a =-1 ，b =3 ，c =-1
よって　x 2 + y 2 = 0 x - 2 1 2 + 0 y - 1 1 2 + 6 0 - 0 -1 1 7 2
整理すると　2x + y -3=0 …… ②
①，② を解いて　x =-
ゆえに　D 0 -1，3，-1 1
5
，y =8
2
8
9
よって　a =3 ，b =-1 ，c =-1
BH=-a + b + c
ゆえに　D 0 -1，-1，3 1
(2)　略
t　平行四辺形になるための条件｢2 本の対角線の中点が一致する｣を利用する。
= a + b + c
DF=DC+CB+BF=AB-AD+AE
H
b
AF=AB+AE= a + c
AG=AB+BC+CG=AB+AD+AE
D (a，b，c) とおくと，(1) の場合，点
D
(1)　AC=AB+AD= a + b
C
A
8
-1 + 1 1 + 1 1 - 1
，
，
と
2
2
2
9
1 + a -1 + b
1+c
点
，
，
が一致するから　a =-1 ，b =3 ，c =-1
2
2
2
8
9
a
B
G
BH=BA+AD+DH=-AB+AD+AE
F
６ s　(1)　0 2+3t，11+4t，10 +5t1 (2)　50t 2 +200t +225
よって，(1) から　AG-BH= 0a + b + c 1 - 0-a + b + c 1 =2a
8
6
解説
a5p ，b5p であるから　a ･ p =0 ，b ･ p =0
3
5
①，② から　y =- x，z = x
4
8
これを ③ に代入して　このとき　y = P
したがって　p =
125 2
8
x =5 よって　x = $
64
5
6
，z = $1 (複号同順)
5
8
6
8
6
8 5 ，- 5 ，19，8- 5 ， 5 ，-19
解説
AB = U 1 2 + 2 2 + 0 -1 1 2 = U 6
=-a + b + c
=-a - b + c
6
(1)　AB= 0 1，2，-1 1 ，AC= 0 2，1，1 1 であるから
(3)　t =-2 のとき最小値 5
解説
(2)　CE=CD+DA+AE=-AB-AD+AE
8
8 5 ，- 5 ，19，8- 5 ， 5 ，-19
3 3
９ s　(1)　h =60,　(2)　U
2
(2)，(3) も同様にして求められる。
E
= a - b + c
８ s　p =
ゆえに　D 0 -1，3，-1 1
c
=
また， p = U 5 であるから　x 2 + y 2 + z 2 =5 …… ③
(3)　AC=DB から　0 1- 0 -1 1，1-1，-1 -1 1 = 0 1- a，-1- b，1 - c 1
よって　a =-1 ，b =-1 ，c =3
解説
3
U 1 2 + 1 2 + 0 2 U 2 2 + 1 2 + 0 -2 1 2
ゆえに　2x + y -2z =0 …… ①，3x +4y =0 …… ②
ゆえに　D 0 3，-1，-1 1
３ s　(1)　AC= a + b，AF= a + c，AG= a + b + c，DF= a - b + c，
=
p = 0 x，y，z 1 とする。
(2)　AC=BD から　0 1- 0 -1 1，1-1，-1 -1 1 = 0 a -1，b - 0 -1 1，c -1 1
5
したがって　Q - ，8，0
2
a･b
a b
U2
0,( h ( 180, であるから　h =45,
D (a，b，c) とおく。
OQ=BQ から　OQ 2 = BQ 2
9=-1
5
8
4
，t =- ，u =3
3
3
(3)　Q 0 x，y，0 1 とおく。
よって　x 2 + y 2 = 6 x - 0 -1 1 7 2 + y 2 + 0 0 - 2 1 2
1
これを解くと　s =
(1)　x = a + tb = 0 2，11，10 1 + t0 3，4，5 1 = 0 2+3t，11+4t，10 +5t 1
2
(2)　x = 0 2 + 3t 1 2 + 0 11 + 4t 1 2 + 0 10 + 5t 1 2
= 0 4+12t +9t 21 + 0 121+88t +16t 21 + 0100+100t +25t 21
