電磁気学第一 (S1 クラス) 課題 No.5 解答 ϕ ϕ

電磁気学第一 (S1 クラス) 課題
No.5
解答
2014.7.7
【問 1】
 Kr

(r  R)
(a)  2 (r )    (r )  
 0
0
 0
(r  R)
(b)
f (r ) df (r ) r x df (r )


x
dr x r dr
  1 df (r )  1 df ( r ) x 2 d  1 df (r ) 
 2 f ( r )   x df (r )  1 df (r )
x










r dr  r dr 
x  r dr  r dr
x  r dr  r dr
x 2
r 2  x 2 df (r ) x 2 d 2 f ( r )

 2
dr
dr 2
r3
r
y, z についても同様。r2 = x2 + y2 + z2 より、
 2 f (r ) 

 2 f (r )  2 f (r )  2 f (r ) 3r 2  x 2  y 2  z 2 df (r ) x 2  y 2  z 2 d 2 f (r )




r3
dr
r2
dr 2
z 2
y 2
x 2
2 df (r ) d 2 f (r ) 1 d 2
[rf (r )]


r dr
dr 2
r dr 2
(c) r ≤ R の時、(a),(b)より  2 (r ) 

Kr
1 d2
[r (r )]  
2
0
r dr
d2
Kr 2
[
(
)]
r
r



dr 2
0
積分して、
d
Kr 3
 c1
[r (r )]  
dr
3 0
(c1 は積分定数)
4
更に積分して、 r (r )   Kr  c1r  c2
12 0
(c2 は積分定数)   (r )  
K 3
c
r  c1  2
12 0
r
r = 0 でポテンシャルは連続でなければいけないので、c2 = 0。  ( r )   K r 3  c1 ・・・①
12 0
r > R の時、(a),(b)より
積分して、
1 d2
[r (r )]  0
r dr 2
d
[ r (r )]  c3
dr

d2
[r (r )]  0
dr 2
(c3 は積分定数)
更に積分して、 r (r )  c3r  c4
(c4 は積分定数)
r→∞で(r)→0 より、c3 = 0。   (r ) 
c4
r
・・・②
 ( r )  c3 
c4
r
r = R で(r)は連続なので、①、②より

K
c
R 3  c1  4 ・・・③
12 0
R
r = R で d(r)/dr も連続でなければいけないので、

K 2
c
R   42
4 0
R
・・・④
3
4
③、④より、 c1  KR , c4  KR
3 0
4 0
 K 3 KR 3
(r  R )
 12 r  3

0
0
 ( r )  
4
 KR 1 (r  R )
 4 0 r
【問 2】
(a) もし電場がゼロでなければ、その電場により伝導電子が動いてしまい「定常状態」でなくなる。
電子の移動により電場を打ち消すような電荷分布を形成する。電子の移動は電場がゼロになるま
で続き、定常状態では導体内部に電場は存在しない。
(b) 定常状態では導体内部の電場 E(r)=0 なので、微分形の Gauss の法則   E (r ) 
1
0
 (r ) より電
荷密度(r)=0。つまり電荷は導体内部には存在できず、帯電は表面に限られる。
+
+
+
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
R3
-
+
+
+
-
r
- -
-
+
A
+
+
-
R2
+
Q
-
+
球殻 B の外面には+Q が誘導され、両面とも均一に分布する。
-
-
+ +
殻 B の内面には–Q の電荷が誘導される。電荷保存則から、
-
+ +
+
R1
+
+
+Q -Q
+
から面積分はゼロで、球面の内側の総電荷量はゼロにならね
+
適用すると（右図破線）
、球殻 B の内部は電場がゼロである
ロとなるように表面に均一に分布）
、それを打ち消すために球
-
B -
表面を持つ半径 r (R2 < r< R3)の球面について Gauss の法則を
ばならない。導体球 A には電荷 Q が帯電し（内部で電場がゼ
+
(c) 導体球 A、導体球殻 B と中心が同じで、球殻 B の内部に

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