第 10 講
応用解析学（電子２年）
• 完備な内積空間（ヒルベルト空間）
・完全正規直交系とフーリエ級数
• （次回は中間レポート解答用紙と赤ペン・赤鉛筆持参）
前回復習
x 0≤x<π
を Fourier 級数展開せよ．
0 x=π
以下で，周期関数としての拡張の方法を２通り考える．どれも正解である．つ
まり，元が同じ関数でも異なる周期関数へ拡張すれば，フーリエ級数も異なる．
関数 f (x) =
• 計算を簡単にするために，
[−π, 0) へ「奇関数」として拡張し，
x −π < x < π
fO (x) =
のフーリエ展開係数を定義通りに計算．
0 x = −π, π
a0 =
bn =
=
=
1π
1π
xdx = 0, an =
x cos nxdx = 0
π −π
π −π
π
π
1
1
π
x sin nxdx =
cos nxdx − [x cos nx]−π
π −π
nπ −π
1 1
[sin nx]πx=−π − (π cos nx − (−π) cos(−nπ))
nπ n
1
2
(−2π) cos nπ = (−1)n+1
nπ
n
4
x = −π, π において（fO (x) が連続な
ので），fO (x) =
∞
(−1)n+1
sin nx
n
n=1
sin 2x sin 3x
= 2 sin x −
+
−···
2
3
2
sum of 1,2,3,4,5
n=1
n=2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
x = π/2 において，またまたグレゴリーの公式が出現：
⎧
⎪
⎪
⎨
-1
0
1
1 1
π
= 1− + −···
4
3 5
1 n = 1, 5, 9, . . .
∞
π
nπ
nπ
π
(−1)n+1
= f( ) = 2
sin
, sin
= −1 n = 3, 7, 11, . . .
⎪
2
2
n
2
2
⎪
n=1
⎩ 0 n = 2, 4, 6, . . .
1
2
3
• 今度は関数を
[−π, 0) へ「偶関数」として拡張した，
⎧
⎪
⎪
⎨ x 0<x<π
fE (x) = −x −π < x < 0 のフーリエ級数展開を計算してみよう．
⎪
⎪
⎩ 0
x = −π, π
この fE (x) は x = −π, π において連続であり，
bn = 0,
an
2
=
π
a0 =
π
0
2π
xdx = π
π 0
2
x cos nxdx = . . . = 2 (cos nπ − 1) =
nπ
0
(n = 2m)
(n = 2m − 1)
− n42 π
3.5
x = −π, π において（fE (x) が連続な
ので），fE (x) =
sum of 0,1,3,5,7
n=0
n=1
n=3
3
2.5
2
1.5
∞
1
4
π
−
cos(2m − 1)x
0.5
2
2 m=1 (2m − 1) π
0
4
π
cos 3x cos 5x
−
=
cos x +
+
+ · · · -0.5
2 π
32
52
-1
-1.5
-3
-2
-1
0
1
2
17. 完備内積空間（ヒルベルト空間）
ベクトル空間（復習）
集合 H においてすべての要素に対して，和，実（定）数倍が定義されていて，
• 和に関して閉じている（f, g ∈ H ⇒ f + g ∈ H ）
– ただし，和の結合則と交換則が成立し，零元と逆元が存在する．
• 実数倍に関して閉じている（f ∈ H, k ∈ R ⇒ kf ∈ H ）
– ただし，実数倍と和の分配則が成立
を満たすとき，H を実係数ベクトル空間と呼ぶ．
以下で実際にイメージするのは，実数値関数のある部分集合（関数空間）H で
ある．H の要素 f とは，ある具体的な関数を指す．
具体例：
「H ：２乗可積分な１変数関数の全体」 f ∈ H ⇔
∞
−∞
|f (x)|2 dx < ∞ ．
この時，H は，その要素（関数）に対して以下の自明な加法と実数倍を定めた時，
それに関する（無限次元の）ベクトル空間になっている．すなわち，
2
3
• H 上の等価，和，実数倍を定義：
– f = g ∈ H ⇔ f (x) = g(x)
– (f + g)(x) = f (x) + g(x)
– (kf )(x) = kf (x)
− ∞ < x < ∞ （ほとんど至る所）
− ∞ < x < ∞ （ほとんど至る所）
− ∞ < x < ∞ （ほとんど至る所）
として，以下が成立することは容易に示せる．
• f, g ∈ H ⇒ f + g ∈ H , f ∈ H, k ∈ R ⇒ kf ∈ H
• ここで，0 = g + (−g) なので，
– f = 0 ∈ H ⇔ f (x) = 0 (−∞ < x < ∞ (ほとんど至る所))
内積空間
実係数ベクトル空間 H 上にある内積 < ·, · > を定義する．内積とは，以下の性
