Studyaid DB 2007_1

質問解説
１
空間の 2 点 P，Q の原点 O を基点とする位置ベクトルが
OP= 0 2cos t ，2sin t ，11 ，OQ= 0 -sin 3t ，cos 3t ，-11
によって与えられている。ただし，-180,(t( 180, とする。
(1)　点 P と点 Q の距離が最小となる t と，そのときの点 P の座標を求めよ。
(2)　OP と OQ のなす角が 0, 以上 90, 以下となる t の範囲を求めよ。
解説
(1)　点 P と点 Q の距離は PQ に等しい。
PQ=OQ-OP= 0 -sin 3t -2cos t ，cos 3t -2sin t ， -21
したがって
PQ
2
= 0 -sin 3t - 2cos t 1 2 +0 cos 3t - 2sin t 1 2+0 -21 2
= sin 2 3t +4sin 3t cos t +4cos 2 t +cos 2 3t -4cos 3t sin t +4sin 2 t +4
=40 sin 3t cos t -cos 3t sin t 1 +9
=4sin 0 3t - t1 +9=4sin 2t +9
-180,(t( 180, より，-360,( 2t( 360, であるから　-1 ( sin 2t ( 1
よって， PQ
2
は sin 2t =-1 のとき最小になる。
PQ ) 0 であるから，このとき PQ も最小になる。
sin 2t = -1 から　2t =-90,，270,　ゆえに　t =-45,，135,
OP= 0 2cos t ，2sin t ，11 から　t =-45, のとき　P 0U 2 ， - U 2 ，11
t =135, のとき　P 0-U 2 ，U 2 ，11
(2)　OP と OQ のなす角を h とすると　OP ･OQ= OP OQ cos h
0,( h ( 90, となるのは，cos h ) 0 のときであるから，OP･OQ ) 0 となる
t の範囲を求めればよい。　.　ここの部分が，0 ( cos h ( 1 ではないのか？
OP･OQ=2cos t ･0 -sin 3t 1 +2sin t ･cos 3t +1･0 -11
=-20 sin 3t cos t - cos 3t sin t 1 -1=-2sin 2t -1
よって，OP･OQ ) 0 から　-2sin 2t -1 ) 0　ゆえに　sin 2t ( -
1
2
-360,( 2t( 360, であるから　-150,( 2t( -30,，210,( 2t( 330,
したがって　-75,(t( -15,，105,(t( 165,
u　確かに，0 ( cos h ( 1 だから，0 ( OP ･OQ ( OP OQ を解かなければ
ならないが，
0 ( -2sin 2t -1 ( U 4cos 2 t + 4sin 2 t + 1 U sin 2 3t + cos 2 3t + 1
右の不等式は，-2sin 2t -1 ( U 10 は常に成立する。(8-3 ( -2sin 2t -1 ( 1)

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