A2 sin 2πf1(t − LV ) = A2 sin(2πf1t − 2πf1L V )

定常波大阪 ★★★★★
(1) 振幅の減衰がないとして，
y(0, t) ⇔ y(−L, t −
L
L
) = A1 sin 2πf1 (t − )
V
V
※ ⇔ は同位相を表す。
振幅は A1 から A2 に減衰しているので，
= A2 sin 2πf1 (t −
L
2πf1 L
) = A2 sin(2πf1 t −
)
V
V
(2)
L
V
(3) 音源が動いていることにより，マイクロホンが観測する振動数は f2 となる。
振動数 f2 の波を出す静止した音源が x = −L にあるとして，その波の式を
y ! (−L, t) = A1 sin 2πf2 t
として考えればよい。
∴ y(0, t) ⇔ y ! (−L, t −
L
2πf2 L
) ∴ y(0, t) = A2 sin(2πf2 t −
)
V
V
(4)
t2 = t1 +
L − ut1
V
(5)
(3) より，y(0, t2 ) = A2 sin(2πf2 t2 −
2πf2 L
)
V
y(0, t2 ) ⇔ y(−L + ut1 , t1 ) ∴ y(0, t2 ) = A2 sin 2πf1 t1
この２つの波の位相が等しいことと (4) の結果から
f2 t2 −
f2 L
V
= f1 t1 ∴ f2 =
f1
V
V −u
(6) マイクロホンは音源の中点なので定常波の腹となるので
2A2 sin(2πf1 t − α)
(7) 定常波の腹から
λ
4
ずれたところは定常波の節になるので
V
4f1
10
円形波の干渉 ★★★★ 03 東大
I
(1) 縁で腹なので，そこから 1/4 の所が節になるので，
d=
λ
c
=
4
4f
(2)
!
!
直接波： x2 + (y − h)2 ，反射波： x2 + (y + h)2
(3)
(4)
!
!
1
x2 + (y + h)2 − x2 + (y − h)2 = (m + )4d (m = 0, 1, 2, …………)
2
S! (0, −h)
(5) 省略
II
(1)
λ! =
√
c2 − V 2
f
(2)
λ!
d =
=
4
!
√
c2 − V 2
4f
3
連星系のドップラー効果 06 東大★★★★★
I
(1) 恒星と惑星の重心位置は不変なので C は重心である
(2) 恒星と惑星の重心までの距離を A, a とすると
a : A = M : m ∴ A =
重心まわりの運動方程式は
m
a
M
v2
Mm
=G
a
(a + A)2
!
M
GM
∴ v =
M +m
a
m
運動量保存より
m
mv = M V ∴ V =
M +m
(3) !
GM
a
vr = v sin θ
(4)
Vr = −V sin θ V =
m
v
M
II
(1)
c − V sin θ
λ0
c
sin θ mλ0
∆λ = −
c M +m
(2)
| sin θ| = 1 として
!
GM
a
!
"
"
" ∆λ " | sin θ| mλ0
GM
"
"
≥ 10−7
" λ0 " = c M + m
a
∴ a ≤
m2 GM
c2 (M + m)2 × 1014
14
単振動する音源のドップラー効果 ★★★★★ 85 東大
I
パラボラアンテナの役目をする（傘等を広げ），そこに一方が閉館の気柱を用意し，気柱
の共鳴実験により波長を測定する
II
B のたて笛の内部には定常波が存在するので，夕方の時点で，たて笛が例えば長さ l 片閉
管だとすると，
c0 = f0 λ0 ここで，
L=
λ
λ
n + より，
2
4
λ0 =
4L
2n + 1
∴ c0 = f0
4L
……… ①
2n + 1
また，夜になったときのたて笛の中の波の基本式を立てると
c0 − a∆θ = (f0 − ∆fn )
4L
……… ②
2n! + 1
ここで，音速は 331.5 + 0.61t[m/s](t[℃]) で与えられるので，気温が 10 ℃下がったとし
ても 6.1[m/s] 程度 (1,2%) のずれ。音速は 340m/s 程度，たて笛の固有振動数は数百 Hz
であることを考えると，波長は数十 cm 程度となり，たて笛の長さを考えると，n の値は
たいして大きくない数となることが推定される。よって n が１ずれると数 10% の音速の
ずれが必要となりこれは起こりえない。よって，音速がやや小さくなった程度では，共鳴
状態のときの腹の数は変化せず，波長は変わらず，共鳴のために必要な振動数がやや小さ
くなると考えられる。よって，②で n! = n として
c0 − a∆θ = (f0 − ∆fn )
4L
……… ②’
2n + 1
①，②’ より，，
c0 − a∆θ = (f0 − ∆fn )
∆θ =
c0
f0
c0 ∆fn
af0
7
III
波長は, 単振動の最大の速さを v0 として，
最大：λmax =
c0 + v0
c0 − v0
，最小：λmin =
f0
f0
B が観測する振動数は，波長が，
f0 + ∆f =
f0 − ∆f =
c
c
c0 λmin
c
c
c0 λmax
c
倍となることに注意して，
c0
=
c0
f0
c0 − v0
=
c0
f0
c0 + v0
２式より，
(c0 + v0 )(f0 − ∆f ) = (c0 − v0 )(f0 + ∆f )
∴ v0 =
∆
c0 f0
B で観測される周期 T とブランコの単振動の周期は一致するので，
∴ v =
∆
2π
c0 cos
t
f0
T
IV
T = 2π
!
l
gT 2
∴ l =
g
4π 2
またレコーダーは B 向き水平に v0 で最下点から水平投射されたものと考えられるから，
レコーダーが地面と衝突するまでの時間を ∆T ! とすると，
f0 ∆T ! = (f0 + ∆f )∆T ∴ ∆T ! = (1 +
h=
∆f
)∆T
f0
1
g∆T !2
2
"
%
#
$2
1
T2
∆f
2
∴ H = l + h = g
+ 1+
∆T
2
2π 2
f0
8
干渉と反射 11 東工大★★★★
(a) (ア)
(イ)
(ウ)
(b)
(c) 与式より
x(cos θ − cos θ! )
2π
x(cos θ − cos θ! ) = 2πm
λ
cos θ
cos θ!