-1-
AC = U 2 2 + 1 2 + 1 2 = U 6
また　AB ･ AC=1 % 2+2 % 1+ 0 -1 1 % 1=3
1
U2
AB ･ AC
よって　cos h =
=
AB AC
3
U6 %U6
=
3
1
=
6
2
AP=
0, < h <180, であるから　h =60,
G
AB= b，AD= d，AE= e とすると
b
d
，AQ=
2
2
また　AG=AB+BC+CG = b + d + e
1
1
3
3 3
S = AB AC sin 60, = % U 6 % U 6 % U = U
2
2
2
2
点 R は対角線 EG の中点であるから
10 s　(1)　s =-t +
1
5
1
1
(2)　s = ，t =- のとき最小値
3
6
2
U6
解説
(1)　r = sa + tb - c = 0 s + t，s +2t，s -1 1
2
ゆえに　r = 0 s + t 1 2 + 0 s + 2t 1 2 + 0 s - 1 1 2 =3s 2 +20 3t -1 1s +5t 2 +1
8
=3 s + t よって， r
2
2
1
(2)　2t +2t + =2 t +
3
2
8
9
2
1
r =3 s + t 3
8
よって，s =-t +
t =-
9
2
+2t 2 +2t +
2
3
1
2
は s =-t +
…… ① のとき最小値 2t 2 +2t + をとる。
3
3
2
2
1
3
1
+ であるから
6
1
+2 t +
2
9 8
2
9
2
1
1
，t =- のとき r
3
2
は最小となる。
1
5
を ① に代入して　s =
2
6
r ) 0 であるから， r
ゆえに， r は s =
2
が最小となるとき r も最小となる。
5
1
1
，t =- のとき最小値
をとる。
6
2
U6
11 s　略
8 点 A，B，C，D，E，F，G，H の位置ベクトルをそれぞれ a，b，c，d，e，f，g，h
とする。また，線分 AE，BF，CG，DH を 3：1 に内分する点を，それぞれ K，L，M,
N とする。4 点 E，F，G，H は，それぞれ △BCD，△ACD，△ABD，△ABC の重心
であるから
b +c+d
a +c+d
a+b +d
a+b +c
，f =
，g =
，h =
3
3
3
3
8
1%a+3%e
a+b +c+d
=
3+1
4
1%b +3%f
a+b +c+d
L の位置ベクトル l は　l =
=
3+1
4
解説
O に関する位置ベクトルを考え，A 0a1 ，B 0b1 ，C 0c1 ，D 0d1 ，E 0e1 ，F 0f1 とする。
よって　AG=3AK
OQ=
3OP + 2OC
3 2OA + OB
2
= ･
+ OC
2+3
5
1+2
5
=
2
1
2
a + b + c であるから
5
5
5
したがって，対角線 AG は △PQR の重心 K を通る。
1
1
1
13 s　OP= a + b + c
2
4
4
d=
2OA + OB
2
1
OL=
= a+ b
1+2
3
3
O
OB + OC
1
1
OM=
= b+ c
2
2
2
1
1
8 2 b+ 2 c 9
1
1
sb + sc　…… ①
2
2
1%c+3%g
a +b +c+d
=
3+1
4
1%d+3%h
a + b +c + d
=
3+1
4
2
1
2
L
1-s
2
C
2
1
2
1
ta + tb + 0 1 - t 1c　…… ②
3
3
1
1
2
1
①，② から　0 1 - s 1a + sb + sc = ta + tb + 0 1 - t 1c
2
2
3
3
4 点 O，A，B，C は同じ平面上にないから
2
1
1
1
t， s = t， s =1- t
3
2
3
2
F
R は平面 DEF 上にあるから，DR= sDE+ tDF とおくと
M
B
O
4
3
6
kd +
ke + kf　…… ①
5
10
5
これを解くと k=
10
10
であるから　OR：OQ=
：1=10：23
23
23
解説