質を持つ，H × H → R の写像．f, g, h ∈ H, k ∈ R として，
< f, f >≥ 0, かつ < f, f >= 0 ⇔ f = 0,
< kf, g >= k < f, g >, かつ < f + g, h >=< f, h > + < g, h >,
(1)
< f, g >=< g, f >
• 要素 f と g が「直交する」とは，< f, g >= 0 となること．
内積から，
「ノルム（大きさ，ベクトルの長さ）」と「距離」が定義される．
def
• 要素 f のノルム： ||f || =
< f, f > ≥ 0
• 要素 f, g 間の距離を ||f − g|| で定義する．
def
具体例： < f, g > =
∞
−∞
f (x)g(x)dx は，上の内積の定義を満す．各自チェック
してみて下さい．ただし，ここでの議論や性質は，H や内積の具体的な与え方に
よらず，定義した抽象的な性質のみから導かれるものである．
この時，空間の次元に依らず以下の性質が成り立つ．ただし，6. は無現次元
の場合のみ．任意の f, g ∈ H に対して，
1. < f, 0 >= 0
2. コーシー＆シュワルツ不等式： | < f, g > | ≤ ||f || · ||g||
3. 三角不等式： ||f + g|| ≤ ||f || + ||g||
4. 中線定理： ||f + g||2 + ||f − g||2 = 2(||f ||2 + ||g||2)
3
5. ピタゴラスの定理：g1 , g2 , . . . , gn ∈ H が互いに直交し，かつノルムが 1，す
なわち，< gi , gj >= 0 (i = j) かつ ||gi || = 1 の時（正規直交系と呼ぶ），
||f ||2 =
n
k=1
< f, gk >2 +||f −
n
k=1
< f, gk > gk ||2
平面上の直角三角形のピタゴラスの定理は n = 1 で説明できる．
6. ベッセル (Bessel) 不等式：無限列 g1 , g2 , . . . , gn , . . . ∈ H が互いに直交し，か
つノルムが 1，すなわち，正規直交系の時，
∞
< f, gk >2 ≤ ||f ||2 < ∞
k=1
これは左辺の無限級数が有限値に収束することを保証している．
証明： 一般の内積空間
H での任意の f, g ∈ H に対して，
• < f, 0 >=< f, 0 · g >= 0· < f, g >= 0
• コーシー＆シュワルツ不等式：任意の実数 t に対して，
||f − tg||2 =< f − tg, f − tg >= ||f ||2 − 2t < f, g > +t2 ||g||2
となるが，最左辺は t の値によらず必ず非負である．よって，g = 0 （||g|| > 0）
の場合，最右辺を t の２次式と見ると
（判別式） = 4 < f, g >2 −4||f ||2||g||2 ≤ 0 ⇒ | < f, g > | ≤ ||f || · ||g||
別解：< f, g >> 0 の場合は，< f, g >= | < f, g > | であり，
g 2 < f, f > < g, g > 2 < f, g >
f
< f, g >
−
|| =
=2 1−
0 ≤ ||
+
−
2
2
||f || ||g||
||f ||
||g||
||f || · ||g||
||f || · ||g||
||f ||
g という比例関係が成り立つ場合のみ．
||g||
< f, g >< 0 の場合は，h = −f とおいて，< h, g > に上の計算を適用．
| < f, g > | =< h, g > に注意．
等号が成り立つのは，f =
• 三角不等式：シュワルツの不等式より，
||f +g||2 =< f +g, f +g >= ||f ||2+2 < f, g > +||g||2 ≤ ||f ||2+2||f ||||g||+||g||2
• ピタゴラスの定理：正規直交系 g1 , g2 , . . . , gn ∈ H に対して，
||f −
n
< f, gk > gk ||2 =< f −
k=1
= ||f || − 2
2
= ||f || − 2
2
n
k=1
n
k=1
< f, gk >2 +
< f, gk > +
2
n
k=1
n n
j=1 k=1
n
k=1
4
< f, gk > gk , f −
n
< f, gk > gk >
k=1
< f, gj >< f, gk >< gj , gk >
< f, gk > = ||f || −
2
2
n
k=1
< f, gk >2
• ベッセル不等式（H が無限次元ベクトル空間の場合）
：無限列の正規直交系
g1 , g2 , . . . , gn , . . . ∈ H がある時，ピタゴラスの定理より，どんな n に対しても，
n
k=1
< f, gk >2 ≤ ||f ||2 < ∞.
