日日の演習 d e a b 2²5 OA = OB を満たす二等辺三角形 OAB において

日日の演習 d e a b
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OG =
sSSH 課題探究 r
2² 5 OA = OB を満たす二等辺三角形 OAB において，頂
点 A，B からそれぞれの対辺またはその延長上に引い
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た 2 つの垂線の交点を G とする。OA = a ，OB = b ，
∠AOB = µ とおく。
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Ñ OG = s a + t b を満たす s，t を µ を用いて表せ。
Ò
点 G が三角形 OAB の外部または周上にあるとき
の µ の値の範囲を求めよ。
R 金子海渡君のレポートより
O
Ñ
G
である。
‘ s · 0 または t · 0 のとき，
cos µ
·0
cos µ + 1
よって，
’ s + t ¸ 1 のとき，
2 cos µ
¸1
cos µ + 1
よって，
F
B
OA = OB = 1 として考える。
OE = OB cos µ = cos µ
OF = OA cos µ = cos µ
これより，
# »
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OE = (cos µ)OA
U# »
# »
OF = (cos µ)OB
とおける。
また，
EG : GB = (1 ¡ s) : s
FG : GA = (1 ¡ t) ; t
とおくと，(注意：この s は問題文の s とは別のもの)
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OG = (1 ¡ t)OA + tOF
# »
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= (1 ¡ t)OA + (t cos µ)OB
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OG = sOE + (1 ¡ s)OB
# »
# »
= (s cos µ)OA + (1 ¡ s)OB
# »
# »
OA と OB は平行なベクトルではないので，
U
s · 0，t · 0，s + t ¸ 1
¡1 < cos µ · 0
¼
Ú ·µ<¼
2
µ
E
A
cos µ # »
cos µ # »
OA +
OB
cos µ + 1
cos µ + 1
cos µ #»
cos µ #»
a+
b
=
cos µ + 1
cos µ + 1
と表せる。
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# »
#»
これより，OG = s a + t b を満たす，s，t は，
cos µ
s=t=
cos µ + 1
Ò 点 G が 4OAB の外部または周上にあるとき，
1 ¡ t = s cos µ
t cos µ = 1 ¡ s
Ú (1 ¡ s cos µ) cos µ = 1 ¡ s
Ú (s cos µ + s ¡ 1)(cos µ ¡ 1) = 0
cos µ ¸ 1
このとき，0 < µ < ¼ をみたす µ は存在しない。
‘，’ より，
¼
·µ<¼
2
q 点 G が 4OAB の内部にあるとき，
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# »
OG = sOA + tOB
Ws + t < 1
s > 0，t > 0
と表せることを学習している。これを否定して，点 G が 4OAB
の外部または周上を表すのは，
s · 0 または t · 0 または s + t ¸ 1
である。
記号の注意：
「，
」は「かつ」
「または」の相反する言葉に対して
同じ記号で扱う。
実数 x，y に対して，
(x ¡ 2)(y ¡ 3) = 0 Ú x = 2，y = 3 (x = 2 または x = 3)
(x ¡ 2)2 + (y ¡ 3)2 = 0 Ú x = 2，y = 3 (x = 2 かつ y = 3)
である。少なくとも頭の中では「かつ」
「または」を声を出して読
みたい。
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内藤信太郎君は，(1) で，OE = u a ，OF = u b とおいて，
# » #»
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OA¢ EB = 0 より，a ¢( b ¡u a ) = 0 Ú a ¢ b ¡u a 2 = 0 Ú u =
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a¢b
#» 2 = cos µ (Û a = b ) として，OE = (cos µ) a ，
a
#»
# »
OF = (cos µ) b と求めている。これは，鋭角三角形，鈍角三角
形，直角三角形などの形状に関係なく使える。
ここで，0 < µ < ¼ なので，cos µ Ë 1
ただ，図形的に求めることを恐れてはいけない。数 C の分野で
よって，
は，三角形を一つかいて極方程式を求めることはよくあることで
1
cos µ + 1
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# »
また，OG = (s cos µ)OA + (1 ¡ s)OB より，
ある。
s=

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