Q は平面 a 上の点であるから，s，t，u を実数として
OQ= sOA+ tOB+ uOC ，s + t + u =1 …… ①
= 0sOA+ tOB + uOC1 - 0OA+OB +OC1
1
1
1
ゆえに　OP= a + b + c
2
4
4
= 0 s -1 1OA+ 0 t -1 1OB+ 0 u -1 1OC …… ②
1
1
= s -1， 0 t -1 1， 0 u -1 1
2
3
8
14 s　(1)　y =8　(2)　x =1
9
PQ5a であるから　PQ5AB，PQ5AC
解説
(1)　AP= 0 2，y -2，2 1 ，AB= 0 3，5，2 1 ，AC= 0 -1，1，0 1
は一致する。
0 2，y -2，2 1 = s0 3，5，2 1 + t0 -1，1，0 1
すなわち　0 2，y -2，2 1 = 0 3s - t，5s + t，2s 1
よって　3s - t =2 ，5s + t = y -2 ，2s =2
第 1 式，第 3 式から　s =1 ，t =1
これを第 2 式に代入して　y =8
したがって　PQ ･ AB=0 ，PQ5AC=0
PQ ･ AB= 0 -1 10 s -1 1 +
1 1
1
3
･ t -1 1 =-s + t +
2 20
4
4
PQ ･ AC= 0 -1 10 s -1 1 +
1 1
1
8
･ u -1 1 =-s + u +
3 30
9
9
ゆえに　-s +
1
3
1
8
t + =0 ，-s + u + =0 …… ③
4
4
9
9
①，③ を解いて　s =
-2-
1
4
3
6
k，s =
k，t = k
5
10
5
1
4
9
16 s　PQ=- OA- OB- OC
7
7
7
6
3
2
，t = ，u =7
7
7
c
R
C
3
Q
A
= 0 1- s - t 1d + se + tf　…… ②
4 点 O，A，B，C は同じ平面上にないから，①，② より
ゆえに　PQ=OQ-OP
1
3
，t =
2
4
D
a
OR=OD+DR = d + s0e - d 1 + t0f - d 1
1- s - t =
8 3 a+ 3 b 9
これを解いて　s =
2
1
2
1
a，e = b，f = c であるから
2
3
3
=
P b
t
1-t
OP= 0 1 - t 1OC+ tOL = 0 1 - t 1c + t
=
s
A
OP= 0 1 - s 1OA+ sOM
1
1
2
1
3
2
OR= k･ 2d + k･ e + k･ 3f
5
5
2
5
c
a
AP：PM= s：0 1 - s 1 とすると
= 0 1 - s 1a + s
2
8 5 a+ 5 b + 5 c9 = 5 ka + 5 kb + 5 kc
OR= kOQ = k
AP= sAB+ tAC となる実数 s，t があるから
解説
9
また，Rは線分 OQ 上にあるから，OR：OQ= k：1 とおくと，
ゆえに，k= l = m = n となり，線分 AE，BF，CG，DH をそれぞれ 3：1 に内分する点
12 s　略
A
b +d+e
=
3
1- s =
よって
N の位置ベクトル n は　n =
ゆえに　s =-3 ，t =2 ，x =1
b
P
よって　s - t = x -6 ，2s = x -7 ，2s + t = x -5
15 s　OR：OQ=10：23
AP + AQ + AR
1 b
d
b + d + 2e
=
AK=
+ +
3
3 2
2
2
CP ：PL= t：0 1 - t 1 とすると
M の位置ベクトル m は　m =
B
ゆえに，△PQR の重心 K について
解説
K の位置ベクトル k は　k=
K
Q
d
0 x -6，x -7，x -5 1 = s0 1，2，2 1 + t0 -1，0，1 1
すなわち　0 x -6，x -7，x -5 1 = 0 s - t，2s，2s + t 1
C
D
AE + AG
b + d + 2e
AR=
=
2
2
= 0 1 - s 1a +
e =
E
e
AP= sAB+ tAC となる実数 s，t があるから