∞
よって，
k=1
< f, gk >2 ≤ ||f ||2
ヒルベルト空間
ベクトル空間 H が，与えられた内積から導かれる距離に関して「完備」な場合，
その空間をヒルベルト (Hilbert) 空間と呼ぶ．
完備とは，その距離に関して「任意のコーシー列が収束列になる」こと．すなわち，
{f1 , f2 , . . .}（fm ∈ H ）が与えられた時，∀k = 1, 2, . . . に対して，||fm − fm+k || →
0 (m → ∞) が成り立つならば，ある f ∈ H が存在して，||fm − f || → 0 (m → ∞)
が成り立つ，ことである．
18. 完全正規直交系
ヒルベルト空間 H 内の要素（実際に想定するのは関数）の列 {ψ1 , ψ2 , . . . , } が，
• 正規直交性：< ψm , ψn >=
• 完全性：< f, ψm >= 0
1 m=n
0 m=
n
for ∀m = 1, 2, . . . ⇔ ||f ||2 = 0
を満たす時，
「完全正規直交系」と呼び，以下が成り立つ：
def
def
• 任意の f, g ∈ H に対して， cm = < f, ψm >, dm = < g, ψm > と置くと：
(i) 距離 || · || での収束（級数展開）
： lim ||f −
m→∞
(ii) Parseval の等式： < f, g >= lim
m→∞
m
n=1
m
n=1
cn ψn || = 0
cn d n ．
特に，g(x) = f (x) とすると， ||f ||2 = lim
m→∞
m
n=1
c2n ．
(iii) 展開係数の一意性
cn = dn for ∀n = 1, 2, . . . ⇔ ||f − g||2 = 0 ⇔ f = g ∈ H
これら (i), (ii), (iii) の性質は，
• 有限次元ベクトル空間の任意の要素（ベクトル）が，次元数の（正規直交）
基底ベクトルの和として一意に表現できること，の拡張になっている．
5
証明 (i) まず，Bessel の不等式
∞
n=1
∞
c2n ≤ ||f ||2 < ∞ (つまり
def
が成り立つ．ここで， fm (x) =
||fm − fm+k ||2 =<
m
n=m+1
< f, ψn >≤< f, f >)
cn ψn (x) と置くと，
n=1
m+k
n=1
cn ψn ,
m+k
cl ψl >= · · · =
l=m+1
m+k
n=m+1
c2n
最右辺は，Bessel 不等式から，m → ∞ の時に，→ 0 となる．よって，
{fm }m=1,2,... は H 上のコーシー列であり，H が完備という仮定から，ある
f ∗ ∈ H が存在して，{fm } が収束する： ||fm − f ∗ || → 0
元の問題に戻ると，三角不等式より，
||f −
m
n=1
cn ψn || = ||f − fm || ≤ ||f − f ∗ || + ||f ∗ − fm ||
であり，右辺第 2 項は → 0 なので，後， ||f − f ∗ || = 0 を示せば証明終り．
さて，任意の n = 1, 2, . . . を固定して，
• < fm , ψn > → < f ∗ , ψn > (m → ∞)
なぜなら，| < fm − f ∗ , ψn > |2 ≤ ||fm − f ∗ ||2||ψn ||2 = ||fm − f ∗ ||2 → 0 （シ
ュワルツ不等式より）
• m ≥ n ならば， < fm , ψn >=<
m
k=1
ck ψk , ψn >= cn < ψn , ψn >= cn
• 上の２つから， < f ∗ , ψn >= cn =< f, ψn >
よって，n = 1, 2, . . . に対して < f ∗ − f, ψn >= 0 となり， {ψn }n=1,2,... の完全性
から， ||f − f ∗ || = 0 がいえる．
def
(ii) Am = < f −
m
n=1
cn ψn , g −
m
dl ψl > と置き，シュワルツ不等式と (i) より，
l=1
|Am | ≤ ||f −
2
m
n=1
cn ψn || ||g −
2
m
cl ψl ||2 → 0
l=1
よって，Am → 0 (m → ∞)．一方，Am を展開すると，
Am = < f, g > −
= < f, g > −
m
n=1
m
n=1
cn < g, ψn > −
m
l=1
cn d n
6
dl < f, ψl > +
m
m n=1 l=1
cn dl < ψn , ψl >
(iii) < f − g, ψn >=< f, ψn > − < g − ψn >= cn − dn = 0 がすべての n で成り
立つので，{ψn } の完全性から，||f − g|| = 0
実は，H の完備性を仮定すると，H 上の正規直交系 {ψn }n=1,2,... に対して，以下
の３つは同値．
• {ψn }n=1,2,... の完全性
• {ψn }n=1,2,... を基底とする級数展開が H 上の距離の意味で収束 (i)
• Parseval の等式 (ii)．つまり Bessel 不等式の等号化
Fourier 級数との関係
さて，ここからは，具体的な H として「区間 I = [−π, π] 上で二乗可積分な関数
の全体」を考え，内積として２つの関数の積の区間 I での積分値を取る．すなわち，
• f ∈H ⇔
I
def
|f (x)|2 dx < ∞,
< f, g > =
def
I
f (x)g(x)dx
• この時，H は，ノルム ||f || = < f, f > に関して「完備」になる（RieszFischer の定理）．これは，証明なしで認めることにする．
この場合，関数 f (x) と完全正規直交系の性質を満たす関数列 {ψn (x)}n=1,2,...
