原子核物理学第７講殻模型 1 積波動関数による近似  多体問題（ A 核子系）  次のように一粒子波動関数の積の和で近似する  最も単純な積波動関数は Slater 行列式反対称化されている，展開すると A! 項になる 2 殻模型計算の手法（１） 1. ２重閉殻の芯（core）陽子も中性子も閉殻をなす芯を仮定する例：16O, 40Ca 芯の中の核子数 Ac 例： 16O の場合 Ac = 16 2. 模型空間芯の上の有限な数の１粒子状態を選び， Av = A – Ac 個の核子を入れる例： 16O の芯の上の d5/2, s1/2, d3/2 18O のを計算する場合には，上の３つの１粒子軌道に２つの中性子を入れる 3 殻模型計算の手法（２） 3. １粒子ポテンシャル（１粒子エネルギー）  Hamiltonian  芯の中の核子との相互作用を１粒子ポテンシャルとする  １粒子ポテンシャルと運動エネルギーを合わせて１粒子 Hamiltonian とする  Hamiltonian は次のように１体と２体の項で書ける 4 殻模型計算の手法（３） 4. 有効相互作用  原子核内で核子のあいだにはたらく相互作用は，自由空間における相互作用とは異なる ⇒ 有効相互作用  現象論的（phenomenological）相互作用簡単な形のポテンシャルを仮定する（例：Gauss 型，Yukawa 型）  行列要素をパラメータとして，多体系のエネルギーを再現するように最小２乗法で決める例： USD 相互作用，Cohen-Kurath 相互作用   現実的（realistic）相互作用有効相互作用理論に基づいて，自由空間での２核子散乱を再現するポテンシャルから計算する  G行列の方法  UMOA 5 殻模型計算の手法（４） 5. 基底関数  最も簡単な基底関数は Slater 行列式  j j - 結合１粒子状態を用いる  具体的な例： 18O １粒子状態２粒子状態しかし，Hamiltonian は M = m + m’ を変えない（保存する）あ 6 M = 0 の場合 7 殻模型計算の手法（５） 6. 固有値方程式固有状態を基底関数で展開（ n は基底状態の数）基底関数の直交性を用いて 8 固有値方程式を解いて（行列を対角化して），エネルギー固有値と波動関数（基底関数による展開の展開係数）を求める右は 18O の例 USD相互作用を用いた計算： 14 ×14 の行列を対角化エネルギー固有値を実験値と比較固有状態では J は良い量子数の状態が得られる 9 J-scheme • Slater 行列式の線型結合で，角運動量を良い量子数としてもつ基底状態がつくれるあこのような基底関数に対して， Hamiltonian 行列は block diagonal になる ⇒ 小さな行列の対角化対称性の利用さらに，アイソスピンを良い量子数としてもつ基底関数を用いることも可能あ 10 Lanczos 法大次元行列を対角化する便利な方法  ある手順に従って基底関数の線型結合を順次つくる  これらの基底関数に対して Hamiltonian 行列は三重対角になる  絶対値が最大の固有状態から順次収束する  数少ない基底関数で固有状態をよく表す 11 Davidson 法 • エネルギーが最も小さい（絶対値は最大）固有状態とその近くの数個の固有状態だけを求めたい場合に，Lanczos 法より更に効率の良い対角化法 12 大次元殻模型の困難１粒子状態の数，核子の数が増えると，殻模型計算の基底関数の数が飛躍的に増大する下の例は次の殻模型計算における最大次元数 sd-殻核〔8 < Z,N < 20 (sd)n 配位〕， pf-殻核〔20 < Z,N < 40 (pf)n 配位〕 13 殻模型による回転バンドの再現 48Cr の基底状態回転バンド 40Ca を芯とした (pf)8 配位計算  左図はエネルギースペクトル  右図は慣性モーメントの変化による Back-bending 現象  １粒子軌道として f7/2 に加えて p3/2 を取り入れているのが本質的 14 Self-consistent な方法殻模型計算では，多くの場合，２体相互作用の行列要素が与えられ，１粒子波動関数の動径部分の形を仮定しない（あるいは調和振動子波動関数） ⇒ １粒子波動関数と２体相互作用の self-consistency がない Self-consistent な殻模型計算はない !! Hartree-Fock 計算は self-consistent な計算方法であるが，多体系のは導関数を１つの Slater 行列式で近似する（下の図は 40Ca と 48Ca） 15 Gauss 基底１粒子波動関数の動径部分を，たとえば，Hartree-Fock 計算で求めるとき，基底となる関数系で展開し，展開係数を代数的に求めることができる関数系として，調和振動子基底，Gauss 基底が用いられる数値的な安定性では，Gauss 基底が良い 11Li の中性子密度分布（Gauss 基底） 16