F
解説
1
+
6
2
R
H
(2)　△ABC の面積を S とおくと，(1) から
(2)　AP= 0 x -6，x -7，x -5 1 ，AB= 0 1，2，2 1 ，AC= 0 -1，0，1 1
P
2
E
b
2
B
1
4
9
② に代入して　PQ=- OA- OB- OC
7
7
7
22 s　(1)　0 x - 11 2 + 0 y + 21 2 + 0 z - 31 2 =18　(2)　0 x - 11 2 + 0 y - 21 2 + 0 z + 21 2 =8
19 s　(1)　MN=
17 s　略
(3)　0 x - 31 2 + 0 y + 51 2 + 0 z - 21 2 =4
b +c-a
(2)　45,
2
解説
解説
解説
(1)　AB= U 0 2 - 1 1 2 + 6 -1 - 0 -2 1 7 2 + 0 -1 - 3 1 2 =3U 2
OA= a，OB= b，OC= c とする。
b +c
a
b +c-a
(1)　MN=ON-OM =
- =
2
2
2
OA5BC から　OA ･ BC=0
(2)　OC と MN のなす角を h 0 0,( h ( 180, 1 とする。
よって　a ･ 0c - b 1 =0
b +c-a
(1) から　OC ･ MN= c ･
2
8
すなわち　a ･ c = a ･ b　…… ①
よって　b ･ 0a - c 1 =0
すなわち　b ･ a = b ･ c　…… ②
ゆえに　OC ･ MN=
ここで　OA + BC = OA
+ BC
2
2
= a + c
OB 2 + CA 2 = OB
= b
2
2
+ CA
= a + c-b
2
2
=b
2
2
+ a-c
2
+b
2
2
2
2
= c + b -a
2
よって　MN =
2
2
2
2
③，④，⑤，⑥ から　OA + BC = OB + CA = OC + AB
ゆえに　cos h =
2
18 s　(1)　線分 BC を 8：9 に内分する点をD，線分 AD を 17：5 に内分する点を E と
すると，線分 OE を 11：5 に内分する点
(2)　V 1：V2 =16：5
O
(1)　10OP+5AP+9BP+8CP=0 から
9
1
l
U2
C
A
線分 BC を 8：9 に内分する点を D とすると
8
5
17
9
5
8
E
9
B
よって，求める球面の方程式は
0 x - 3 1 2 + 6 y - 0 -5 1 7 2 + 0 z - 2 1 2 = 2 2
23 s　a = $3
=
OC MN
1 2
1
1
l & l%
l =
2
U2
U2
8
9
解説
中心が 0 1，a，2 1，半径が 6 の球面の方程式は
0,( h ( 180, であるから　h =45,
この球面と zx 平面 0 y =0 1 が交わってできる図形の方程式は
0 x - 1 1 2 + 0 0 - a 1 2 + 0 z - 2 1 2 = 6 2 ，y =0
すなわち　0 x - 1 1 2 + 0 z - 2 1 2 = 6 2 - a 2 ，y =0
これは，6 2 - a 2 >0 のとき，zx 平面上で中心が 0 1，0，2 1，半径が U 6 2 - a 2 の円を表す。
その半径が 3U 3 であるから　6 2 - a 2 = 03U 3 1 2
8
1%0+2%x 1%3+2%y 1%7+2%z
，
，
2+1
2+1
2+1
9
すなわち　a 2 =9
ゆえに　a = $3
この座標が 0 2，-1，3 1 に等しい。
t　球の中心と zx 平面の距離は a である。
よって　x =3，y =-3，z =1
(2)　D
(3)　中心の z 座標が 2 であるから，球面の半径は　2
したがって，2 直線 OC，MN のなす鋭角は　45,
(1)　P
1
5OA+9OB +8OC 1
32 0
1
9OB + 8OC
OP=
5OA+17 %
32
17
OC ･ MN
したがって　0 x - 11 2 + 0 y - 21 2 + 0 z + 21 2 =8
したがって　0 x - 31 2 + 0 y + 51 2 + 0 z - 21 2 =4