に対して，以下が成り立つ：
（ただし，cn =< f, ψn >）
(iv) 区間 I 上で，関数 f (x) が連続 ＆
∞
n=1
f (x) =
∞
n=1
証明：
def
def
cn = < f, ψn >, g(x) =
< g, ψm >=
∞
I
n=1
∞
n=1
cn ψn (x) が一様収束するなら，
cn ψn (x) （各点的な級数展開）
cn ψn (x) と置く．一様収束性より項別積分ができ，
cn ψn (x) ψm (x)dx =
(iii) より，
||f − g|| =
I
∞
n=1
cn
I
ψn (x)ψm (x)dx = cm =< f, ψm >
|f (x) − g(x)|2 dx = 0
一様収束先 g(x) は連続なので，f (x) の連続性と合わせて，f (x) = g(x)．さらに，
(v) 項別微分：区間 I の内部で，ψn (x) が１回連続微分可能で，
一様収束するなら，f (x) も１回連続微分可能で， f (x) =
∞
n=1
∞
n=1
7
cn ψn (x) が
cn ψn (x)
これは級数の項別微分の一般的結果である（以前の講義参照）．
（復習）x の区間 I 上で定義された関数列 f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x), · · · の
関数 g(x) への収束性：
• 各点収束：∀x ∈ I (|fn (x) − g(x)| → 0)
• 一様収束：max |fn (x) − g(x)| → 0
x∈I
• ２乗積分収束：
I
|fn (x) − g(x)|2 dx → 0
ここで，実は，Fourier 級数展開は，[−π, π] 上の完全正規化直交系（基底）によ
る展開である．つまり，[−π, π] 上の２乗可積分関数としての関数列：
cos nx sin nx
1 cos x sin x
{ψm }m=1,2,... = { √ , √ , √ , · · · , √ , √ , · · · , }
π
π
π
π
2π
(2)
は以下の性質を持つ．
１＞ 正規直交性 < ψm , ψn >=
２＞ 完全性 < f, ψm >= 0
1 m=n
0 m=
n
for ∀m = 1, 2, . . . ⇔ ||f ||2 = 0
３＞ f (x) が連続で区分的に滑らかな時，
∞
n=1
一様かつ絶対収束する
< f, ψn > ψn (x) は [−π, π] 上で
４＞ f (x) が 連 続 で 区 分 的 に 滑 ら か な 時（ 当 然 f (x) も そ う な る ） ，
∞
n=1
< f, ψn > ψn (x) は [−π, π] 上で，f (x) へ一様かつ絶対収束する．
この＜１∼３＞の性質から，式 (2) の完全正規直交系による f (x) の展開：
∞
l=1
∞
π
f (x)
1
cos nx
cos nx
√ dx √ +
√
< f, ψl > ψl (x) =
f (x) √ dx
π
π
−π
2π
2π n=1 −π
∞
π
sin nx
sin nx
f (x) √ dx √
+
π
π
−π
n=1
∞
1
a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
=
2
n=1
π
を考えると，上の (iv) より，連続関数の Fourier 級数展開の式が成り立つ：
∞
1
f (x) = a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
8
つまり，厳密には [−π, π] 上の２乗可積分関数に対する正規化展開基底は
1 cos x sin x
cos nx sin nx
{√ , √ , √ , · · · , √ , √ , · · · , }
π
π
π
π
2π
∞
1
であるが，通常，フーリエ級数を a0 +
(an cos nx + bn sin nx)dx と書くので，
2
n=1
1
{ , cos x, sin x, · · · , cos nx, sin nx, · · · , }
2
をフーリエ展開基底と呼び，
π
1
a0 =
π
1
f (x)dx, an =
π
−π
π
1
f (x) cos nxdx, bn =
π
−π
π
−π
f (x) sin nxdx
