複素関数論第 8 回演習第 8 回演習問題

複素関数論第 8 回演習
第 8 回演習問題：テキスト p.82 問題 2 と次の追加問題 1,2 です．
（ヒント）p.82 問題 2 と追加問題 1 は例題 1，追加問題
2 は例題 2 を参考にせよ．提出期限：1 月 30 日 (木) 授業開始前に教室にて回収する．
追加問題 1. 次の複素数を a + bi の形に表せ．
π
5π
(1) e3+ 2 i
− 3i)
(3)
(2) cos(
6
√
√
1
(6) ( 3 + i)6−i
(7) (−2 − 2 3 i) 4
sin(
π
+ 2i)
3
√
log( 3 + i)
(4)
√
√
Log(− 2 + 2 i)
(5)
π
π
i)
(9) sinh(3 − i)
6
2
追加問題 2. 次の関数 u = u(x, y) は xy 平面全体で調和である事を示せ．また，u を実部とする正則関数 f (z) を求めて
(8)
cosh(2 +
z で表せ．
(1) u(x, y) = e−2x sin 2y
例題 1. 次の複素数を a + bi の形に表せ．
π
(3)
(1) e2+3πi
(2) cos( + 4i)
3
√
1
(6) (1 + i)2−i
(7) (−2 + 2 3 i) 4
(2) u(x, y) = sin x sinh y
sin(
(8)
π
− 3i)
2
(4)
cosh(3 −
π
i)
2
log(1 + i)
(9)
(5)
sinh(4 +
Log(1 +
√
3 i)
2π
i)
3
(解)
(1) e2+3πi = e2 e3πi = e2 (cos 3π + i sin 3π) = e2 (−1 + i0) = −e2
π
π
π
ei( 3 +4i) + e−i( 3 +4i)
1
1
π
π
π
π
(2) cos( + 4i) =
= (e−4 ei 3 + e4 e−i 3 ) = {e−4 (cos + i sin ) + e4 (cos − i sin )}
3
2
2
2
3
3
3
3
{
}
√ e4 − e−4
√
1 e4 + e−4
1
=
− i 3(
) = (cosh 4 − i 3 sinh 4)
2
2
2
2
π
π
π
π
ei( 2 −3i) − e−i( 2 −3i)
−i 3 i π
− 3i) =
=
(e e 2 − e−3 e−i 2 )
2
2i
2
−i 3
π
π
π
π
−i 3
e3 + e−3
−3
=
{e (cos + i sin ) − e (cos − i sin )} =
{e (0 + i) − e−3 (0 − i)} =
= cosh 3
2
2
2
2
2
2
2
√
√
√ 1
√
1
π
π
(4) |1 + i| = 12 + 12 = 2 より極形式は 1 + i = 2( √ + √ i) = 2(cos + i sin )
4
4
2
2
√
π
∴ log(1 + i) = Log|1 + i| + i arg(1 + i) = Log 2 + i( + 2nπ)
(n ∈ Z)
4
√
√
√
√
√
1
3
π
π
2
2
(5) |1 + 3 i| = 1 + ( 3 ) = 2 より極形式は 1 + 3 i = 2( +
i) = 2(cos + i sin )
2
2
3
3
√
√
√
π
∴ Log(1 + 3 i) = Log|1 + 3 i| + iArg(1 + 3 i) = Log2 + i
3
π
π
(3) sin(
(6) (1 + i)2−i = e(2−i) log(1+i) = e(2−i)(Log|1+i|+i arg(1+i)) = e(2−i){Log
√
√
π
2+ π
4 +2nπ+i(−Log 2+ 2 +4nπ)
√
√
√
2+i( π
4 +2nπ)}
= e2Log 2 e 4 +2nπ e−iLog 2 ei( 2 +4nπ)
)
√ 2 1
√
√ (
π
π
= eLog( 2 ) e( 4 +2n)π (cos Log 2 − i sin Log 2 ) cos( + 4nπ) + i sin( + 4nπ)
2
2
√
√
√
√
Log2 ( 14 +2n)π
( 14 +2n)π
=e
e
(cos Log 2 − i sin Log 2 )(0 + i) = 2e
(sin Log 2 + i cos Log 2 )
(n ∈ Z)
√
√
√
√
1
1
1
1
2π
(7) (−2 + 2 3 i) 4 = e 4 log(−2+2 3 i) = e 4 {Log|−2+2 3 i|+i arg(−2+2 3 i)} = e 4 {Log4+i( 3 +2nπ)}
1
π
nπ
1
π
π
nπ
nπ
= e 4 Log4 ei 6 ei 2 = 4 4 (cos + i sin )(cos
+ i sin
)
(n = 0, 1, 2, 3)
6
6
2
2
√
√
√
√
√
√
√
√
3 1
3 1
3 1
3 1
2(
2(
2(
= 2(
+ i) · 1,
+ i) · i,
+ i) · (−1)
+ i) · (−i)
2
2
2
2
2
2
2
2
√
√
√
√
√
√
√
√
6
2
2
6
6
2
2
6
+
i, −
+
i, −
−
i,
−
i
=
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
π
π
π
e3− 2 i + e−(3− 2 i)
1
1
π
π
π
π
(8) cosh(3 − i) =
= (e3 e− 2 i + e−3 e 2 i ) = {e3 (cos − i sin ) + e−3 (cos + i sin )}
2
2
2
2
2
2
2
2
e3 − e−3
1 3
−3
) = −i sinh 3