解説
ゆえに　32OP=5OA+9OB+8OC
8
-2 % 0 + 3 % x -2 % 3 + 3 % y -2 % 7 + 3 % z
，
，
3 + 0 -2 1
3 + 0 -2 1
3 + 0 -2 1
9
よって，三平方の定理から　a 2 + 03U 3 1 2 = 6 2
ゆえに　a 2 =9
よって　a = $3
この座標が 0 15，12，-23 1 に等しい。
よって　x =5，y =6，z =-3
1
5OA +17OD 1
32 0
t　P 0 15，12，-23 1 とすると，B は線分 AP を 1：2 に内分する点。
2 % 0 + 1 % 15
2 % 3 + 1 % 12
2 % 7 + 1 % 0 -23 1
=5 ，y =
=6 ，z =
=-3
x =
1+2
1 +2
1+2
線分 AD を 17：5 に内分する点を E とすると
OP=
b +c-a
2
0 x - 1 1 2 + 0 y - a 1 2 + 0 z - 2 1 2 = 6 2
11
10OP+50OP -OA 1 +90OP -OB 1 +80OP -OC 1 =0
=
98
･
20 s　(1)　x =3，y =-3，z =1　(2)　x =5，y =6，z =-3
(3)　x =1，y =-5，z =3
解説
よって　OP=
8
b +c-a
2
2
+ a -2a ･ b　…… ⑥
9
よって，求める球面の方程式は
1
1
= 0 l 2 + l 2 + l 2 + l 2 - l 2 - l 21 = l 2
4
2
2
3 - 1 2 + 2 -4 + 0
，
，
すなわち　M 0 1，2，-2 1
2
2
2
また　AM= U 0 1 - 3 1 2 + 0 2 - 2 1 2 + 6 -2 - 0 -4 1 7 2 =2U 2
1
2
2
2
= 0 b + c + a +2b ･ c -2c ･ a -2a ･ b 1
4
-2b ･ c　…… ④
2
1 2
l
2
8
0 x - 1 1 2 + 0 y - 2 1 2 + 6 z - 0 -2 1 7 2 = 0 2U 2 1 2
また　MN =MN ･ MN =
2
+ a + c -2a ･ c　…… ⑤
2
2
2
+b
OC 2 + AB 2 = OC + AB
= c
2
(2)　線分 AB の中点 M が球面の中心であるから
M
1 2
l
2
①，② から　a ･ b = b ･ c = c ･ a　…… ③
2
したがって　0 x - 11 2 + 0 y + 21 2 + 0 z - 31 2 =18
1
2
= 0c ･ b + c - c ･ a 1
2
a = b = c = l，a ･ b = b ･ c = c ･ a =
2
0 x - 1 1 2 + 6 y - 0 -2 1 7 2 + 0 z - 3 1 2 = 0 3U 2 1 2
正四面体 OABC の 1 辺の長さを l とすると
OB5CA から　OB ･ CA=0
2
9
よって，求める球面の方程式は
1
5OA + 17OD
11
=
OE
% 22 %
32
22
16
(3)　したがって，点 P は，線分 BC を 8：9 に内分する点を D，線分 AD を 17：5 に内分
する点を E とすると，線分 OE を 11：5 に内分する点である。
8
0 + x + 2 3 + y + 0 -4 1 7 + z + 0 -1 1
，
，
3
3
3
9
この座標が 0 1，-2，3 1 に等しい。
h1
ゆえに，(1) から　V1：V 2 =16：5
11 16
P
A
h2
E
3
2
1
2
(1)　(ア)　z =0 (イ)　x =0
(2)　y =-3
(2)　球面の方程式を x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D =0 とすると
(3)　z =-1
D =0 ，36+6A + D =0 ，16+4B + D=0 ，64-8C + D =0
解説
C
解説
(1)　与えられた式を変形すると
8 9? >
8 9?
