第六話わからぬまま出た答「図形の証明は１・２・３で」図形にはいろいろな性質があります。・線分の「長さ」「長さの比」が等しい。右の図で、・「角度」の大きさが等しくなる。 AP：PB = AQ：QC ・位置関係が「平行」になる。が成り立つとき、・位置関係が「垂直」になる。 PQ// BC を証明・同じ形、大きさになる「合同」。しなさい。・同じ形になる「相似」。など、図形について成り立っていることは、すべて性質です。図形の性質について、なぜ成り立つのかを説明したものを「証明」といいます。証明では「すでに成り立っていること」を使って「新しく成り立つこと」を、すじみち立てて説明していきます。右の証明では、・線分の「長さの比」が等しいこと・２つの三角形が「相似」になることを使って、線分の位置関係が「平行」になることを説明しています。（証明）ＡB//RC となる線をひくと△APQ∽△RCQ よって AP：CR＝AQ：QC ・・① 仮定から AP：PB＝AQ：QC ・・② ①，②から PB＝CR １組の向かい合う辺が等しくて平行なので、四角形 PBCR は平行四辺形。よって、PQ//BC 平行線では錯角が等しいです。三角形の２つの「角度」の大きさが等しいと「相似」になります。すると「長さの比」が等しいことから「平行四辺形」の性質が成り立ち、線分が「平行」であることを示すことができます。その一ここに「ある証明」がありました。 △ＰＡＣと △ＱＢＤで、仮定から ∠ＡＣＰ＝∠( あ )・・・① また、 ∠( い )＝∠ＤＱＢ・・・② ①，②より ( う ) ので、 △ＰＡＣ ∽ △ＱＢＤ (あ)～(う)に入るものを考えてみましょう。「ある証明」には図もなく、「仮定から・・」の所も、何が仮定なのかもわかりません。「( う )ので」の所も、理由の部分なのですが、図や仮定がわからなければ、証明の根拠もわかりません。ところが、かっこの中がわかってしまいます。 1 「その一」はこうやってみてはどうだろう「結論」の部分から、２つの三角形の対応する頂点を番号で表してみます。 △ＰＡＣ∽△ＱＢＤ（1 2 3）（1 2 3）数字 1 → Ｐに対してＱ数字 2 → Ａに対してＢ数字 3 → Ｃに対してＤ (あ)・(い)は、この数字順を利用して、一方に対応するように頂点を入れればできます。 ∠ACP (２３１) ＝∠BDQ (２３１) ∠CPA (３１２) ＝∠DQB (３１２) (う)は証明の①・②が「２組の角が等しい」ことを述べているので、相似条件がわかります。 (あ)はＢＤＱ、(い)はＣＰＡ、(う)は「２組の角がそれぞれ等しい」となります。その二図で相似な三角形を見つけ、そのことを証明してみましょう。なお、AD＝4cn、DB＝5cm、AC＝６ｃｍです。次の手順で、証明の見通しを立てます。 ① 図で、あらかじめわかっている数値から、どの「相似条件」にあてはまるのかを考える。 ② 相似になる２つの三角形について、「△①②③ ∽ △①②③」のように、三角形の対応する頂点と、その順番を確認する。 ③ 角や辺の関係を、対応する頂点から確認する。「その二」はこうやってみてはどうだろう（証明） △ＡＢＣと △ＡＣＤで仮定からＡＢ：ＡＣ＝３：２ＡＣ：ＡＤ＝３：２よってＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＤ・・・① また ∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＣ・・・② ①，②より、２組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しいので、 △ＡＢＣ∽△ＡＣＤこの証明では、次の頂点の対応に注意します。 2 △ＡＢＣ∽△ＡＣＤ (1 2 3 ) (1 2 3 ) その三図のような三角形があり、「仮定」を次のようにします。 ( )にあてはまるものを考えましょう。（仮定）∠ＢＡＣ＝90°、ＡＰ⊥ＢＣ（証明) △ＡＢＣと △ＰＢＡで仮定より ∠ＢＡＣ＝90°，∠（あ）＝90° よって、 ∠ＢＡＣ＝∠（あ）・・・① また、 ∠( い )＝∠ＰＢＡ・・・② ①，②より ( う ) ので、 △ＡＢＣ ∽ △ＰＢＡ「その三」はこうやってみてはどうだろう (あ)はＢＰＡ、(い)はＡＢＣ、(う)は「２組の角がそれぞれ等しい」となります。 △ＡＢＣ △ＰＢＡ (1 2 3) (1 2 3) 頂点に番号をつけて、Ａ→Ｐ、Ｂ→Ｂ、Ｃ→Ａが対応するようにします。第六話「秘伝」＜証明のキーワード＞ ① 「△ＡＢＣと△ＤＥＦで・・・」 ↓ ＡとＤが対応ＢとＥが対応ＣとＦが対応 ②「過程から・・・」 ↓ ③「また・・・」 ↓ はじめに問題文の中に示してある角度や長さの関係を書く線や角度が重なっていて、明らかな関係を書く！ここで第六話は終わりますが・・ ① 上から見ると円 ② 正面から見ると四角形このような図形は円柱です。では、① ② ③ 3 上から見ると円正面から見ると四角形横から見ると三角形となる立体は何でしょうか。