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物理学 I 期末試験
（2014 年 7 月 30 日実施）
問題 1
右図のように，床の上に置かれた鎖の一方の端に力を加え一定の速
F
さ v で鉛直上方に引き上げる．鎖の単位長さ当りの質量が ρ であり，鉛直の
v
部分の長さが x になっている時，鎖を引き上げるのに必要な力 F を次の手順
で求めよ．
(1) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に鎖に与えられ
x
た力積を求めよ．
(2) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に変化した運動
量を求めよ．
(3) 鎖を引き上げるのに必要な力 F を， x および v，ρ と重力加速度 g を用
いて表せ．
解答例）
(1) 鎖に働くのは上向きに引っ張る力 F と下向きの重力 ρxg．したがって dt の間に与えられる力
積は上向きを正として
(F − ρxg) dt
(2) 鎖の鉛直部分の長さが x であるときの運動量は ρxv，それから dt 後の運動量は ρ(x + vdt)．し
たがって dt の間に増加した運動量は
ρ (x + vdt) v − ρxv = ρv2 dt
(3) 与えられた力積によって運動量の増加が生じた．したがって次の関係が成り立つ．
(F − ρxg) dt = ρv2 dt
上式を F について解けば次の結果が得られる．
(
)
F = ρ xg + v2
問題 2
x-y 平面上で運動する質量 m の物体に働く力が
( my m )
− 2,
x x
で表されるとする．
(1) そのとき力は保存力である（ポテンシャルを持つ）ことを示し，ポテンシャルを求めよ．
(2) x および y 方向の運動方程式を書け．
(3) ポテンシャルと運動エネルギーの和が保存することを証明せよ．
解答例）
(1) F x = −my/x2 ，Fy = m/x とすると
∂F x
∂2 U
m
=−
= − 2,
∂y
∂x∂y
x
∂Fy
∂2 U
m
=−
=− 2
∂x
∂x∂y
x
よって ∂F x /∂y = ∂Fy /∂x だからポテンシャルが存在する．したがって保存力である．また，
−∂U/∂x = −my/x2 および −∂U/∂y = m/x より次式が得られる．
U=−
my
my
+ C(y) = −
+ D(x)
x
x
上式が成り立つのは C(y) = D(x) = 定数の時である．定数は任意であるからゼロとして
U=−
my
x
(2) x および y 方向の運動方程式はそれぞれ
m
my
d2 x
=
−
,
dt2
x2
m
d2 y m
=
x
dt2
(3) (2) で求めた x 方向の運動方程式の両辺に dx/dt を掛け，y 方向の運動方程式の両辺に dy/dt
を掛けて辺々足し合わせると次式が得られる．
m
d2 x dx
d2 y dy
my dx m dy
+
m
=− 2
+
2
2
x dt
dt dt
dt dt
x dt
上式の左辺は
d2 x dx
d2 y dy
d
m 2
+m 2
=
dt
dt dt
dt dt
右辺は
−