3
1
1
ゆえに　0 x + 3 1 + y 8 2 9 + 8z + 2 9 = 8 U 2 9
3
1
1
したがって　中心 -3，，- ，半径
の球面
8 2 29
U2
21 s　(1)　(ア)　z =0 (イ)　x =0 (2)　y =-3 (3)　z =-1
V1：V 2 = h 1：h 2 =OE：PE
9
>
O
四面体 PABC の底面を △ABC，高さを h 2 とすると
8
(2)　中心の座標は (3，2，-4)，半径は U 29
0 x 2 +6x + 3 21 + y 2 -3y +
よって　x =1，y =-5，z =3
(2)　四面体 OABC の底面を △ABC，高さを h 1，
3
1
1
の球面
24 s　(1)　中心 -3，，- ，半径
2
2
U2
2
2
+ z 2+z +
2
ゆえに　A =-6 ，B =-4 ，C =8
B
-3-
2
2
=-11+ 3 2 +
3
2
1
2
8 9 8 9
2
2
+
2
26 s　t を実数とする。
したがって，球面の方程式は　x 2 + y 2 + z 2 -6x -4y +8z =0
これを変形して　0 x -6x + 3 1 + 0y -4y + 2 1 + 0 z +8z + 4 1 = 3 + 2 + 4
2
2
2
よって　0 x - 3 1 + 0 y - 2 1 + 0 z + 4 1 = 0 U 29 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t =
(1)　x =1+ t，y =1+2t，z =1+3t　または　x -1=
2
ゆえに　中心の座標は (3，2，-4)，半径は U 29
(2)　x =-1+5t，y =3+3t，z =2-2t　または　y- 1
z -1
=
2
3
x+ 1
y- 3
z -2
=
=
5
3
-2
解説
したがって，求める点の座標は　4
11
1
8 3 ， 6 ，- 6 9
(2)　s，t を媒介変数とすると，2 直線 ，m の媒介変数表示は
：x =1- s，y =3+ s，z =-s
解説
25 s　2x - y - z -3=0
5
のとき OP 2 は最小となり，OP も最小になる。
6
求める直線上の任意の点を P 0 x，y，z 1 ，t を実数とする。
m：x =-1- t，y =3+2t，z =2
(1)　求める直線の方向ベクトル d は　d =AB= 0 1，2，3 1
よって，P 0 1- s，3+ s，-s 1 ，Q 0 -1- t，3 +2t，2 1 とおくと
求める平面の法線ベクトルを n = 0 a，b，c 1 とする。
点 A を通るから
PQ 2 = 0 -2 - t + s 1 2 + 0 2t - s 1 2 + 0 2 + s 1 2
ただし，n ' 0 とする。
0 x，y，z 1 = 0 1，1，1 1 + t0 1，2，3 1
=3s 2 -6st +5t 2 +4t +8 =30 s - t 1 2 +20 t + 1 1 2 +6
ここで　AB= 0 2，2，2 1 ，AC= 0 2，4，0 1
ゆえに　x =1+ t，y =1+2t，z =1+3t　または
よって，PQ 2 は s = t かつ t =-1 すなわち s = t =-1 から，P 0 2，2，1 1，Q 0 0，1，2 1
n5AB であるから　n ･ AB=0
t を消去して　x -1=
よって　2a +2b +2c =0 …… ①
n5AC であるから　n ･ AC=0
ゆえに　2a +4b =0 …… ②
② から　a =-2b　これと ① から　c = b
のとき最小値 6 をとる。
y -1
z -1
=
2
3
PQ>0 であるから，このとき PQ は最小値 U 6 をとる。
(2)　求める直線の方向ベクトルは，与えられた直線の方向ベクトル d = 0 5，3，-2 1 に平
行である。
8
29 s　(1)　-
点 0 -1，3，2 1 を通るから
19
13 19
，- ，
(2)　0 4，5，4 1，0 3，6，8 1
3
3
3
9
0 x，y，z 1 = 0 -1，3，2 1 + t0 5，3，-2 1
解説
よって　n = b0 -2，1，1 1 n ' 0 であるから　b ' 0
よって　x =-1+5t，y =3+3t，z =2-2t　または
ゆえに，求める平面は，点 A 0 1，-1，0 1 を通り，n = 0 -2，1，1 1 に垂直な平面である
から，その方程式は　-2 % 0 x -1 1 +1 % 6 y - 0 -1 1 7 +1 % 0 z -0 1 =0
t を消去して　(1)　0 x，y，z 1 = 0 2，-1，3 1 + t0 5，2，-2 1 から
x =2+5t，y =-1+2t，z =3-2t (t は実数)
x +1
y- 3
z -2
=
=
5
