講演レジュメ

Fr¨ohlich 予想と同変岩澤理論
平成 26 年 9 月 5 日
Local Galois Gauss sum
• p : 素数,
• k/Qp : 有限次拡大,
• ok : k の整数環,
• p : ok の極大イデアル,
• Dk : k/Qp の diﬀerent,
• K/k : 分岐が高々馴分岐である有限次ガロワ拡大,
• G = Gal(K/k)
• RG : G の virtual character のなす環
とする. k の additive character ψ を
e2πi·
ψ : k −→ Qp → Qp /Zp ,→ Q/Z −−→ C∗
Tr
で定義し, cok = pDｋを満たす c ∈ k ∗ を取る.
定義 1 (local Galois Gauss sum for abelian characters). G の一次元指標 ϕ に対して


ϕ が不分岐のとき,
ϕ(Dk )−1
∑
ab
−1
−1
τ (K/k, ϕ) =
ϕ(uc )ψ(uc ) それ以外のとき

 ∗
u∈ok
mod p
と定義する.
一般の指標 χ に対しても以下の性質を満たす τ (K/k, χ) が存在する.
1. χ1 , χ1 ∈ RG に対して
τ (K/k, χ1 + χ2 ) = τ (K/k, χ1 )τ (K/k, χ2 ).
1
2. H を G の部分群とし, η ∈ RH を η(1) = 0 であるものとする. この時,
τ (K/k, Ind η) = τ (K/K H , η).
3. ϕ を G の一次元指標とすると,
τ (K/k, ϕ) = τ ab (K/k, ϕ).
1
4. χ ∈ RG の conductor を fχ とする時に, |τ (K/k, χ)| = N fχ2
この τ (K/k, χ) を χ に対する local Galois Gauss sum と呼ぶ. また,
∗
τp := τ (K/k, ·) ∈ Hom(RG , Q )
とおくことにする.
Global Galois Gauss sum
• K/k : 分岐が高々馴分岐である代数体の有限次ガロワ拡大,
• µ : Q に含まれる 1 の冪根のなす群,
• G = Gal(K/k),
• RG : G の virtual character のなす環,
とする. また, k の素イデアル p の上にある K の素点 P をひとつ固定し Gp := Gal(KP /kp ) と
おく.
定義 2 (Global Galois Gauss sum). χ ∈ RG に対して,
∏
τ (K/k, χ) :=
τ (KP /kp , χ|Gp )
p
と定義する.
この Galois Gauss sum に対して,
τ := τ (K/k, ·) ∈ Hom(RG , Q)
とおくことにする.
2
Modified Galois Gauss sum
• K/k : 分岐が高々馴分岐である代数体の有限次ガロワ拡大,
• G = Gal(K/k),
• RG : G の virtual character のなす環,
とする. また, k の素イデアル p に対して, Ip ⊂ Gp を惰性群, Frobp ∈ Gp を Gp /Ip の Frobenius
∑
自己同型の Gp への持ち上げ, eIp := |I1p | σ∈Ip σ とする.
定義 3 (Non-ramified characteristic).
yp := Det(1 − eIp + (− Frobp )eIp ) ∈ Hom(RG , µ)
定義 4 (Modified local Galois Gauss sum). p を k の素イデアルとし, δc を局所相互写像 kp∗ → Gab
による c の像とする. この時, modified local Galois Gauss sum τp∗ を
∗
τp∗ := τp · yp−1 · Det(δc ) ∈ Hom(RGp , Q )
で定義する.
τp∗ については次が成り立つ.
定理 1. p を P が割る素数とする時, 任意の χ ∈ RGp に対して, τp∗ (χ) は p の外単数である.
問 1. 定理 1 を示せ.
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