( )2 ( )2 



dy 
 1  dx

m
+





2
dt
dt 
my dx m dy
d ( my )
+
=
x dt
dt x
x2 dt
と書き直すことができる．したがって
[
) my ]
d 1 ( 2
2
m v x + vy −
=0
dt 2
x
よってポテンシャルと運動エネルギーの和は時間的に変化せず保存することが示された．
問題 3
右下の図 1 のような長さ L，底面の半径が R，質量 M の細長い円錐状の棒がある．次の
問に答えよ．
(1) この棒の体積を求めよ．
(2) この棒の重心の位置を求めよ．
図1
図2
(3) この棒の細い方の端を中心にした慣性モーメン
トを求めよ．
(4) この棒を右の図 2 のように細い方を下にして壁
に立てかける．壁面と床面の摩擦係数をどちら
L
も µ としたとき，この棒がすべり落ちる角度 θc
を求めよ．
s
θ
(5) 棒と床面のなす角度が θc より大きいある角度 θ
のとき，左側の壁面を突然取り去った．棒が床
R
面にぶつかる際の棒の重心の速さを求めよ．
解答例）
(1) 円錐の先端からの中心軸にそって底面方向に座標 s を取る．半径 r(s) は次のように表される．
r(s) =
R
s
L
厚さ ds，半径 r(s) の円盤の体積は πr2 (s)ds であるのでこれを s = 0 から L まで積分すると体
積が得られ，次のようになる．
∫
L
π
( R )2
0
L
[ ]L
R2 s3
1
s ds = π 2
= πR2 L
L 3 0 3
2
(2) 密度を ρ とする．重心の s 座標 smc は次のようになる．
∫
smc =
L
R2 2
s × sds ∫ L s3 ds
[s4 /4]0L 3
L2
0
0
= ∫L
= 3 L = L
∫ L
4
s ds
[s /3]0
R2 2
s
0
ρπ 2 s ds
L
0
ρπ
(3) この棒の細い方の端を中心にした慣性モーメントを I とすると
∫
L
I=
0
R2
R2
ρπ 2 s2 × s2 ds = ρπ 2
L
L
∫
L
[ ]L
R2 s 5
R2 L 5 1
s ds = ρπ 2
= ρπ 2
= ρπR2 L3
5
L 5 0
L 5
4
0
ここで ρ = M/( 13 πR2 L) であるから
I=
3
ML2
5
(4) 水平方向および鉛直方向の力の釣り合い，モーメントの釣り
μNh
合いはそれぞれ次のようになる．
Nh − µNv = 0,
Nh
µNh + Nv = Mg,
3
Nh L sin θc + µNh L cos θc = Mg L cos θc
4
Mg
これらを解いて
Nv =
(
L
Lsinθ
Mg
,
1 + µ2
Nh =
3
L
4
3
Lsinθ
4
µMg
,
1 + µ2
Nv
θ
)
µ2
µ
3
−
MgL
cos
θ
=
MgL sin θc
c
4 1 + µ2
1 + µ2
μNv
Lcosθ
さらに
tan θc =
1 + µ2 3(1 + µ2 ) − 4µ2 3 − µ2
=
µ
4µ
4(1 + µ2 )
(5) 重心の位置は (3/4)L sin θ だけ低下する．したがって位置エネルギーの減少は Mg(3/4)L sin θ
である．また重心が床にぶつかるときの速度を v，角速度を ω とするとそのときの運動エネ
ルギーは (1/2)Mv2 + (1/2)Iω2 である．したがってそれらが等しいとすると
3
1
1
Mg L sin θ = Mv2 + Iω2
4
2
2
ここで幾何学的な関係から
v=
3
Lω
4
したがって
(
)
2
3
1 2 13
1 24
31 2
2 4
2
MgL sin θ = Mv +
ML 2 2 v =
+
Mv2 =
Mv
4
2
25
2 45
30
3 L
上式を v について解くと
√
v=
45
gL sin θ
62
問題 4
下図のように二つのタンクをパイプでつなぐ．二つのタンクの断面積はいずれも A，パイ
プの断面積は a であり，最初左のタンクの水深は H ，右のタンクは空であった．
(1) 左のタンクの水深が x となったときの C 点での圧力を pC として，B 点および C 点の間に成
り立つベルヌーイ方程式を書け．なお，タンクの断面積 A がパイプの断面積より十分大きい
として，B 点での流速をほぼゼロとみなしてよい．
(2) C 点における圧力が D 点における圧力にほぼ等しいとして，(1) で求めたベルヌーイ方程式か
ら C 点における流速を求めよ．
(3) 左のタンクの水位が微小量 −dx だけ変化する（dx だけ下がる）のに要する時間 dt を求めよ．
(4) (3) の式を積分することで，二つのタンクの中の水位が等しくなるのに要する時間を求めよ．
解答例）
A
A
(1) B 点および C 点の間に成り立つベルヌーイ方程
B
式は C 点での流速を v として
H
1 2
ρv + pC = ρgx
2
x
C