= {e · (0 − i) + e · (0 + i)} = −i(
2
2
2π
2π
2π
2π
e4+ 3 i − e−(4+ 3 i)
1
2π
i) =
= (e4 e 3 i − e−4 e− 3 i )
(9) sinh(4 +
3
2
2
√ e4 + e−4
√
1 4
2π
2π
2π
2π
1
e4 − e−4
1
= {e (cos
+ i sin
) − e−4 (cos
− i sin
)} = {−(
) + i 3(
)} = (− sinh 4 + i 3 cosh 4)
2
3
3
3
3
2
2
2
2
= e2Log
π
1
π
例題 2. 次の関数 u = u(x, y) は xy 平面全体で調和である事を示せ．また，u を実部とする正則関数 f (z) を求めて z で
表せ．
(1) u(x, y) = e−y cos x
(2) u(x, y) = − cos x sinh y
(解) (1) u = e−y cos x より uxx = e−y (cos x) = −e−y cos x, uyy = (e−y ) cos x = e−y cos x となり，xy 平面全体でラプ
ラスの方程式 uxx + uyy = 0 を満たすので，xy 平面全体で調和である．
f (z) = u + vi, v = Im f (z) とおく．f (z) の正則性よりコーシー・リーマンの方程式を満たすので vy = ux = −e−y sin x.
これより
∫
∫
e−y
v = vy dy = −e−y sin x dy = −(
) sin x + ϕ(x) = e−y sin x + ϕ(x) · · · 1
−1
(ϕ(x) : x 変数の実数値関数)
1 の両辺を x で偏微分して, vx = e−y cos x + ϕ (x) · · · 2 . この 2 とコーシー・リーマンの方程式より
e−y cos x + ϕ (x) = vx = −uy = −(−e−y cos x),
∴ e−y cos x + ϕ (x) = e−y cos x,
∫
∴ ϕ (x) = 0,
∴ ϕ(x) = 0 dx = c · · · 3
(c ∈ R は任意定数)
3 を 1 に代入して，v = e−y sin x + c. 以上により
f (z) = u + vi = e−y cos x + (e−y sin x + c)i = e−y (cos x + i sin x) + ci
次に f (z) を z で表す．z = x + iy, z = x − iy より x =
(c ∈ R は任意定数)
z−z
z+z
,y=
であるから
2
2i
f (z) = e−y (cos x + i sin x) + ci = e−y eix + ci = e−y+ix + ci = e−(z−z)/(2i)+i(z+z)/2 + ci
(c ∈ R は任意定数)
= ei(z−z)/2+i(z+z)/2 + ci = eiz + ci
(2) u = − cos x sinh y より uxx = (− cos x) sinh y = cos x sinh y, uyy = − cos x(sinh y) = − cos x sinh y となり，xy
平面全体でラプラスの方程式 uxx + uyy = 0 を満たすので，xy 平面全体で調和である．
f (z) = u + vi, v = Im f (z) とおく．f (z) の正則性よりコーシー・リーマンの方程式を満たすので vy = ux = sin x sinh y.
これより
∫
∫
v = vy dy = sin x sinh y dy = sin x cosh y + ϕ(x) · · · 1
(ϕ(x) : x 変数の実数値関数)
1 の両辺を x で偏微分して, vx = cos x sinh y + ϕ (x) · · · 2 . この 2 とコーシー・リーマンの方程式より
cos x sinh y + ϕ (x) = vx = −uy = −(− cos x cosh y),
∴ cos x sinh y + ϕ (x) = cos x sinh y,
∫
∴ ϕ (x) = 0,
∴ ϕ(x) = 0 dx = c · · · 3
(c ∈ R は任意定数)
3 を 1 に代入して，v = sin x cosh y + c. 以上により
f (z) = u + vi = − cos x sinh y + (sin x cosh y + c)i = − cos x sinh y + i sin x cosh y + ci
(c ∈ R は任意定数)
次に f (z) を z で表す．
eix + e−ix ey − e−y
eix − e−ix ey + e−y
)(
) + i(
)(
) + ci
2
2
2i
2
1
1
= − (ey+ix − e−y+ix + ey−ix − e−y−ix ) + (ey+ix + e−y+ix − ey−ix − e−y−ix ) + ci
4
4
1 −y+ix
y−ix
= (e
−e
) + ci · · · 4
2
f (z) = −(
ここで，z = x + iy, z = x − iy より x =
−y + ix = −
z+z
z−z
,y=
であるから
2
2i
z−z
z+z
z−z
z+z
+ i(
) = i(
) + i(
) = iz · · · 5
2i
2
2
2
5 を 4 に代入して，
f (z) =
1 iz
eiz − e−iz
(e − e−iz ) + ci = i(
) + ci = i sin z + ci = i(sin z + c)
2
2i
2
(c ∈ R は任意定数)

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