3
-2
① に代入すると
30 2 +5t 1 -20 -1 +2t 1 + 0 3 -2t 1 =-4
すなわち　2x - y - z -3=0
t　求める平面の方程式を ax + by + cz + d =0 …… ① とすると，3 点 A，B，C を
通ることから
a -b
+d =0 …… ②
3a +b +2c + d =0 …… ③
3a +3b
+d =0 …… ④
②，③，④ から　a =-2b，c = b，d =3b
これらを ① に代入して　-2bx + by + bz +3b =0
b ' 0 としてよいから　2x - y - z -3=0
11
1
8 2 ， 2 ，09　(2)　02，0，11
27 s　(1)　整理すると　9t +15=0 ゆえに　t =-
解説
(1)　s，t を媒介変数とすると，2 直線 ，m の媒介変数表示は
8
したがって，求める交点の座標は　-
5
3
19
13 19
，- ，
3
3
3
9
: x =1+3s，y =2- s，z =-3+2s
(2)　0 x，y，z 1 = 0 6，3，-4 1 + t0 -1，1，4 1 から
m：x =4+3t，y =-3+7t，z =1-2t
x =6- t，y =3+ t，z =-4-4t …… ① (t は実数)
この 2 直線が交わるとき　1+3s =4+3t …… ①，
点 0 2，4，6 1 を中心とする半径 3 の球面の方程式は
2- s =-3+7t …… ②， -3+2s =1-2t …… ③
0 x - 2 1 2 + 0 y - 4 1 2 + 0 z - 6 1 2 =9 …… ②
を同時に満たす実数 s，t が存在する。
① を ② に代入すると
3
1
①，② を解いて　s = ，t = これは，③ を満たす。
2
2
0 4 - t 1 2 + 0 -1 + t 1 2 + 0 -10 + 4t 1 2 =9
11 1
よって，求める交点の座標は　，，0
2
2
8
(2)　9
整理すると　t 2 -5t +6=0 ゆえに　t =2，3
よって，交点の座標は
x +1
y- 2
z +1
z +1
=
=
= s，x -1= y +1=
= t とおく
-3
2
-2
2
t =2 のとき　0 x，y，z 1 = 0 4，5，4 1
t =3 のとき　0 x，y，z 1 = 0 3，6，8 1
と，媒介変数表示は　x =-1-3s，y =2+2s，z =-1-2s
x =1+ t，y =-1+ t，z =-1+2t
30 s　5x +4y - z =0
この 2 直線が交わるとき　-1-3s =1+ t　…… ①，
解説
2+2s =-1+ t …… ②　-1-2s =-1+2t …… ③
k を定数とするとき，次の方程式 ③ の表す図形は，
を同時に満たす実数 s ，t が存在する。
2 平面 ①，② の交線を通る平面である。
①，② から　s =-1 ，t =1 これは ③ を満たす。
k0 2x + y - z +3 1 + 0 x - y -2z +9 1 =0 …… ③
この平面が，原点 0 0，0，0 1 を通るから　3k+9=0
よって，求める交点の座標は　0 2，0，1 1
ゆえに　k=-3
8
28 s　(1)　4 11
1
，
，- (2)　P 0 2，2，1 1，Q 0 0，1，2 1 のとき最小値 U 6
3
6
6
9
これを ③ に代入すると
-30 2x + y - z +3 1 + 0 x - y -2z +9 1 =0
整理すると　5x +4y - z =0
解説
(1)　原点を O，直線 AB 上の点を P ，t を媒介変数とすると
t　①，② において
OP= 0 1 - t 1OA+ tOB = 0 3-2t，1+ t，4 -5t 1
z =0 とすると　2x + y +3=0 ，x - y +9=0
2
ゆえに　OP 2 = OP = 0 3 - 2t 1 2 + 0 1 + t 1 2 + 0 4 - 5t 1 2
8
=30t 2 -50t +26 =30 t -
5
6
9
-4-
2
+
31
6
よって　x =-4 ，y =5
y =0 とすると　2x - z +3=0 ，x -2z +9=0
よって　x =1 ，z =5
したがって，平面 a は，3 点 0 0，0，0 1，0 -4，5，0 1 ，0 1，0，5 1 を通る。
ゆえに，平面 a の方程式を ax + by + cz + d =0 とすると
d =0 ，　-4a +5b + d =0 ，　a +5c + d =0
よって　d =0 ，　a =-5c，　b =-4c
したがって，平面 a の方程式は　-5cx -4cy + cz =0
すなわち　5x +4y - z =0
-5-

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