(2) D 点における圧力は ρg(H − x) と表される．し
a
D
たがって (1) で求めたベルヌーイ方程式は次の
ようになる．
1 2
ρv + ρg(H − x) = ρgx
2
これを v について解くと v は次のように得られる．
v=
√
2g (2x − H)
(3) 左のタンクの水位が微小量 −dx だけ変化する（dx だけ下がる）のに要する時間 dt は
√
−Adx = avdt = a 2g (2x − H)dt
(4) X = x − H/2 とおいて (3) の式を変形すると
√
−AdX = 2a gXdt
→
−X
−1/2
√
2a g
dX =
dt
A
これを x = H から H/2，すなわち X = H/2 から０まで積分すると次のようになる．
∫
−
0
X
H/2
−1/2
√ ∫
2a g T
=
dt
A
0
→
√
[
]
2a g
1/2 H/2
=
2X
T
0
A
よって二つのタンクの水位が等しくなるのに要する時間 T は
√
√
2HA A H
T=
√ =
2a g
a 2g
→
√
√
2a g
2H =
T
A
H-x
問題 5
質量 m1 の分子（分子 1）と質量 m2 の分子（分子 2）が分子間力で結び付けられている．
下図のように分子間力をバネ定数 k のバネでモデル化し，問題を単純にするために分子はそれらを
結ぶ直線上でのみ振動することとする．そのとき次の問に答えよ．
(1) 分子 1 および 2 の位置をそれぞれ x1 および x2 (x1 < x2 )，バネの自然長を l として，バネの
自然長からの伸び（あるいは縮み）を x1 および x2 ，l を用いて表せ．
(2) 分子 1 および 2 の運動方程式をそれぞれ求めよ．
(3) (2) で求めた二つの運動方程式からバネの伸び（あるいは縮み）に関する微分方程式を導け．
(4) (3) で求めた方程式が単振動の方程式であることを示し，振動の周期を求めよ．
m2
k
m1
x
x1
x2
自然長 l
(1) x1 から x2 までの長さは x2 − x1 であり，バネの自然長は l である．したがってバネの自然長
からの伸びは
x2 − x1 − l
(2) (1) だけバネが伸びているとき，分子 1 は正の方向に引っ張られ，分子 2 は負の方向に引っ張
られる．したがって分子 1 および 2 の運動方程式はそれぞれ次のようになる．
m1
dx1
= k (x2 − x1 − l) ,
dt
m2
dx2
= −k (x2 − x1 − l) ,
dt
(3) (2) で求めた分子 2 の運動方程式を m2 で割ったものから分子 1 の運動方程式を m1 で割った
ものを引く．すると次式が得られる．
(
)
d
k
k
(x2 − x1 ) = −
(x2 − x1 − l)
+
dt
m2 m1
x2 − x1 − l = X と置くと上式は次のように書き直せる．
dX
k(m1 + m2 )
=−
X
dt
m1 m2
(4) (3) で求めた方程式は次のような形をしている．
dX
= −ω2 X
dt
これは角周波数 ω の単振動を表す微分方程式である．また周期は次のように求められる．
√
ω=
k(m1 + m2 )
m1 m2
したがって周期 T は
2π
= 2π
T=
ω
√
m1 m2
k(m1 + m2 )
問題 6
振幅が等しく，角振動数および波数がごくわずかに異なる 2 つの波 u1 (x, t) および u2 (x, t)
が次式で表されるとする．
u1 (x, t) = A cos[(k + ∆k)x − (ω + ∆ω)t]
u2 (x, t) = A cos[(k − ∆k)x − (ω − ∆ω)t]
ここで ∆k および ∆ω は微小であるとする．
(1) 2 つの波を重ね合わせてできる合成波を表す式を導け．
(2) 2 つの波を重ね合わせてできる合成波の概念図を描け．
解答例）
(1) 2 つの波を重ね合わせてできる合成波を表す式は
u1 (x, t) + u2 (x, t) = A cos [(kx − ωt) + (∆kx − ∆ωt)] + A cos [(kx − ωt) − (∆kx − ∆ωt)]
= A cos (kx − ωt) cos (∆kx − ∆ωt) − A sin (kx − ωt) sin (∆kx − ∆ωt)
+ A cos (kx − ωt) cos (∆kx − ∆ωt) + A sin (kx − ωt) sin (∆kx − ∆ωt)
= 2A cos (∆kx − ∆ωt) cos (kx − ωt)
(2) これは振幅
2A cos (∆kx − ∆ωt)
で進む波数 k，角振動数 ω の進行波である．振幅の波数は ∆k であり，角振動数は ∆ω である
ことから，振幅自体が波長 2π/∆k，位相速度 ∆ω/∆k で進む波となっている．したがって概念
図は次のようになる．

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