=
λ
λ!
d sin θ d sin θ!
+
=1
λ
λ!
V − w sin θ!
V + w sin θ
=
λ!
λ
!
"
V
V
sin θ sin θ!
w
−
=
+
w=
= f0 !
λ
λ
λ
λ!
d
(d) 前問の結果より
V
V
− ! = f0
λ!!
λ
V
V
−
= f0
λ!
λ
∴ V
V
−
= 2V0
λ!!
λ
21
縦波と横波の屈折の法則 ★★★★★ 13 東大改
I
(1) 略
(2)
PS =
VA
T
VA T
sin α
= k ! ゆえに sin θ! =
sin α
sin θ
k
(3) 屈折の法則より, 縦波が全反射し，横波が全反射しなければよいので，
sin φ
VB
VB
=
ゆえに sin φ =
sin α
VA
V
sin α
A
!!!!!!!!
縦波の屈折：
VB
sin φ!
VB
= k ゆえに sin φ! =
sin α
sin α
VA
kVA
!!!!!!!!!
横波の屈折：
II
(1) 前問の結果より, 屈折波が横波になる条件は,
sin φ > 1 かつ sin φ! < 1 ゆえに VA
kVA
< sin α <
V
VB
B
!!!!!!!!!!!!!!!!!
hA
h
, YX =
であり, 板Ａでは, 横波（速さ VA ）, 板Ｂでは縦波（速
cos α
cos φ!
さ VB /k ）であるので, 求める時間 t は,
!
"
OY
YX
t=2
+
VA
VB /k
!
"
hA
kh
=2
+
VA cos α VB cos φ!
(2) OY =
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
20
回転歯車を用いた光速測定 ★★★★★ 91 東大
I 歯と歯の通過時間は 2 × 10−5 s より，周期は
T = 2 × 10−5 × 200 = 4 × 10−3 s ∴ f = 250 II 水を満たすと時間は，さらに (n − 1)
右に (1.3 − 1)
2l
〔s〕だけ遅れるので，
c
103
1
2
× 10〔
cm〕
= 0.2cm だけずれる。
8
3 × 10
5 × 10−6
III
後の歯と歯の通過時間は
T " = 5 × 5 × 10−6 s
となるので，
2L
= 2 × 10−5 m + 1.6 × 5 × 10−6
c
最初：
2L
= 2.5 × 10−5 m + 0.6 × 5 × 10−6
c
後：
2 式より，
m = 1 ，故に L = 4.2 × 103 m
IV
必要がある。同じ次数（m）である必要があるため徐々に変化を見る必要があるため。
14
スリット型干渉総合の記述解答
(1) 単スリットにおける弱め合いの条件から
wsinθ0 = λ ∴ sinθ0 =
λ
w
(2)
w >> λ のとき sinθ0 → 0 より θ = 0 に鋭いピーク
w << λ のとき sinθ0 →∞ よりすべての θ に一様なピーク
(3) 干渉条件式
(4) 観測する方向の θ は
x
L ¡¡1
!
"
w
λ
l2 + ( )2 − l = ∴ w = 4lλ + λ2
2
2
となるので θ は微小。図２においてほぼ一定強度で各スリットから出る波を扱
うことになる。よって各スリットから一定強度の光が出ると近似できる。
(5)
dsinθ = mλ d
x
mLλ
= mλ x =
L
d
∴ ∆x =
(6)
最大強度 :
#
3+1
3+3
$2
=
Lλ
d
4
倍，最小強度
9
#
3−1
3+3
$2
=
1
倍
9
(7) 鏡との反射により位相が π ずれるので，明暗が逆転する
(8)
x 方向
λx =
λ
c
, cx =
の進行波
cosθ
cosθ
y 方向
λy =
λ
の定常波
sinθ
y 軸に沿って見ると y = 0 は定常波の腹となるので節になるには
D=
λy
λy
1
λ
+
m (m = 1.2…) ∴ D = (2m + 1)
4
2
4
sinθ
1
干渉の解答
I
!
!
dx ad
dx ad
+
= mλ(m = 1, 2, 3…) ２： −
= m λ(m = 0, 1, 2…)
L
l
L
l
１：
II
I より
!
(m − m )λ = 2
また
1:x=
!
ad
< 2λ ∴ m − m = 1 l
L
L
L
L
mλ − a 2 : x = (m − 1)λ + a
d
l
d
l
はっきりとした干渉縞が観測できるには，これらが一致すればよいので m = 1 のとき
L
L
L
lλ
λ − a = a ∴ a =
d
l
l
2d
III
一様な干渉縞になるには，１の暗線と２の明線が重なればよいので,
最小の a のときを考えて
L
L
L
lλ
λ − a = a ∴ a =
2d
l
l
4d
IV
II だと一様になり，III だとはっきりした干渉縞になる。
(創作問題)
1
ニュートンリング ★★★★
Ｉ
d1 ≈
r2
2R1
II
∆ = 2h − (d1 + d2 ) = 2h − r2 (
1
1
+
)
R1
R2
III
II より
r=
!
R1 R2
(2h − mλ)
R1 + R2
IV
m ≥ 22 のとき r は最小になる。このとき
rmin =
√
40× 10−4 [m]
24

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