抑えておきたいワンポイント－直角三角形－問題（中学、高校共通）ＡＢ＝８,ＢＣ＝６,∠ＡＢＣ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがあり、ＡＣの中点をＭとする。Ｍから△ＡＢＣに垂直となるように線分ＭＨをとると、三角錐Ｈ－ＡＢＣの体積が４８となる。このときＨＢの長さを求めなさい。まずは、何をするか？決まってます。図を書くのです。高校入試では図は与えられることが多いですが、なくても自分で書けるようになっておくと図形に強くなりますよ。問題の条件の順に図を書いていくのですが、早めに「大きく違う」と思えば、書き直すと良いです。後半で気がついたときは、ごまかしながらやるしかないですね。書き直す時間が足りないかもしれない。（できれば、簡単な図で書き直した方が分かりやすいです。）頭の回転が速い人は一気に立体を書き出すのでしょうが、いずれは平面を抜き出して書くことになるので、平面から書き出しても大丈夫ですよ。簡単にで良いんですから。「ＡＢ＝８,ＢＣ＝６,∠ＡＢＣ＝９０°の直角三角形ＡＢＣ」 C C Ｍ 6 B 「ＢＣの中点をＭ」 8 6 B A A 8 この問題は問題条件が短いのでおそらく立体から書く人が多いと思います。しかし、『立体は平面を抜き出して観る』とことを基本にしておいて下さい。というのも、ここで気がつくと大いに計算が楽になるからです。 H それはちょっとおいといて、最後までを立体で書くと、 A となります。求めたいのはＢＨです。 M C ８６どの平面を抜き出すか？ B 効率学習研究会 △ＢＭＨですよね。確かにＨＭは平面ＡＢＣに垂直なのでＢＭとも垂直だから、△ＢＭＨも直角三角形です。しかし、 H これを抜き出して、何か分かりますか？こうするとやっかいなんです。ここからの方針は、「三辺を求めに行く。」となりますが、 M B どこから？ C そう、体積から、高さとなるＭＨを先ず求めます。 6 △ＡＢＣの面積は、２４です。これは小学生でも分かる。 B １体積が４８なので、高さとなるＭＨは、 × ２４× ＭＨ＝４８３ A 8 から、ＭＨ＝６。（錐体の体積は、柱体の３分の１、は良いですよね？中学１年生です。）問題なのはＢＭなんです。 C ＢからＡＣに垂線を下ろし、交点をＩとすると、 6 直角三角形ＢＩＭとなります。 B I M 8 A ここで、ＢＩですが、△ＡＢＣの面積が２４で、底辺をＡＣとみたときの高さ、となり、ＡＣ＝１０（三平方の定理から）なので、１２４ × １０× ＢＩ＝２４を解いて、ＢＩ＝２５とでます。ここでさらに△ＢＣＩに三平方の定理を用いて、ＣＩ2＝ＣＢ2－ＢＩ2 からＣＩを求め、これからＭがＡＣの中点なので、ＭＣ＝５から、ＭＩ＝５－ＣＩとなるので、直角三角形ＢＩＭで三平方の定理から、計算（分数で結構やっかい？）してＢＭを求めます。ここでようやく△ＢＭＨに三平方の定理が使えるようになります。読むだけでもやっかいでしょう？計算もやっかいですよ。何度も三平方の定理使うし。効率学習研究会できないとまずい場合もあるので、「これくらいは計算する」という意気込みは持っておきましょう。しかし、この問題では前ページの計算は必要無いのです。というのも、問題の条件に沿って図を書くとよく分かるのですが、（問題に図があって、図に条件を書き出して行っても気がつきます。）最初の、「直角三角形ＡＢＣのＡＣの中点がＭ」ここまでで、ＢＭの長さは分かるのです。 C Ｍ 6 何故なら、 B A 8 点Ｍは、△ＡＢＣの外接円の中心だと分かるからです。円周角が90°→ C ＡＣは直径円は中心からの距離が等しい点の集まりＭ 6 つまり、半径は等しい。 B 8 A ＡＣ＝１０は簡単に分かるので、ＢＭ＝５（半径）もすぐに分かっていた、つまりはこのことを書き出しておきさえすれば、（気づかなければ意味ないですが）前ページの計算は時間を無駄にしただけとなるのです。ほんのちょっとしたことです。それで大きく差が出る、数学って面白いですよね。「直角三角形の斜辺の中点は外接円の中心」思い出せればラッキー？中学校の宿題からの問題でした。効率学習研究会