を２乗可積分関数 f (x) のフーリエ展開係数と呼ぶこともある．
証明 ＜１＞ 正規直交性の証明：
まず，m, n = 1, 2, . . . に対して，
π
−π
sin nxdx,
π
−π
cos mx sin nxdx は奇関数の
[−π, π] 上の積分なので 0．また，直接の計算から，
•
π
−π
cos mxdx = 0 ，
π
あとは，
−π
π
−π
dx = 2π（つまり
cos mx cos nxdx,
π
−π
π
−π
1
1
√ × √ dx = 1 ）
2π
2π
sin mx sin nxdx であるが，同様なので，cos の
方のみ示す．復習： cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B より，
1
cos A cos B = (cos(A + B) + cos(A − B)),
2
そこで，m = n の場合，
π
−π
cos2 mxdx =
1
2
π
−π
(1 + cos 2mx)dx =
sin 2mx
2π
+
2
4m
π
−π
= π + (0 − 0) = π
一方，m = n の場合，m + n = 0, m − n = 0．よって，
π
−π
1 π
(cos(m + n)x + cos(m − n)x)dx
2
−π
π
π
sin(m + n)x
sin(m − n)x
+
=
2(m + n) −π
2(m − n) −π
cos mx cos nxdx =
= (0 − 0) + (0 − 0) = 0
9
＜２＞ 完全性の証明は省略．
＜３＞ f (x) が連続で区分的に滑らかな時に，
n=m+1
(|an cos nx| + |bn sin nx|) =
⎛
m+l
≤ ⎝
⎛
⎞1/2 ⎛
(n2 a2n + n2 b2n )⎠
n=m+1
m+l
= ⎝
n=m+1
⎝
⎞1/2 ⎛
n2 (a2n + b2n )⎠
(an cos nx + bn sin nx) は [−π, π] で
n=1
一様かつ絶対収束することの証明：
m+l
∞
m+l
(n|an |
n=m+1
m+l
n=m+1
m+l
| cos nx|
| sin nx|
+ n|bn |
)
n
n
⎞1/2
nx ⎠
cos nx sin
+
n2
n2
2
2
⎞1/2
1⎠
⎝
2
n=m+1 n
の最右辺は x によらないので，これが m → ∞ で → 0 を示せばよい．
∞
∞
1
1
の和の方は
が収束することから従う．残りは
n2 (a2n + b2n ) が収束
2
2
n
n=1 n
n=1
することを示せば十分である．
さて，f (x) は [−π, π] で有界なので二乗可積分である．そこで，＜１＞より，
Bessel 不等式： lim
m→∞
m
< f , ψl >2 ≤ ||f ||2 が成り立つ（実際は，＜２＞より，Par-
l=1
．
seval の等式が成り立つ．しかし以下の証明には不等式で十分である）
π
π
また， < f , ψn > （
f (x) sin nxdx,
f (x) cos nxdx）は，部分積分によっ
−π
−π
て以下のように f のフーリエ展開係数 an , bn で書ける．
π
1
πan =
f (x) cos nxdx = −
n
−π
π
π
−π
f (x) sin nxdx
1 π πbn =
f (x) sin nxdx =
f (x) cos nxdx
n −π
−π
そこで上の Bessel 不等式の左辺を展開すると，任意の自然数 m に対して，
2m+1
l=1
< f , ψl >
2
2
2
m π
1 π 1
=
f (x)dx +
f (x) cos nxdx
2π −π
π n=1 −π
よって，
り，
m+l
m
2
π
1
f (x) sin nxdx
π n=1 −π
m
m
m
1
1
= 0+
(nπbn )2 +
(−nπan )2 = π
n2 (a2n + b2n )
π n=1
π n=1
n=1
+
∞
n=1
n=m+1
n2 (a2n + b2n ) =
∞
1
1
< f , ψl >2 ≤ ||f ||2 < ∞ が成り立ち，これよ
π l=1
π
n2 (a2n + b2n ) → 0 (m → ∞) が従う．
10
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