斜交座標系の計量テンソルを用いる方法

格子面間隔の計算（斜交座標系の計量テンソルを用いる方法）
2014.6.17
鈴木実
最も一般的な三斜晶系について考える．実空間における座標軸が結晶軸に一致する斜交座標系を考える．こ
の斜交座標系における基底ベクトルを a，b，c とする．三斜晶系で，a，b，c の大きさが a，b，c，a と b の
間の角度が γ ，b と c の間の角度が α，c と a の間の角度が β である．
斜交座標系であるので，厳密に実空間における共変基底ベクトル {ei } を
e1 = a,
e2 = b,
e3 = c
(1)
とする．基本並進ベクトル a，b，c と逆格子の基本並進ベクトル a∗ ，b∗ ，c∗ の関係，すなわち a · a∗ = 1，
a · b∗ = 0 などを考慮すると，反変基底ベクトルは
e1 =
a∗
,
2π
e2 =
b∗
,
2π
e3 =
c∗
2π
(2)
とすることができる．
大きさを求めたいベクトルは
K = ha∗ + kb∗ + lc∗ = 2πhe1 + 2πke2 + 2πle3
(3)
と，共変ベクトルで表される．成分表示すると，
{Ki } = (2πh, 2πk, 2πl)
(4)
である．
一方，K の反変成分については直接明らかではない．反変成分と共変成分の間には
Ki =
X
gij K j
(5)
j
という関係があるので，これを用いて K j を求めることができる．ここで，gij は計量テンソルで次のように表
される．

e1 · e1

{gij } =  e2 · e1
e3 · e1
e1 · e2
e2 · e2
e3 · e2
e1 · e3


a2
 
e2 · e3  =  ab cos γ
e3 · e3
ca cos β
ab cos γ
b2
bc cos α
ca cos β


bc cos α 
c2
(6)
(5) より，反変ベクトル成分は
Gji
Kj
(7)
G
となる．G は計量テンソルの行列式であり，Gij は計量テンソル gij の第 i 行第 j 列余因子である．具体的に示
Ki =
せば，クラメルの公式を用いて，
¯
¯ 2πh ab cos γ ca cos β
1 ¯¯
i
{K } = ¯ 2πk
b2
bc cos α
G ¯
¯ 2πl bc cos α
c2
となる．
¯
¯
¯
¯
¯,
¯
¯
¯
¯
a2
¯
¯
¯ ab cos γ
¯
¯ ca cos β
¯
¯
¯
¯
¯,
¯
bc cos α ¯
2πh ca cos β
2πk bc cos α
2πl
X
(2π)2
= K2 =
Ki K i
2
d
i
1
¯
¯
a2
¯
¯
¯ ab cos γ
¯
¯ ca cos β
ab cos γ
b2
bc cos α
¯ 
¯
¯
¯ 
¯, 
¯
2πl ¯
(8)
2πh
2πk
(9)
であるから
1
=
d2
¯
¯ h
¯
¯
h¯ k
¯
¯ l
ab cos γ
b2
bc cos α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ca cos β ¯¯
a2
h ca cos β ¯¯
a2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
bc cos α ¯ + k ¯ ab cos γ k bc cos α ¯ + l ¯ ab cos γ
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ca cos β l
¯
¯ ca cos β
c2
c2
¯
¯
¯
a2
ab cos γ ac cos β ¯¯
¯
¯
¯
¯ ab cos γ
b2
bc cos α ¯
¯
¯
¯ ca cos β bc cos α
¯
c2
となる．さらに，行列式の性質を用いて整理すると，
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ h/a cos γ cos β ¯
h/a cos β ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
hab2 c2 ¯ k/b
1
cos α ¯ + ka2 bc2 ¯ cos γ k/b cos α ¯ + la2 b2 c ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ cos β l/c
¯ l/c cos α
1 ¯
1 ¯
1
=
¯
¯
2
¯ 1
d
cos γ cos β ¯¯
¯
¯
¯
a2 b2 c2 ¯ cos γ
1
cos α ¯
¯
¯
¯ cos β cos α
1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ h/a cos γ cos β ¯
¯ 1
¯ 1
h/a cos β ¯¯
cos γ
¯
¯
¯
¯
h¯
¯ k¯
¯ l¯
¯ k/b
1
cos α ¯ + ¯ cos γ k/b cos α ¯ + ¯ cos γ
1
¯ b¯
¯ c¯
a¯
¯ l/c cos α
¯ cos β l/c
¯ cos β cos α
1 ¯
1 ¯
=
¯
¯
¯ 1
cos γ cos β ¯¯
¯
¯
¯
¯ cos γ
1
cos α ¯
¯
¯
¯ cos β cos α
1 ¯
ab cos γ
b2
bc cos α
¯
h ¯¯
¯
k ¯
¯
l ¯
1
cos γ
cos γ
cos β
1
cos α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
l/c ¯
(10)
¯
h/a ¯¯
¯
k/b ¯
¯
l/c ¯
h/a
k/b
(11)
となる．行列式を展開すれば，前に得られた式 (格子面間隔の計算) と一致する．
以上
2

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